1556

Известно, сумма

Sn предела не имеет, ряд расходится.

Теорема 1. Если сходится ряд, полученный из данного путем отбрасывания нескольких его членов, то сходится и сам ряд. И обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием нескольких членов, т.е. на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Теорема 2. Если ряд

u1 u2 un

сходится и имеет сумму S, то ряд u1 u2 un тоже сходится и его

сумма равна S. (Это следует из n u1 u2 un Sn lim n S ).

n

Теорема 3. Если сходятся ряды

S u1 u2 un , S v1 v2 vn ,

то ряд u1 v1 u2 v2 un vn сходится и его сумма

S S S

(что следует из теоремы о пределе суммы). Непосредственно из теоремы следует, что ряд

u1 v1 u2 v2 un vn

сходится и его сумма S S S .

141

Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то его n3й член стремится к нулю при n .

Достаточный признак расходимости ряда

Если un не стремится к нулю, то ряд расходится.

Рассмотрим гармонический ряд

Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости

1. Признаки сравнения.

Даны два ряда с положительными членами:

uk 0, vk 0; uk vk .

Тогда:

1. Если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1).

2. Если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

2. Признак Даламбера.

<1 ряд сходится;>1 ряд расходится;

=1 ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

3. Интегральный признак Коши.

142

интервале (1, ), тогда ряд сходится, если сходится несобственный

интеграл f x dx , и расходится, если этот интеграл расходится.

1

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

Если в знакочередующемся ряде

u1 u2 u3 u4 un 0 а) u1 u2 un ;

б) lim un 0 ,

n

то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первый член ряда.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Знакочередующиеся ряды есть частный случай знакопеременных. Теорема 1. Если знакопеременный ряд

сходится, то и ряд (1) тоже сходится.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится сам ряд, а также ряд

u1 u2 un .

Если ряд

u1 u2 un

сходится, а ряд

u1 u2 un .

расходится, то данный знакопеременный ряд называется условно сходящимся.

Пример.

Ряд 1 12 13 14 сходится, но ряд 1 12 31 14 расходится. Ряд 1 12 13 14 – условно сходящийся.

143

Функциональные ряды

Ряд u1 x u2 x un x называется функциональным. Его

члены являются функциями от х. Давая х определенные числовые значения, получим различные числовые ряды. Совокупность значений х, при которых сходится функциональный ряд, называется областью сходимости этого ряда. В области сходимости его сумма S является функцией от х (S = S(x)).

Мажорируемые ряды

Функциональный ряд u1 x u2 x un x называется ма3

жорируемым в некоторой области изменения х, если существует такой сходящийся числовой ряд с положительными членами (мажориC рующий ряд)

M1 M2 Mn , что для всех х в данной области

а ряд 1 1 1 сходится. 22 32

Интегрирование и дифференцирование рядов

Пусть ряд непрерывных функций, мажорируемый на отрезке [a,b], и пусть S(x) – сумма этого ряда. Тогда

где , x a,b .

Если ряд непрерывных функций

u1 x u2 x un x

таков, что un x имеют непрерывные производные на отрезке [a,b], сходится на этом отрезке к сумме S(x), а ряд

u1 x u2 x un x

144

1)сходится в точке x0 0 , то он абсолютно сходится при всех х, удовлетворяющих условию x x0 ;

2)расходится при x x0 , то он расходится при всех х, удовлетворяющих условию x x0 .

Областью сходимости степенного ряда a0 a1x an xn является интервал с центром в начале координат. Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал (–R,+R), что для всех x R,R ряд сходится абсолютно, для x R,R – ряд расходится. R

называется радиусом сходимости.

Свойства степенных рядов

1.Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости (–R,R).

2.Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале

3. Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости

145

который называется рядом Тейлора.

При этом данный ряд сходится, и его сумма равна данной функции f(x) тогда и только тогда, когда

lim Rn x 0 .

n

При а=0 получим ряд Маклорена.

Справедлива теорема. Если в некотором интервале, содержащем точку х=а, f n x M , где n – любое, М – положительное число, то

функция f(x) в этом интервале разлагается в ряд Тейлора.

Примеры разложения функций в ряды Тейлора и Маклорена

Радиус сходимости бесконечен.

2. Функция sinx при всех х разлагается в ряд Маклорена:

(получили бы и почленным дифференцированием: cos x sin x ).

146

Последнее разложение имеет место: при m 0 , если 1 x 1;

при 1 m 0 , если 1 x 1; при m 1, если 1 x 1.

Некоторые применения рядов Тейлора

1. Приближенное вычисление значений функций

Пусть функция f(x) разлагается в ряд Тейлора в окрестности точки х0. Тогда точное значение функции f(x) в любой точке может быть вычислено по ряду Тейлора, а приближенное ее значение – по частичной сумме этого ряда.

Пример 1.

ex 1 x x2 xn . 2! n!

По формуле (5):

Rn x xn a1n!1 f n 1 a x a .

Для x 0, M , где М – любое число: ex eM ,

в том числе

e0 ( x 0) e x eM ,

xn 1 Rn x eM n 1 ! .

Пусть требуется вычислить ех при x 0,1 с точностью до 10–5.

147

Должны иметь

что выполняется при n = 8 . С точностью до 10–5:

ex 1 x x2 x8 . 2! 8!

Пример 2.

Рассмотрим ряд

Пусть, например, надо подсчитать ln2 с точностью до 0,00001. Тогда по теореме Лейбница должно выполняться:

Rn x xnn 1n 10 5 ;

n>100000.

Такое суммирование 100000 членов затруднительно. Про такие ряды говорят, что они сходятся медленно.

В данном случае можно ускорить сходимость ряда. Действительно, заменив в выражении (6) х на –х, получим ряд

По формуле (8) можно теперь подсчитать логарифмы любых полоC жительных чисел, так как, когда х меняется в интервале сходимости

1 x

1 x

2;

x 13 .

148

Так что

Rn x 2 2n 31 3 2n 3 2n 513 2n 5

2 2n 31 3 2n 3 2n 31 3 2n 5 2n 31 3 2n 7

откуда следует:

4 2n 3 32n 1 105

или n 4.

Таким образом,

149

2. Интегрирование функций

В теории вероятностей важную роль играет интеграл вероятностей или функция Лапласа

3. Интегрирование дифференциальных уравнений

Сначала рассмотрим так называемый метод последовательного дифференцирования х.

Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка

150