1556

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

2 y2 y4 y2m 2 4 y1 y3

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

2.17 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Пример. Вычислить интеграл																dx				.
Пример. Вычислить интеграл														2						.
														2		sin x
Используя универсальную тригонометрическую подстановку,
имеем:
																											1
		dx						2dt											dt				d	t
																							d	t
																											2
	2	sin x					2			2t							t	2	t 1						1	2		3
					1 t								2										t
										t	2
											2														2			4
								1																	2			4
			2			2t 1						2							2			x	1
				arctg					C						arctg						tg			C .
			3	arctg			3		C			3			arctg				3		tg	2	3	C .
			3				3					3							3			2	3
Если подынтегральное выражение зависит от sin2 x, cos2 x																													или от
tgx , применяется подстановка t tgx .
		Интегрирование простейших иррациональностей
1. Если подынтегральное выражение содержит только линейную
иррациональность m ax b										a 0					, то					используется							подстановка

t m ax b .

Интеграл от простейшей квадратичной иррациональности		dx
Интеграл от простейшей квадратичной иррациональности		2
	ax	bx c

после выделения полного квадрата в трехчлене ax2 bx c сводится к

одному из двух интегралов

( 0 ),

( a 0 ).

Используя подстановку Эйлера

x2 t x , найдем

x x2

C 0 .

Второй интеграл

arcsin

C .

Определенный интеграл

Площадь криволинейной трапеции. Пусть на отрезке a,b задана непрерывная функция y f x 0 . Найдем площадь криволинейной трапеции ABCDA. Для этого разобьем отрезок a,b на n частичных


отрезков	x0 , x1 , x1, x2 , , xn 1, xn . В каждом				частичном отрезке
xi 1, xi ,	i		возьмем произвольную точку i		и вычислим f i .
		1,n
Значение	f i		xi ,	xi xi xi 1 равно площади прямоугольника с

	n
основанием xi и высотой	f i . Тогда сумма Sn f i xi равна
	i 1

площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции. При уменьшении всех величин xi точность

приближения увеличивается. Поэтому за точное значение S площади криволинейной трапеции принимается предел S , к которому стремится площадь Sn , когда n неограниченно возрастает так, что max xi 0 :

		n
S lim Sn	lim f i xi .
n	n	i 1
	0	i 1

B
A	1
A
x0	x1

C y=f(x)



2			n	D
x2				D


	…	xnC1 b=xn			x

О п р е д е л е н и е . ких, что max xi 0 , гральная сумма

Если при любых разбиениях отрезка [a,b], таC и при любом выборе точек i xi 1, xi интеC

Sn f i xi i 1

стремится к одному и тому же пределу, то этот предел называют оп3 ределенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначают

b		n
f x dx	lim	f i xi ,
a	max xi 0	i 1
a		i 1

где a, b – нижний и верхний пределы интегрирования.

Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади S криволинейной трапеции.

Если для f(x) существует предел интегральной суммы, то ее называют интегрируемой на [a,b].

Если f(x) интегрируема на [a,b], то площадь криволинейной трапеC

ции на [a,b] равна f x dx.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на [a,b], то она интегриC

руема на [a,b].

Cвойства определенного интеграла

cf x dx c f x dx,

c const .

n b

f1 x f2 x fn x dx fj x dx .

j 1 a

x dx f x dx .

x dx 0 .

t dt .

Если на [a,b], где a<b, функции f(x) и (x) удовлетворяют

условию f(x) (x), то

f x dx x dx.

Если на [a,b]

имеют место неравенства m f x M , то

m b a f x dx M b a .

Теорема о среднем.

Если f(x) непрерывна на [a,b], то найдется такое a,b , что

f x dx b a f .

9. Для любых трех чисел a,b,c; a< c< b справедливо

b	c	b
f x dx f x dx f x dx,
a	a	c

если только все три интеграла существуют (аддитивное свойство интеграла).

	b	b

10.	f x dx		f x	dx,	a b .


	a	a

11. Интегрирование четных и нечетных функций по отрезку вида
a,a :
если f x – четная функция, то	a	a
если f x – четная функция, то	f x dx 2 f x dx.
	a	0

если f x – нечетная функция, то f x dx 0 .

12. Дифференцирование интеграла по переменному верхнему преC делу.

			x
Если f x	непрерывна на a,b , то функция x f t dt дифC
			a
ференцируема на a,b , причем x f x , то есть
	x
	x		f x .

		f t dt
	a

13. Формула НьютонаCЛейбница:

f x dx F x |ba F b F a ,

где F x – какаяCнибудь первообразная для функции f x на a,b .

14. Интегрирование по частям

b		b
udv uv	ba	vdu .


a		a

15. Интегрирование подстановкой (заменой переменного)

Если f(x) непрерывна на [a,b], то, введя переменную t по формуле x t , где a; b; (t) непрерывна на [ , ]; f t опреC

b
делена и непрерывна на [a,b], получим f x dx f t t dt .
a

Вычисление определенного интеграла

Непосредственное вычисление

sin xdx cos x 02 cos2 cos0 1 1 0.

Интегрирование подстановкой (заменой переменного)

x a sin t; dx a costdt.

a2 x2 dx

x 0 t 0

a t

a2 a2 sin2 t a cos tdt a2 2 cos2 tdt

1 cos2 t

dt a2

cos2tdt

sin 2t

Приближенное вычисление определенных интегралов

1. Формула прямоугольников

x x

b a N 1

f x

k 1

k 0

где x k – точки разбиения отрезка

a,b , N – число частичных отрезков.

