1556

При таком распределении M X 1 , D X 12 , X 1 .

Закон нормального распределения вероятностей (Гаусса)

Нормальный закон распределения (закон Гаусса) играет исключи тельно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это – наиболее часто встречающийся на практике закон распределения.

Главная особенность, выделяющая его среди других законов, со стоит в том, что он является предельным законом, к которому прибли жаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью ве роятности вида

кривой Гаусса f(x)

1

2 e

Центр рассеивания a характеризует положение распределения на оси абсцисс; параметр характеризует форму кривой Гаусса.

181

Вероятность попадания случайной величины, подчиненной нор мальному закону, на заданный участок:

Для оценки диапазона возможных значений нормально распре деленной случайной величины справедливо «правило трех сигм»: если X распределена по нормальному закону, то отклонение (по абсолютной величине) этой величины от математического ожидания не превосходит утроенного среднеквадратического отклонения, то есть P X a 3 1

(для приближенного определения максимально практически возможное отклонение от среднего следует разделить на три).

Закон больших чисел. Центральная предельная теорема

Физическое содержание закона больших чисел заключается в ус тойчивости среднего результата воздействия массы случайных явле ний: при очень большом числе случайных явлений средний их резуль тат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности. Конкретные особенности каждого отдельного случайного явления почти не сказываются на среднем результате массы случайных явлений; случайные отклонения от среднего, неизбежные в каждом отдельном явлении, в массе взаимно погашаются, нивелируются, выравниваются.

Для практики очень важно знать условия, при выполнении которых совокупное действие многих случайных причин приводит к результату, почти не зависящему от случая, что позволяет предвидеть ход явлений. Эти условия и указываются в теоремах, носящих общее название

закона больших чисел.

Наиболее общим законом больших чисел является обобщенная теорема Л.П. Чебышева (объясняет, почему о качестве большого ко личества однородного материала можно судить по небольшой пробе; на ней основан широко применяемый в статистике выборочный метод, когда по сравнительно небольшой выборке судят о всей совокупности исследуемых объектов), простейшим (следствием из теоремы Чебы шева) – теорема Бернулли (объясняет, почему относительная частота при достаточно большом числе испытаний обладает свойством устой чивости и оправдывает статистическое определение вероятности).

Центральная предельная теорема определяет условия, при которых возникает нормальный закон распределения (является доминирующим во многих областях). Одна из общих форм центральной предельной теоремы доказана А.М. Ляпуновым в 1900 году: если X1, X2, , Xn –

182

независимые случайные величины, у каждой из которых существует

то закон распределения суммыYn X1 X2 Xn при n неогра# ниченно приближается к нормальному с математическим ожиданием

n

Смысл условия теоремы состоит в том, чтобы в сумме Yn = Xi не

i 1

было слагаемых, влияние которых на рассеяние Yn подавляюще велико по сравнению с влиянием всех остальных, а также не должно быть большого числа слагаемых, влияние которых очень мало по сравнению с суммарным влиянием остальных, то есть удельный вес каждого отдельного слагаемого должен стремиться к нулю при увеличении числа слагаемых.

.

Системы случайных величин

В практических задачах часто результат опыта описывается не од ной случайной величиной, а системой случайных величин. Случайные величины X1, X2, , Xn , входящие в систему, могут быть как

дискретными, так и непрерывными.

Двумерную случайную величину (X,Y ) геометрически можно ис толковать как случайную точку или случайный вектор на плоскости

XOY .

Исчерпывающей характеристикой системы случайных величин является ее закон распределения. Как и для отдельных случайных величин могут быть различные формы задания системы случайных ве личин (функция распределения, плотность распределения, таблица вероятностей отдельных значений случайного вектора и т.д.).

Если рассматривается двумерная дискретная случайная величина (X,Y ) , то ее двумерное распределение можно представить в виде

таблицы (матрицы) распределения:

183

Сложив вероятности по строкам, получим вероятности возможных значений Y :

P Y y j p j ;

P Y 2 0,3 0,15 0,05 0,50 ;

P Y 3 0,15 0,10 0,05 0,30 ;

P Y 4 0,05 0,05 0,05 0,15;

P Y 5 0,05 0 0 0,05;

0,50 0,30 0,15 0,05 1.

