1556

Пусть поверхность, ограничивающая область V снизу, описывается уравнением z = z1(х,у), а поверхность, ограничивающая V сверху, –

уравнением z = z2(х,у).

Пусть область D (проекция V на плоскость Оху) ограничена лиC ниями x =a, х = b, у = у1(х), у = у2(х). Тогда для любой непрерывной в области V функции f(x, y, z) имеет место формула

(вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла). Сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z при постоянных x и y в пределах изменения z. Результат вычисления этого интеграла есть функция двух переменных x и y. Переходя от двойного интеграла по области D к повторному, получим формулу

по которой и вычисляется тройной интеграл в декартовых коордиC натах.

Если область V имеет более сложный вид, то ее надо разбить на части указанного вида и вычислить данный интеграл как сумму интегралов, взятых по составляющим областям.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Если область V отнесена к цилиндрической системе координат (r, ,z), то положение точки М определяется полярными координатами (r, ) проекции точки М на плоскость Оху и аппликатой z точки М.

При таком выборе расположения осей координат

х = rcos , у = rsin , z = z.

z

M(x,y,z)=M(r, ,z)

y

111

Разбивая V координатными поверхностями r = const, = const, z = z, получим

dV r dr d .

Справедливо:

f x, y, z dxdydz f r cos ,r sin , z rdrd dz .

V V

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интеC грированию по r, по и по z аналогично тому, как это делается в декарC товых координатах. Переход к цилиндрическим координатам особенно удобен в случае, когда область интегрирования образована цилиндриC ческой поверхностью.

Тройной интеграл в сферических координатах

Если область интегрирования к сферическим координатам (r, , ), то положение точки М в пространстве определяется ее расстоянием r от начала координат О, углом между радиусомCвектором и осью Oz и

углом между проекцией радиусаCвектора точки на плоскость Оху и

осью Ох; 0 , 0 2 .

y

x

Связь между декартовыми и сферическими координатами: x r sin cos ,

y r sin sin .

Разбивая область V на частичные области Vi (координатными поC верхностями r = const, = const, = const), вычислив элемент объема

переменные x, у, z, получим формулу перехода от декартовых

координат к сферическим:

f x, y, z dV f r sin cos ,r sin sin ,r cos r 2 sin drd d .

V V

112

Применение этой формулы особенно эффективно, когда область V – шар с центром в точке О.

Применение тройных интегралов

Тройные интегралы применяются для вычисления статических моментов и моментов инерции пространственных тел. Их применение основано на тех же принципах, что и применение двойных интегралов для вычисления соответствующих моментов плоских пластинок.

Так как квадраты расстояний от точки Р(x,y,z) до осей Ох, Оу, Оz соответственно равны y2 z2, x2 z2, x2 y2 , то при (x,y,z) = 1 будем иметь:

Ix y2 z2 dV ,

V

Iy x2 z2 dV ,

V

Iz x2 y2 dV .

V

rx

y

x

Центробежные моменты вычисляются по формулам

Ixy xydV ;

V

Iyz yzdV ;

V

Ixz xzdV ,

V

аполярный момент относительно точки О:

I0 x2 y2 z2 dV .

V

113

Если тело неоднородное, то в каждой формуле под знаком интеC грала будет находиться дополнительный множитель (x,y,z) – плотC ность в точке Р.

Координаты центра тяжести тела выражаются формулами:

Криволинейные интегралы

Пример задачи, приводящей к понятию криволинейного интеграла по координатам (или второго рода). Определим работу, совершаемую силами поля F F x, y P x, y i Q x, y j (Р(x,y), Q(x,y) – проекции

на оси Ох и Оу), при перемещении материальной точки по некоторой линии L, расположенной в области D и соединяющей точки В и С.

y

B2

Q x, y j F xk , yk

B1=B F

114

Разобьем линию L на n частей точками В1, В2, ...,Вn+1.

P xk , yk xk 1 xk Q xk , yk yk 1 ykP xk , yk xk Q xk , yk yk .

Вся работа при перемещении материальной точки из точки В в точку С будет:

n

A An P xk , yk xk Q xk , yk yk .

k 1

Переходя к пределу при n и полагая, что длина наибольшего отрезка стремится к нулю, получим истинную работу.

В общем случае предполагается, что Р(x,y), Q (x,y) – функции двух переменных, непрерывные в некоторой области D; L – гладкая линия, целиком расположенная в этой области. Разбивая линию L на n

участков точками (хk;уk), (хk+1;уk+1),..., (хn+1;уn+1) и выбирая на каждом участке по произвольной точке Вk( k, k) (они могут совпадать и с

концами участков), составим сумму

n

P k , k xk Q k , k yk ,

k 1

где xk xk 1 xk , yk yk 1 yk .