Остаточный член квадратурной формулы (ошибка)

	M1	b a 2

R			,

n		4N

где f x M1 x a,b .

2. Формула трапеций

b a

N 1

f x dx

b a f x0 2 f x1 2 f x2 2 f xN 1 f xN . N

M1 b a 2

f x

Если f(x) имеет ограниченную вторую производную

на

[a,b], то для формул трапеций и прямоугольников

M2 b a 3

12N 2

3.Формула Симпсона

y f x

Если

заменим график

функции

на каждом отрезке

xi 1, xi

не отрезками прямых, как в

методах

прямоугольников

трапеций, а дугами парабол, то получим более точную формулу для приближенного вычисления интеграла:

h b a . 2m

Приложения определенных интегралов

1.Вычисление площадей плоских фигур

1.1.Площадь фигуры, заданной в декартовых координатах.

Пусть y=f(x) – уравнение линии, ограничивающей трапецию сверху.

L:y=f(x) В

	А
	А			S
				S
	a				b	x
	a				b	x
Если y 0 , то
			b
	S f x dx.
			a
1.2. Площадь фигуры при задании линии L в параметрической
форме
	L :		x x t ,
	L :		y y t .
b		x x t ; dx x t dt
		x x t ; dx x t dt

S y x dx		x a t t1
a		x b t t2
a

	t2
	S y t x t dt.
		t1

2. Вычисление объемов тел по площадям параллельных сечений

Если тело T расположено между x a и x b , а непрерывная функция S(x) C закон изменения площади его поперечного сечения, то объем V этого тела

V S x dx.

Объем тела вращения

2 dx

2 dx.

3. Вычисление длины дуги кривой

Если кривая задана в виде

y f x , где

f x

– непрерывная и

имеет непрерывную производную f x

на отрезке a,b , то длина дуги

этой кривой

1 y 2 dx.

Если кривая задана параметрически в виде

y t

t1 t t2 , то

t y 2 t dt.

x 2

4. Площадь поверхности вращения

Если поверхность

определяется

вращением

кривой y f x

( a x b ) вокруг оси Ox, где f x

и f x

– непрерывны, то площадь

указанной поверхности вращения:

P 2 f x

1 f 2 x dx.

5. Физические приложения определенных интегралов

5.1. Центр тяжести

C xc , yc

однородной

пластины постоянной

толщины с поверхностной плотностью const , ограниченная кривой

y f x и прямыми y 0 , x a,			x b определится в виде:
		b			1	b
		xf x dx			1	f 2	x dx
		xf x dx		; y	2	f 2	x dx
x	c	a				a		.
x		b				b		.
		b		c		b
		f x dx				f x dx
		a				a

5.2. Работа переменной силы X f x , действующей в направлеC нии оси Ox при прямолинейном перемещении на отрезке x0 , x1 выC

числяется по формуле

A f x dx .

5.3. Путь, пройденный точкой со скоростью v t :

		n 1	t
S	lim	v k tk	v t dt.
	max tk 0	k 0	0
		k 0	0

Несобственные интегралы

1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами (несоб3 ственный интеграл I рода)

Несобственный интеграл f x dx от функции f(x), интегрируемой на

любом отрезке [a,b ], a b , определяется в виде

			b
	f	x	b	f	x	dx.
	f	x	dx lim	f	x	dx.
a			a

Аналогично определяется несобственный интеграл на интервале (– ,b]:

dx lim

dx.

Пример.

1 dx

lim

a x

2. Интеграл от разрывной функции

(несобственный интеграл II рода)

Если непрерывная на промежутке

функция f(x) имеет бескоC

a,b

нечный разрыв при x b и если существует конечный предел

dx, 0 ,

lim

то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают

f x dx . Если предел существует, то несобственный интеграл

f x dx называется сходящимся, если предел не существует или бесC

конечен, то интеграл f x dx расходится.

Аналогично определяется несобственный интеграл, когда f(x) терC пит разрыв в точке а:

dx.

dx lim

Если f x

терпит разрыв во внутренней точке c отрезка a,b , то

несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

b	c	b
f x dx f x dx f x dx .
a	a	c

Интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

Примеры.

lim 2 a 2

2 a.

lim

lim 2

lim b

lim

ln1

lim ln b ;

интеграл расходится.

										ln			x			1	, 1


	1			1


3.		dx	lim		dx		lim					1						1
		dx			dx
										x
		x	0		x			0		x
	0		0															, 1
	0		0								1							, 1
											1


				ln1 ln , 1																	ln , 1
									1
			lim						1										lim			1
			lim																lim			1
			0			1						,		1					0					1 1 , 1


				1				1													1

				ln , 1
																				, 1 расходится,
						1					1
			lim					1							, 1					,		1 расходится,
			lim					1			1				, 1					,		1 расходится,
			0 1																	1

						1		1 1 ,							1								, 1		сходится.
																				1C
				1																1C
				1

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4010 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.20242.16 Mб01551.pdf
#
16.06.20242.16 Mб01552.pdf
#
16.06.20242.16 Mб11553.pdf
#
16.06.20242.16 Mб01554.pdf
#
16.06.20242.17 Mб01555.pdf
#
16.06.20242.17 Mб11556.pdf
#
16.06.20242.17 Mб11557.pdf
#
16.06.20242.17 Mб01558.pdf
#
16.06.20242.17 Mб21559.pdf
#
16.06.2024206.93 Кб0156.pdf
#
16.06.20242.17 Mб01560.pdf