Законы распределения X и Y имеют вид:

Функцией распределения двух случайных величин X,Y называется вероятность совместного выполнения двух неравенств X x, Y y :

F x, y P X x,Y y .

Пример 2. Задана функция распределения двумерной случайной величины X,Y

F x, y 1 e x 1 e y x 0, y 0 .

Найти вероятность того, что в результате испытания составляющие

X и Y примут значения соответственно X 2,Y 4 . Решение. P X 2,Y 4 F 2,4 1 e 2 1 e 4 0,849 .

Геометрически F x, y есть вероятность того, что случайная точка

X,Y попадет в бесконечный квадрант с вершиной x, y , рас

положенный левее и ниже этой точки. Правая и верхняя границы области в квадрант не включаются.

185

3. При одном из аргументов, равным , функция распределения системы превращается в функцию распределения случайной величины, соответствующей другому аргументу:

как любое событие X x , будучи умноженным на достоверное собы тие Y , не меняется. Аналогично получили бы F , y F2 y .

4. Если оба аргумента равны , то функция распределения равна единице:

F , 1

(совместное осуществление достоверных событий X и Y

есть событие достоверное).

5. Если хотя бы один из аргументов равен , то функция рас пределения равна нулю:

F x, F , y F , 0

(так как события X , Y и их произведение являются

невозможными событиями).

6. Вероятность попадания значений двумерной случайной величи ны X,Y в прямоугольник ABCD можно найти с помощью ее функции

распределения F x, y по формуле

187

Двумерная случайная величина X,Y называется непрерывной, если ее функция распределения F x, y – непрерывная функция, дифферен цируемая по каждому из аргументов, у которой существует вторая

смешанная производная 2F x, y .

Обе составляющие X и Y представляют собой непрерывные слу чайные величины.

Плотность распределения системы двух случайных величин X,Y определяется как предел отношения вероятности попадания случайной точки X,Y в малый прямоугольник D к площади этого прямо

угольника, когда оба его размера стремятся к нулю.

Плотностью распределения или совместной плотностью непрерыв ной двумерной случайной величины X,Y называется вторая смешан ная частная производная ее функции распределения:

f x, y 2F x, y F x, y .

xy

С точностью до бесконечно малых более высоких порядков элемент вероятности f x, y dxdy определяет вероятность попадания случай

ной точки X,Y в элементарный прямоугольник с размерами dx,dy , примыкающий к точке x, y . Эта вероятность приближенно равна объему параллелепипеда с высотой f x, y , опирающегося на элемен тарный прямоугольник. Отсюда следует, что вероятность попадания случайной точки X,Y в область D плоскости XOY геометрически

дает объем тела, ограниченного сверху поверхностью z f x, y и опи

рающегося на область D , так что

P X,Y D f x, y dxdy .

D

В частности, если D есть прямоугольник a X b, c Y d , то

b d

P(a X b, c Y d) f x, y dxdy .

a c

Плотность вероятности f x, y обладает свойствами, аналогич

ными свойствам плотности вероятности одномерной случайной вели чины.

188

Плотность вероятности двумерной случайной величины есть неотрицательная функция

f x, y 0 .

Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от

плотности вероятности равен единице

f x, y dxdy 1.

Функция распределения непрерывной двумерной случайной вели чины может быть выражена через ее плотность вероятностей по формуле

ложении, что событие Y y j уже наступило.

189

Из определения условной вероятности имеем:

Аналогично определяется условное распределение дискретной случайной величины Y при X xi :

Сумма вероятностей условного распределения равна единице. Условным законом распределения одной из одномерных состав

ляющих двумерной случайной величины X,Y называется закон ее

распределения при условии, что другая составляющая приняла опреде ленное значение (или попала в какой то интервал).

В случае непрерывных случайных величин условная плотность вероятности одной из одномерных составляющих двумерной случай ной величины равна отношению ее совместной плотности к плотности вероятности другой составляющей:

Справедлива следующая теорема умножения плотностей рас# пределений

f x, y f1 x fx y f2 y fy x .

Условные плотности fx y , fy x обладают всеми свойствами без

условной.

Случайные величины X и Y будут независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая.

Для независимых случайных величин

F x, y F1 x F2 y ; f x, y f1 x f2 y .

Верно и обратное.

190