Эта сумма называется nCй интегральной суммой по линии L.

y

Fk L

C

Bk( k, k)

D

B

115

Определение. Криволинейным интегралом по координатам (или криC волинейным интегралом II рода) от выражения P x, y dx Q x, y dy по

направленной дуге BC называется предел nCй интегральной суммы при условии, что max xk 0, max yk 0 .

Имеем

P x, y dx Q x, y dy P x, y dx Q x, y dy ,

интеграл по координате y.

Линия L (BC) называется линией или путем интегрирования, точка В называется начальной, а С – конечной точками интегрирования.

Вычисление криволинейных интегралов

1.Если линия интегрирования дана в параметрической форме:

х= x(t), y=y(t), то

где уB, уС – ординаты точек В и С.

4. Если L – отрезок прямой, параллельной оси Oх (у = у0, dy=0), то

116

5. Если L – отрезок прямой, параллельной оси Оу (х=х0, dx = 0), то

Пример.

1. Найти 4x y dx 5x2 ydy ,

AB

где AB – дуга параболы у=3х2 от точки А(0;0) до точки В(1;3).

Имеем: y 6x ,

точке А соответствует х = 0, точке В соответствует х= 1.

В

3

x

0 А 1

Тогда

точки интегрирования не совпадали, и заданием точек B и C определялось направление интегрирования. Ясно, что если изменить направление интегрирования на противоположное, то криволинейный интеграл изменит знак на противоположный.

Рассмотрим теперь случай, когда контур замкнутый. Здесь выбор начальной точки интегрирования (она же является и конечной) на контуре интегрирования никакой роли не играет.

117

В случае замкнутого контура на плоскости направление обхода, при котором область, ограниченная контуром, остается слева, называют положительным; перемещение в противоположном направлении называют отрицательным. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру часто обозначают .

L

Если направление обхода положительное, то будем криволинейный интеграл обозначать Pdx Qdy ; если отрицательный, то –

L

Pdx Qdy . Эти интегралы отличаются только знаком.

L

y L

+

Условия независимости интеграла от линии интегрирования

Криволинейный интеграл, вообще говоря, зависит не только от подынтегрального выражения, начальной и конечной точек пути интегрирования, но и от самого пути интегрирования. Для большого и важного класса подынтегральных выражений криволинейный интегралPdx Qdy оказывается независящим от пути интегрирования.

L

Пусть D – часть плоскости, ограниченная одной замкнутой линией, не имеющей самопересечений. Тогда область D называется односвязC ной. Более строго: область называется односвязной, если любую приC надлежащую к ней замкнутую кусочноCгладкую кривую можно стяC нуть в точку, принадлежащую D.

Теорема (основная). Если Р(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными в односвязной области D, тогда для того, чтобы криволинейный интеграл

Pdx Qdy

L

118

не зависел от линии интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D соблюдалось равенство

P Q ,

y x

то есть, чтобы подынтегральное выражение Pdx +Qdy было полным дифференциалом некоторой функции и(x,y).

Справедлива формула Грина:

Р(x,y), Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в области D, L – граница области D и интегрирование вдоль L производится в положительном направлении.

Если область D односвязна, и Р(x,y), Q(x,y) вместе со своими производными непрерывны в этой области, то все четыре следующих утверждения равносильны, то есть если выполняется одно из них, то выполняются и все остальные:

1. I Pdx Qdy , взятый по любому контуру, лежащему в области

D, равен нулю.

2. I Pdx Qdy не зависит от линии интегрирования L.

L

3. Выражение Р(x,y) + Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой функции и(x,y).

Интегрирование полных дифференциалов. Первообразная функция

Если подынтегральное выражение в криволинейном интегралеPdx Qdy является полным дифференциалом, то при соблюдении

L

условий основной теоремы величина этого интеграла зависит лишь от начальной и конечной точек линии интегрирования, но не зависит от пути. Поэтому интеграл I x, y Pdx Qdy записывается в виде:

L

x1,y1

P x, y dx Q x, y dy,

x0 ,y0

где (x0, y0) – начальная точка, (x1, y1) – конечная точка.

119

Воспользуемся тем, что если линия интегрирования есть отрезок прямой, параллельной оси Ох (у = у0), то:

x2

P x, y dx Q x, y dy P x, y0 dx .

Если отрезок параллелен оси Оу, то:

y2

P x, y dx Q x, y dy Q x0 , y dy .

Тогда, интегрируя по ломаной, получим:

y

M2(x,y0)

0 x

Если эта ломаная выходит за пределы области D, можно составить другую ломаную, состоящую из отрезков, параллельных осям координат.

Связь криволинейного интеграла I x, y с функцией и(x,y), для

которой подынтегральное выражение является полным дифC ференциалом

du = Р(x,y)dx + Q(x,y)dy

определяется формулой Ньютона3Лейбница для криволинейных интегралов:

120