1556

2. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Определители второго и третьего порядков

Пусть дана матрица первого порядка, то есть таблица a11 из одного числа a11 . Определителем первого порядка, соответствующим этой матрице, называется само число a11 :

11

Определителем nCго порядка, соответствующим матрице nCго порядка, называется число

Отметим, что столбцы (аналогично строки) определителя n Cго порядка можно рассматривать как элементы nCмерного пространства Rn всех упорядоченных наборов из n чисел с поэлементным сложением и умножением на число.

Свойства определителей третьего порядка

1. Разложение определителя по строке (столбцу). Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения:

ai1Ai1 ai2 Ai2 ai3 Ai3 , a1 j A1 j a2 j A2 j a3 j A3 j .

Вчастности, разлагая определитель по первой строке ( i 1), получим:

2.Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами,

астолбцы — соответствующими строками (транспонировать матрицу).

3.Общий множитель элементов какойCнибудь строки (или столбC ца) может быть вынесен за знак определителя.

4.Если элементы одной строки (столбца) определителя соответC ственно равны элементам другой строки (столбца), то определитель равен нулю.

5.При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак.

6.Определитель не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столC бца), умноженные на одно и то же число.

Вычисление определителя удобно проводить, используя свойства 1, 3 и 6.

Все изложенные выше свойства определителей третьего порядка легко обобщаются на определители произвольного порядка.

12

Матрицы

Матрицей размера m n называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов:

Числа aij называются элементами матрицы. Если m=n, матрица

A называется квадратной, а число n – ее порядком.

Для каждой квадратной матрицы A можно вычислить ее определитель, обозначаемый det A (или A ).

Матрица A называется невырожденной, если |A| 0. Если же |A|=0, то матрица A – вырожденная.

Если элементы квадратной матрицы удовлетворяют условию amn anm , то матрица называется симметрической.

Две матрицы считаются равными (A=B) тогда и только тогда, когда равны их соответственные элементы.

Суммой двух матриц A и B одинакового размера называется матрица, определяемая равенством:

Произведение матриц. Произведение матрицы A на матрицу B определено в том случае, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. В результате умножения получается матрица C AB , у которой столько же строк, сколько их в матрице A, и столько же столбцов, сколько их в матрице B. Элемент cij матрицыCпроизведения,

стоящий в iCй строке и jCм столбце, равен сумме произведений

13

соответственных элементов iCй строки матрицы A и jCго столбца матрицы B:

где cij ai1b1 j ai2b2 j ainbnj , i 1,m; j 1,k .

Важно отметить, что в общем случае AB BA (т.е. матрицы нельзя переставлять).

Определитель произведения двух квадратных матриц одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц.

Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Единичной матрицей называется квадратная матрица вида:

При умножении этой матрицы слева и справа на матрицу A получается матрица A:

E A A E A .

Всякая невырожденная квадратная матрица A имеет обратную матрицу. Матрица B называется обратной по отношению к матрице A, если произведение AB равно единичной матрице: AB=E. Матрица,

14

транспонированной матрицы A.

Рангом матрицы A (обозначается rang A) называется наибольший порядок миноров этой матрицы, отличных от нуля. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг этой матрицы принимается равным нулю.

Ранг матрицы не меняется при следующих элементарных преобразC ованиях: замене строк столбцами, а столбцов – соответствующими строC ками; перестановке строк (столбцов) матрицы; умножении какойCлибо строки (столбца) на число, отличное от нуля; вычеркивании строки (столбца), все элементы которой равны нулю; прибавлении к элементам одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца).

Системы линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:

Решением системы называется совокупность п чисел x1, x2 , xn ,

которые, будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения системы, обращают эти уравнения в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если же система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.

15

Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Матрицы

называются соответственно матрицей и расширенной матрицей сиC стемы.

Для совместности системы алгебраических уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу расширенной матрицы: rang A rang A1 (теорема Кронекера–Капелли.)

