1556

Пример. Решить уравнение 2y y y 2 1.

Интегрируя, получим:

ln p2 1 ln y lnC1 ,

p C1y 1 .

Так как p y , то приходим к следующему уравнению относиC тельно функции y x :

Интегрируя, получим:

C1y 1 C21 x C2 ,

Аналогичная замена используется для решения уравнений более высокого порядка, не содержащих явно х.

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Линейным дифференциальным уравнением n3го порядка называется уравнение вида

y n a1 x yn 1 a2 x y n 2 an 1 x y an x y f x .

Здесь функции a1 x ,a2 x , ,an x и f x заданы и непрерывны в некотором промежутке a,b .

При f x =0 линейное уравнение называется однородным, в проC тивном случае – неоднородным, или уравнением с правой частью.

131

Каждое линейное однородное дифференциальное уравнение n го порядка имеет ровно n линейно независимых частных решений y1 x , y2 x , , yn x , т.е. таких решений, что ни одно из них не может быть выражено в виде линейной комбинации остальных (фунда ментальная система решений). Заметим, что в случае однородного уравнения второго порядка линейная независимость частных решений

y1 x и y2 x равносильна условию y1 x const . y2 x

Достаточным условием линейной независимости n функций, непре# рывных вместе со своими частными производными до (n–1)#го порядка в промежутке a,b , является то, что определитель Вронского

Если данные n функций являются частными решениями ли# нейного однородного дифференциального уравнения n#го порядка, то не обращение в нуль определителя Вронского является не только достаточным, но и необходимым условием линейной независимости этих n решений.

Теорема о структуре общего решения линейного однородного диф ференциального уравнения. Общее решение линейного однородного ДУ n го порядка представляет собой линейную комбинацию его n ли# нейно независимых частных решений:

y0 x C1y1 x C2 y2 x Cn yn x , где C1,C2, ,Cn – произвольные постоянные.

Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения. Общее решение линейного неодно# родного ДУ n го порядка равно сумме общего решения y0 y0 x соот#

ветствующего однородного уравнения и какого#нибудь частного решения y y x данного неоднородного уравнения:

y y0 y .

Линейное однородное ДУ n го порядка с постоянными коэффици

ентами имеет вид:

y n a1y n 1 a2 y n 2 an 1y an y 0 , где a1,a2 , ,an – некоторые действительные числа.

132

Будем искать частные решения y1 x , y2 x , , yn x в виде y ekx , тогда y kekx , y k2ekx ,…, y n knekx . После подстановки в исходное

уравнение получим:

(kn a1kn 1 a2kn 2 an 1k an )ekx 0 .

Откуда в силу ekx 0 получим характеристическое уравнение: kn a1kn 1 a2kn 2 an 1k an 0 .

Оно получается заменой производных искомой функции со# ответствующими степенями неизвестной k, причем сама функция заменяется единицей.

Общее решение дифференциального уравнения определяется в зависимости от характера корней характеристического уравнения.

Рассмотрим возможные случаи.

Все корни характеристического уравнения действительны и раз личны. В этом случае однородное ДУ имеет n линейно независимых частных решений ek1x ,ek2x , ,ekn x , так что его общее решение имеет вид:

y0 C1ek1x C2ek2x Cnekn x .

Некоторый действительный корень характеристического уравне ния k имеет кратность m. Этому корню отвечают m линейно независимых частных решений. Их линейная комбинация вместе с остальными n–m частными решениями дает общее решение одно# родного уравнения:

y0 C1 C2 x Cm x m 1 ekx Cnekn x .

Пример. Решить уравнение y y y y 0 .

Здесь характеристическое уравнение k3 k2 k 1 0 имеет корни k1 k2 1 (двукратный корень), k3 1. Поэтому общее решение

исходного ДУ

y0 C1 C2 x e x C3ex .

Характеристическое уравнение имеет пару комплексно сопряжен ных корней i . При построении общего решения этой паре отвечают

два линейно независимых частных решения однородного уравнения e x cos x , e x sin x .

133

Пример. Решить уравнение y 6y 13y 0 .

