1556

Допустим, что решение уравнения y=f(x) существует и его можно представить в виде ряда Тейлора (при каких условиях это имеет место, рассматривать не будем):

Для того чтобы написать решение в виде такого ряда, надо найти f(x0), f (x0), f (x0), …, т.е. значения производных от частного решения

при х= x0.

Из условий (10) следует:

fx0 y0 ;

fx0 y0 .

Из уравнения (9) следует:

f x0 y x x0 F x0 , y0 , y0 .

Продифференцируем уравнение (9) по х: y Fx Fy y Fy y .

Подставляя х=х0, получим:

f x0 Fx x0 , y0 , y0 Fy x0 , y0 , y0 y0 Fy x0 , y0 , y0 y0 .

Дифференцируя уравнение (9) еще раз, найдем fIV(x0) и т.д. Порядок уравнения не влияет на метод решения при помощи рядов.

Пример.

yIV 4 y 2 4yy 2 y 2 2x2y y 2yy 2xy y 2x2yy6 y 2 6yy 6xy y 2xyy ;

…

151

Подставляя х=1, получим:

a1 f x0 1; 1!

a2 2!1 f x0 0;

a3 3!1 f x0 1 22 3 13 ;

Рассмотрим также метод неопределенных коэффициентов.

Пусть решение уравнения в окрестности точки х0, в которой заданы начальные условия, можно разложить в степенной ряд

y a0 a1 x x0 a2 x x0 2

Продифференцируем этот ряд столько раз, каков порядок дифференциального уравнения. Подставляя затем в уравнение вместо у и ее производных соответствующие ряды, получим тождество, из которого определятся коэффициенты ряда. Первые коэффициенты ряда определятся не из этого тождества, а из начальных условий.

152

Пример. Дано линейное дифференциальное уравнение y xy 0 .

Начальные условия

y x 0 0; y x 0 1.

Решение будем искать в виде

y a0 a1x a2 x2 a3 x3 a4 x4

По начальным условиям

y x 0 0 a0 ; y x 0 1 a1;

y 2a2 3 2a3 x n n 1 an xn 2

Подставляя у, у в исходное уравнение, получим:

y 2a2 3 2a3 x n n 1 an xn 2

x a0 a1x a2 x2 an xn .

Тогда, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х, получим:

a2 0;

a3 3a02 0; 4 3a4 a1; a4 411

и т.д.

Отсюда

y x 121 x4

Достаточно сложный вопрос о сходимости ряда здесь оставляем без рассмотрения.

153

РЯДЫ ФУРЬЕ

Тригонометрическим рядом (рядом Фурье) называется функциоC нальный ряд

Коэффициентами Фурье функции f(x), заданной в интервале (– , ),

Из периодичности функций cosnx, sinnx с периодом 2 , следует, что, если ряд Фурье сходится в интервале (– , ), то он сходится при всех остальных значениях х, и его сумма S(x) является периодической с периодом 2 .

Теорема Дирихле (достаточные условия разложимости функции f(x) в ряд Фурье). Пусть функция f(x) является периодической с периодом 2 и на отрезке – , удовлетворяет условиям:

1.f(x) – кусочноCнепрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода;

2.f(x) – кусочноCмонотонна, т.е. монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.

Тогда соответствующий функции ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

–в точках непрерывности функции сумма ряда S x совпадает с самой функцией: S x = f(x);

–в каждой точке х0 разрыва функции сумма ряда равна

S x0 f x0 0 f x0 0 ; 2

154

– в точках x и x сумма ряда равна

S S f 0 f 0 . 2

Любая из функций, употребляемых в анализе и в его приложениях, удовлетворяет приведенным условиям.

Если функция разлагается в ряд Фурье, то можно получить достаточно хорошее ее приближение, взяв конечную сумму членов ряда Фурье – многочлен Фурье:

f x a0 k an cos nx bn sin nx. 2 n 1

Теория разложения функций в тригонометрические ряды назыC вается гармоническим анализом.

Разложение в ряд Фурье четных функций

Пусть f(x) – четная функция. Тогда f(x)sinkx будет нечетной и

Ряд Фурье нечетных функций

Пусть f(x) – нечетная функция, coskx – четная. Тогда f(x) coskx – нечетная функция и

f x cos kx 0 ,

откуда

ak 0 .

155

Следовательно, нечетная функция имеет ряд Фурье, состоящий из

l

an 1 f x cos n xdx; l l

l

bn 1 f x sin n xdx. l l

156

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Случайные события

Под событием понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти (например, зеленый, крас ный, желтый цвета светофора к моменту прибытия пешехода к пере крестку; выигрыш, проигрыш или ничья при игре в шахматы; пора жение цели и промах при выстреле).