Если b1 b2 bm 0 , то система линейных уравнений называется однородной. Однородная система уравнений всегда совместна.

Справедливы следующие формулы Крамера:

столбцом свободных членов матрицы A1 , k 1,n ; m=n.

Матричное решение системы. Система линейных уравнений может быть записана в матричной форме в виде:

Если матрица А квадратная и невырожденная, то решение системы в матричной форме может быть записано в виде:

X A 1B .

Равносильные системы уравнений. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают. Нахождение решений системы линейных уравнений осноC вано на переходе к равносильной системе, которая проще исходной.

16

Укажем простейшие операции, которые приводят к равносильной системе:

1)перемена местами двух уравнений системы;

2)умножение какогоCлибо уравнения системы на действительное число (отличное от нуля);

3)прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноC женного на произвольное число.

Для решения совместной системы линейных алгебраических уравнеC

ний широко используется метод Гаусса последовательного исключения неизвестных. При m n с использованием операций 1C3 система приC водится к треугольному виду (что при 0 возможно):

Для решения произвольной совместной системы уравнений испольC зуется ниже приводимое правило.

Выберем r rangA линейно независимых строк в матрице A и оставим в системе лишь те уравнения, коэффициенты которых вошли в выбранные строки. Оставим в левых частях этих уравнений r неизC вестных (основные, базовые неизвестные) так, чтобы определитель из коэффициентов при них был отличен от нуля. Остальные неизвестные (свободными) перенесем в правые части уравнений. Давая свободным неизвестным произвольные численные значения и вычисляя значения остальных неизвестных по правилу Крамера, получим все решения системы.

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ

Если на плоскости задана прямоугольная декартова система коор3 динат xOy, то точку М этой плоскости, имеющую координаты x и y, обозначают M(x,y).

Расстояние d между точками M1 x1, y1 и M2 x2, y2 :

d x2 x1 2 y2 y1 2 .

17

Координаты точки C x, y , делящей отрезок M1M2 в отношении :

В полярной системе координат точка М плоскости определяется

Если начало О декартовой прямоугольной системы координат соC вместить с полюсом, а ось Ox направить по полярной оси, то имеет место:

Уравнение линии

Линии (множеству точек M(x,y)) на плоскости xOy соответствует уравнение, связывающее x и y. Координаты точки М линии удовлетвоC ряют этому уравнению. Координаты любой другой точки не удоC влетворяют уравнению линии. Например, точка A 2,4 лежит, а B 1,3

не лежит на параболе y x2 .

Аналогично определяется уравнение линии в полярных координатах.

Часто линия определяется параметрическими уравнениями x x t , y y t . Исключение (если оно возможно) параметра t из этой

системы приведет к обычному уравнению линии вида f x, y 0 .

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид:

Ax By D 0 ,

где A,B,D – постоянные коэффициенты, A2 B2 0 . В частном случае при:

D 0 и A, B 0 прямая проходит через начало координат; A 0, B, D 0 – параллельна оси Оx,

B 0, A, D 0 – параллельна Оy,

B, D 0, A 0 – совпадает с осью Оy,

18

A, D 0, B 0 – совпадает с осью Оx.

При B 0 , разрешив общее уравнение прямой относительно y, получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

y kx b , где k BA tg – угловой коэффициент;

– угол между прямой и положительным наC правлением Оx;

b DB – ордината точки пересечения прямой с осью Оy.

При D 0 уравнение прямой можно представить в виде уравнения в отрезках

и угловой коэффициент этой прямой находится по формуле

k y2 y1 . x2 x1

Если x1 x2 , то уравнение прямой, проходящей через точки M1 и M2, имеет вид x x1 ; при y1 y2 соответствующее уравнение прямой: y y1 .

Угол между прямыми. Пересечение прямых. Расстояние от точки до прямой

Углом между прямыми называется наименьший из двух смежных углов, образованных этими прямыми. Так что угол между прямыми y k1x b1 и y k 2 x b2 определяется из

19