Характеристическое уравнение k3 6k2 13k 0 k(k2~6k+13) = 0 имеет корни k1 0, k2,3 3 2i . Общее решение исходного ДУ

y0 C1 C2e3 x cos2x C3e3 x sin 2x .

Некоторая пара комплексно сопряженных корней i имеет кратность m. Такой паре отвечают 2m линейно независимых частных

решений однородного уравнения:

e x cos x, xe x cos x, , x m 1e x cos x , e x sin x, xe x sin x, , x m 1e x sin x .

Их линейная комбинация (вместе с остальными n – 2m частными решениями линейного однородного ДУ n#го порядка) дает общее решение исходного уравнения.

Линейные неоднородные уравнения n-го порядка

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения (с

правой частью)

y n a1y n 1 a2 y n 2 an 1y an y f x

определяется приводимой ниже теоремой.

Теорема о суперпозиции частных решений. Если y y x – частное решение неоднородного уравнения, а y1, y2, , yn – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид:

y y C1y1 C2 y2 Cn yn ,

т.е. общее решение неоднородного уравнения равно сумме любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Рассмотрим два метода отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения.

Метод вариации произвольных постоянных является общим мето# дом для нахождения частного решения линейного неоднородного ДУ.

Проиллюстрируем на примере линейного неоднородного ДУ второго

порядка:

y a1 x y a2 x y f x .

134

Здесь общее решение соответствующего однородного уравнения пред# ставляется в виде

y0 C1y1 x C2 y2 x ,

где y1 x и y2 x – линейно независимые решения однородного ДУ, C1 и C2 – произвольные постоянные. Частное решение y неодно# родного ДУ ищется в виде y C1 x y1 x C2 x y2 x , то есть произвольные постоянные заменяются неизвестными функциями x.

Так как определитель этой системы есть определитель Вронского для линейно независимых функций, то он не равен 0. Решив систему,

найдем C1 x 1 x , C2 x 2 x . Интегрируя, найдем C1 x и C2 x , а затем и искомое решение.

Пример. Найти общее решение уравнения y 2y y ex . x

Здесь общим решением однородного уравнения является функ# ция y0 C1ex C2 xex . Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

y C1 x ex C2 x xex .

Для определения неизвестных функций C1 x и C2 x составим

систему:

C1 x ex C2 x xex 0,

C1 x ex C2 x ex C2 x xex ex . x

135

Таким образом, искомое частное решение неоднородного ДУ

yxex ln x x ex ,

аего общее решение имеет вид:

y y0 y C1ex C2 xex xex ln x x ex .

Метод подбора частного решения (метод неопределенных коэффи3 циентов) используется для интегрирования только линейных уравнений с постоянными коэффициентами, когда его правая часть имеет вид:

f x e x Pn x cos x Qm x sin x

(или является суммой функций такого вида). Здесь и – постоянные, Pn x и Qm x – многочлены nCй и mCй степени соответственно.

В этом случае частное решение уравнения ищется в виде: y x xr e x Pl x cos x Ql x sin x .

Здесь r – кратность корня i характеристического уравнения kn a1kn 1 an 0 (если характеристическое уравнение такого корC ня не имеет, то следует принять r 0 ); Pl x и Ql x – полные многоC

члены от x степени l с неопределенными коэффициентами (т.е. содерC жат все степени от нуля до l), причем l равно наибольшему из чисел n

и m ( l n m , l m n ):

Если в выражении функции f x входит хотя бы одна из функций cos x или sin x , то в y x нужно вводить обе функции.

Проиллюстрируем метод на конкретном примере. Пример. Найти общее решение уравнения

y 4y 5y x 5 cos x .

136

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: y Ax B cos x Cx D sin x .

Подставляя это выражение в исходное ДУ и приравнивая коэффициенты при cos x, x cos x, sin x, x sin x , получим линейную

систему алгебраических уравнений относительно A, B,C, D . Решив ее, найдем значения неопределенных коэффициентов:

A 18 , B 161 , C 18 , D 12 . Общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

y y0 y e2x C1 cos x C2 sin x 18 x 169 cos x 12 18 x sin x .

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в так назыC ваемой нормальной форме:

dydx1 f1 x, y1, y2, , yn , dydx2 f2 x, y1, y2, , yn ,

dydxn fn x, y1, y2, , yn .

