1556

В частности, если все возможные значения случайной величины

b

принадлежат интервалу a,b , то f x dx 1.

a

Кривая, изображающая плотность распределения случайной вели чины, называется кривой распределения.

Пример. Плотность распределения случайной величины X задана

171

Найти плотность распределения величины X . Вычислить вероят

ность того, что случайная величина X примет значения из интервала

3 , 2 .

Плотность вероятности f x и функция распределения F x слу чайной величины X связаны соотношением F x f x . Следова тельно,

Числовые характеристики случайных величин

При решении многих практических вопросов отсутствует возмож ность полного описания случайной величины; часто неизвестен и закон распределения. Приходится ограничиваться меньшими сведениями (иногда даже выгоднее пользоваться некоторыми числами для инте грального (суммарного) описания случайной величины). Такие числа называются числовыми характеристиками случайной величины.

Математическое ожидание. Для дискретной случайной величины определяется как сумма произведений всех возможных значений слу чайной величины на вероятности этих значений:

n

M X xi pi .

i 1

Оно характеризует среднее взвешенное значение случайной вели чины с учетом различных значений вероятностей возможных значений.

Математическое ожидание числа появлений события А при одном испытании совпадает с вероятностью этого события.

Математическое ожидание дискретной случайной величины X оп ределяет координату центра группирования значений xi , принимае

мых X , и, следовательно, дает среднее значение случайной величины.

172

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание

определяется в виде:

M X xf x dx ,

где f x – плотность распределения.

Свойства математического ожидания

1. Возможные значения математического ожидания расположены слева и справа от математического ожидания:

a M X b ,

где а – наименьшее;

b – наибольшее значения величины X .

2. Математическое ожидание постоянной величины C равно самой постоянной:

M C C .

3. Постоянный множитель можно вынести за знак математического

ожидания:

M CX CM X .

4. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

M X Y Z M X M Y M Z .

5. Математическое ожидание произведения конечного числа неза# висимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

MX1 X2 Xn M X1 M X2 M Xn .

6.Если все значения случайной величины увеличить (уменьшить) на постоянную C , то на эту же постоянную C увеличится (умень

шится) математическое ожидание этой случайной величины:

M X C M X C .

7. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

M X M X M X 0 .



173

Случайная величина X X M X называется центрированной;

центрирование случайной величины равносильно переносу начала ко ординат в точку, абсцисса которой равна математическому ожиданию

M X a .

M Z M 7X 2Y 3 7M X 2M Y 3 3 7 2 2 3 20 .

Дисперсия случайной величины X определяется как матема тическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

2

D X M X M X 2 = M X .

Она позволяет оценить рассеяние возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания (центра распре деления).

Если случайная величина X – дискретная с конечным числом значений, то

n

D X xi a 2 pi .

i 1

Дисперсия непрерывной случайной величины X , все значения которой принадлежат отрезку , , определяется в виде:

D X x a 2 f x dx ,

где f x – плотность распределения вероятностей X .

Дисперсия непрерывной случайной величины X , все значения которой принадлежат отрезку , , определяется в виде:

D X x a 2 f x dx ;

предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно. Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не

всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния часто исполь

174

зуют величину X D X , размерность которой уже совпадает с размерностью самой случайной величины; X называется средним квадратическим отклонением, или стандартным отклонением случайной величины X (часто используются обозначения Dx D X , x X ).

Свойства дисперсии

1. Дисперсия случайной величины равна разности между матема тическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

D X M X M X 2 .

Для непрерывной случайной величины справедливо

D X x2 f x dx M X 2 .

Так как вычисление, основанное на определении дисперсии, отно сительно громоздкое, то для упрощения расчетов удобнее пользоваться этим свойством.

2. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D C 0 .

3. Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат:

D CX C 2D X .

4. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна

сумме их дисперсий:

D X Y D X D Y .

5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна

сумме дисперсий этих величин:

D X Y D X D Y .

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно#независимых

случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величины равна дисперсии случайной величины:

D С X D X .

175

Хотя X – случайная величина, но ее числовые характеристики

176

Некоторые виды законов распределения случайной величины

Закон биномиального распределения вероятностей

Рассмотрим случайную величину X , определяющую число появ лений события A в n независимых испытаниях, в предположении, что вероятность появления события A в каждом испытании постоянна и равна p . Очевидно, X – дискретная случайная величина и может при нимать значения: x0 0 ; x1 1; …; xn n .

Вероятность появления события A ровно k раз в n независимых

С учетом этого получим ряд (закон) распределения:

наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p .

Для случайной величины, распределенной по биномиальному закону,

M X np , D X npq .

177

Закон распределения Пуассона

Дискретная случайная величина X имеет закон распределения Пуассона, если она принимает бесконечное, но счетное множество значений с вероятностями

P X k pqk 1 ,

где 0 p 1; q 1 p, k 1, 2,

Ряд геометрического распределения случайной величины имеет вид:

Случайная величина X k , имеющая геометрическое распреде ление, представляет собой число k испытаний, проведенных по схеме Бернулли, с вероятностью p наступления события в каждом испытании до первого положительного исхода.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X , имеющей геометрическое распределение с параметром p, равны:

178

Закон равномерной плотности (равномерного распределения вероятностей)

При равномерном распределении вероятностей на интервале, которому принадлежат все возможные значения непрерывной случайной величины X , дифференциальная функция (плотность распределения) имеет постоянное значение:

Их графики имеют вид f x

c 1 b a

a b x

Кривая распределения f x случайной величины X

179