События А, В, С, … называются несовместными (несовместимыми), если наступление одного из них исключает возможность наступления другого; совместными – если в данных условиях появление одного из них не исключает появление другого при том же испытании.

События А и A называются противоположными, если в условиях испытания они являются несовместными, являясь единственными исходами испытания (например, поражение мишени при выстреле –

событие А, промах – A ).

Событие называется достоверным, если оно не может не произойти в условиях данного испытания (например, из партии стандартных деталей будет взята стандартная деталь); событие, которое не может произойти ни при одном испытании, называется невозможным (напри мер, извлечение черного шара из ящика, в котором все шары белые).

Промежуточное положение между достоверным и невозможным событиями занимает случайное событие, которое в результате опыта может произойти, а может и не произойти.

События называют единственно возможными, если появление в ре зультате испытания одного и только одного из них является досто верным событием.

События называют равновозможными, если имеются основания считать, что ни одно из этих событий не является более возможным, чем другие (например, появление того или иного числа очков на бро шенной игральной кости; предполагается, что игральная кость изгото влена из однородного материала; имеет форму правильного много гранника).

Исход называется благоприятствующим событию A, если при этом исходе наступает событие A (например, если событие A состоит в появ лении четного числа при бросании игральной кости, то благоприят ствующими А исходами будут выпадения чисел 2, 4, 6).

Согласно классическому определению вероятность события A равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов

157

к общему числу всех несовместных, единственно возможных и равновоз# можных элементарных исходов испытания:

Приведенную формулу следует рассматривать не как определение вероятности события, а как метод вычисления вероятностей для испытаний, сводящихся к схеме случаев (используется при непосред ственном подсчете вероятностей и пригодна тогда и только тогда, когда имеется симметрия возможных исходов).

Вероятность события – численная мера степени объективной возможности наступления события.

Вероятность достоверного события принимается равной единице, в невозможного – нулю. В общем случае вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1, то есть 0 P A 1.

Статистической вероятностью события А называется относи# тельная частота (частость) появления этого события в n произ веденных испытаниях, то есть

n – общее число испытаний.

Заметим, в классическом определении вероятности не требуется, чтобы испытания проводились в действительности, а для определения относительной частоты – требуется (вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта). Если опытным путем уста новлена относительная частота, то полученное число можно принять

за приближенное значение вероятности.

158

Элементы комбинаторики

Комбинации из n элементов, которые отличаются только порядком расположения этих элементов, называются перестановками из n элементов. Число перестановок из n объектов равно

Pn 1 2 n n !

(n – целое положительное число, 0!=1).

Например, пусть для лечения заболевания применяются 4 лекарст венных препарата и предполагается, что последовательность применения лекарств оказывает существенное влияние на результат лечения. Здесь число возможных последовательностей назначения лекарств:

P4 4 ! = 1 2 3 4 24 .

Комбинации из n элементов по m, которые отличаются либо составом элементов, либо порядком их расположения (либо и тем, и другим) называются размещениями из n элементов по m и вычисляются по формуле:

Например, если расписание одного дня состоит из 5 уроков по различным дисциплинам, то число вариантов расписания при выборе из 11 дисциплин равно:

Комбинации из n объектов по m, которые отличаются только со ставом элементов, называются сочетаниями из n объектов по m и нахо дятся по формуле:

Например, число различных стартовых пятерок, образованных тренером из12 баскетболистов, равно:

159

Основные теоремы теории вероятностей

Сумма нескольких событий – это событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них.В частности, сумма двух событий A и B – это событие C , состоящее в выполнении события A или B , или обоих вместе (то есть выполнение хотя бы одного из событий A и B ).

Теорема сложения вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий (то есть суммы), безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий

P A B P A P B .

Теорема справедлива и для любого конечного числа несовместных событий: вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания (в результате испытания обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий). Например, при бросании игральной кост и полная группа события состоит из событий A1, A2, A3 , A4 , A5, A6 (собы тие A1 – появилось одно очко, A2 –2 очка, …, A6 –6 очков).

Если A1, A2, , An – полная группа событий, то

n

P Ai 1.

i 1

Частным случаем событий, образующих полную группу, являются противоположные события A и A . Откуда:

P A P A 1.

Событие A называется независимым от B , если вероятность собы тия A не зависит от того, произошло событие B или нет.

Событие A называется зависимым от B , если вероятность события A зависит от того, произошло событие B или нет.

Произведение двух событий A и B – это событие C , состоящее в совместном выполнении A и B (например, если A – появление туза, B – появление бубновой масти, то C AB – появление бубнового туза).

Произведение нескольких событий – это событие, состоящее в совместном их появлении.

160