Решением системы дифференциальных уравнений называется совоC купность n функций y1, y2, , yn , которые при подстановке в каждое из

уравнений превращают его в тождество. Одно ДУ nCго порядка всегда можно представить в виде нормальной системы, введя вспомогаC тельные неизвестные функции. Часто верно и обратное: нахождение решения системы можно свести к решению одного ДУ nCго порядка.

Пример. Решить систему ДУ:

dydx1 y1 y2 32 x2 , dydx2 4y1 2y2 4x 1.

137

Выразив из первого уравнения y2 dydx1 y1 32 x2 и подставив его во

второе уравнение, получим линейное ДУ второго порядка для y1 x :

d 2 y1 dy1 8y1 3x2 x 1. dx2 dx

Общее решение этого уравнения имеет вид:

y1 x C1e2x C2e 3 x 12 x2 .

Вторая неизвестная функция находится из полученного выше выражения для y2 x :

y2 x C1e2x 4C2e 3 x x2 x . Общее решение нормальной системы имеет вид:

y1 1 x,C1,C2, ,Cn ,

yn n x,C1,C2, ,Cn . где C1,C2, ,Cn – произвольные постоянные.

Задача о нахождении частного решения системы ДУ, удовлетвоC ряющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Как и в случае одного ДУ, для системы имеет место теорема, гаранC тирующая существование и единственность частного решения при непрерывности правых частей вместе с их частными производными.

Рассмотрим нормальную систему двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами:

dydx1 a11y1 a12 y2 f1 x ,

dydx2 a21y1 a22 y2 f2 x .

Если f1 x f2 x 0 , то система называется однородной.

Общее решение неоднородной системы складывается из общего решения соответствующей однородной системы и какого3нибудь част3 ного решения неоднородной системы.

Общее решение однородной системы определим методом Эйлера. Здесь сначала находят частное решение в виде

y1 x 1ekx , y2 x 2ekx ,

138

где k — собственное значение матрицы системы, т.е. корень харакC теристического уравнения

независимое уравнение; задавая 2 , найдем 1 ).

Общее решение однородной системы будет иметь различный вид в зависимости от корней характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение имеет два действительных различных корня k1 и k2. Этим корням отвечают два собственных вектора с коордиC натами (a11,a21 ) и (a12,a22 ). Общее решение исходной однородной системы

ДУ определяется линейной комбинацией частных решений

где C1,C2 – произвольные постоянные..

Характеристическое уравнение имеет один действительный дву3 кратный корень k k1 k2 . Полный анализ этого случая проводится меC

тодами линейной алгебры. На практике решение системы удобно искать методом неопределенных коэффициентов в виде:

Характеристическое уравнение имеет пару комплексно сопряженных корней i . В этом случае следует найти комплексное частное решеC ние однородной системы ДУ. Отделяя затем действительную и мнимую части комплексного решения, получим два действительных линейно независимых частных решения, линейная комбинация которых даст общее решение однородной системы ДУ.

Пример. Найти общее решение системы дифференциальных уравC нений:

dydx1 4y1 6y2, dydx2 3y1 7y2.

139

уравнение для определения собственного вектора 11 2 21 0 , откуда1 1;2 . При k 10 получим 12 22 0, т.е. 2 1; 1 .

Фундаментальная система решений имеет вид: y11 2ex , y21 ex ,

y12 e10 x , y22 e10 x .

Общее решение примет вид:

y1 2C1ex C2e10 x , y2 C1ex C2e10 x .

ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

Числовым рядом называется выражение вида

u1 u2 un un ,

n 1

числа un – члены ряда. Выражение un для произвольного числа n

называется общим членом ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n3й частичной суммой ряда:

Sn u1 u2 un .

Если при n существует предел последовательности частичных сумм

lim Sn S,

n

то ряд называется сходящимся, а число S – суммой.

Записывают:

S u1 u2 un .

Если Sn не стремится к пределу при n , то ряд называется

расходящимся.

Пример. Рассмотрим ряд

a aq aq2 aqn 1 a 0

(членами ряда являются члены геометрической прогрессии со знаменателем q).

140