1556
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
________________________________________
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Пензенский государственный университет архитектуры и строительства»
И.А.Гарькина, А.М.Данилов, А.Н.Круглова
ТЕСТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
с тезисным изложением теоретического материала
Рекомендовано Редсоветом университета в качестве учебного пособия для студентов,
обучающихся по направлению подготовки 270800.62 – Строительство, квалификация (степень) – бакалавр
Пенза 2013
1
УДК 51 (07)
ББК 74.58:22.1я73 Г20
Рецензенты: кафедра высшей математики ПГУ (зав.кафедрой доктор физико математических наук, профессор И.В. Бойков); доктор химических наук, профессор
А.Н. Кошев (ПГУАС)
Гарькина И.А.
Г20 Тесты по математике с тезисным изложением теоретического материала: учеб. пособие / И.А. Гарькина, А.М. Данилов, А.Н. Круг лова. – Пенза: ПГУАС, 2013. – 392 с.
Предлагаемое пособие подготовлено в соответствии с «Федеральным госу дарственным образовательным стандартом высшего профессионального образо вания» по направлению подготовки 270800.62 – Строительство, квалификация (степень) – бакалавр.
Пособие содержит контрольные задания в виде тестов (30 вариантов) с реше ниями примерных вариантов (с тезисным изложением теоретического материала). Оно может использоваться при планировании, организации и проведении рейтин говой оценки текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации студентов по математике.
Пособие может полезным и для подготовки бакалавров по другим направ лениям в технических вузах.
© Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, 2013
©Гарькина И.А., Данилов А.М., Круглова А.Н., 2013
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое пособие подготовлено в соответствии с «ФедеральC ным государственным образовательным стандартом высшего професC сионального образования» третьего поколения по направлению подгоC товки 270800 (квалификация (степень) – бакалавр), а также с «ПоC ложением о балльноCмодульноCрейтинговой системе оценки качества освоения студентами основных образовательных программ».
При определении содержания пособия исходили из предпосылки, что общий курс математики является фундаментом математического образования и основой для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин.
Пособие содержит контрольные задания в виде тестов (30 ваC риантов) с решениями примерных вариантов (с тезисным изложением теоретического материала).
Оно может использоваться при планировании, организации и проведении рейтинговой оценки текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации студентов по математике. Пособие может полезным и для подготовки бакалавров по другим направлениям в технических вузах.
3
ВВЕДЕНИЕ
Дисциплина «Математика» относится к математическому, естеC ственнонаучному и общетехническому циклу (базовая часть) и явC ляется обязательной к изучению. Она должна вооружить бакалавра математическими знаниями, необходимыми для изучения ряда общеC научных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, создать фундамент математического образования, необходимый для получения профессиональных компетенций бакалавраCстроителя, воспитать математическую культуру и понимание роли математики в различных сферах профессиональной деятельности. Процесс изучения дисциC плины направлен на формирование компетенций:
–использование основных законов естественнонаучных дисциплин
впрофессиональной деятельности, применение методов математичеC ского анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ПКC1);
–способность выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлекать для их решения соответствующий математический аппарат (ПК – 2);
–владение основными методами, способами и средствами получеC ния, хранения, переработки информации, навыки работы с компьютером как средством управления информацией (ПК – 5).
Целью изучения дисциплины является знакомство бакалавров с местом и ролью математики в современном мире, мировой культуре и истории; формирование личности обучающихся, развитие их интелC лекта и способностей к логическому и алгоритмическому мышлению; обучение основным математическим методам, необходимым для аналиC за и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптиC мальных решений для осуществления научноCтехнического прогресса и выбора наилучших способов реализации этих решений, а также обучеC ние методам обработки и анализа результатов экспериментальных данных.
Задачи изучения дисциплины: формирование целостного представC ления об основных этапах становления современной математики и ее структуре, обучение приемам и принципам построения математиC ческих моделей, освоение математических подходов к решению задач строительной отрасли.
4
В результате изучения дисциплины студент должен:
–знать: фундаментальные основы высшей математики, включая алгебру, геометрию, математический анализ, теорию вероятностей и основы математической статистики;
–уметь: самостоятельно использовать математический аппарат, содержащийся в литературе по строительным наукам, использовать математику при изучении других дисциплин, расширять свои математические познания;
–владеть: первичными навыками и основными методами решения математических задач из общеинженерных и специальных дисциплин профилизации.
Пособие позволяет в полной мере осуществить все виды организаC ционноCметодической работы по балльноCмодульноCрейтинговой сисC теме оценки качества освоения студентами программного материала по математике.
Авторы с благодарностью примут все замечания и пожелания по улучшению содержания книги.
5
1. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ПО МОДУЛЯМ
Модуль 1
«Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
Определители второго и третьего порядка. Минор, алгебраическое дополнение. Разложение определителя по элементам строк и столбцов. Понятие определителя любого порядка (по индукции), его свойства и вычисление.
Системы линейных уравнений. Формулы Крамера. Системы лиC нейных однородных уравнений, их нетривиальные решения. Линейные свойства решений систем линейных однородных уравнений
Матрицы, линейные операции над ними. Умножение матриц. Обратная матрица. Ранг матрицы. Теорема Кронекера–Капелли. МатC ричная запись и решение систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, Жордана–Гаусса.
Векторы – отрезки, линейные операции над ними. Проекция вектора на ось. Размерность, базис. Координаты вектора как коэффиC циенты его разложения по базису и как проекции на координатные оси. Направляющие косинусы.
Скалярное произведение векторов, его свойства, выражение в коорC динатах, применение. Координаты вектора как скалярные произведеC ния вектора на координатные орты. Векторное и смешанное произC ведения. Их свойства, выражения в координатах, применение.
Понятие системы координат. Координаты точки как ее аналитиC ческий эквивалент. Прямоугольная декартова система координат. Полярная, сферическая, цилиндрическая системы координат. ПреобC разования координат.
Поверхность в пространстве, ее уравнение. Прямая в пространстве, ее уравнения. Параметрические уравнения линий.
Модуль 2
«Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных»
Функция. Область ее определения. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики
Комплексные числа и действия над ними. Изображение комC плексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера. Корни из комплексных чисел.
6
Предел последовательности. Предел функции. Бесконечно большие величины. Бесконечно малые величины. Сравнение бесконечно малых величин. Первый и второй замечательные пределы. Правила предельC ного перехода. Неопределенности.
Непрерывные функции. Точки разрыва
Производная функции. Геометрический смысл производной. КасаC тельная и нормаль к линии Дифференцирование функций. Правила дифференцирования. Производные сложной и обратной функций. Формулы дифференцирования основных элементарных функций.
Логарифмическое дифференцирование. Производные неявных функций. Параметрически заданные функции и их дифференцироC вание. Дифференциал, геометрический смысл, свойства. Производные и дифференциалы высших порядков
Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.
Приращения функции. Предел функции. Непрерывность функции. Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.
Производные и дифференциалы высших порядков. Производная сложной функции.
Инвариантность формы полного дифференциала. Свойства дифC ференциала. Дифференциал высшего порядка. Дифференцирование неявной функции. Геометрические приложения дифференциального исчисления функций двух переменных. Уравнения касательной плосC кости, нормали.
Экстремум функции нескольких переменных. Производная по наC правлению. Градиент. Линии уровня. Задачи о наибольших и наименьC ших значениях функции. Метод наименьших квадратов
Модуль 3
«Неопределенный и определенный интеграл. Кратные и криволинейные интегралы»
Элементы теории функций комплексного переменного. Первообразная, основные свойства. Неопределенный интеграл,
свойства. Таблица интегралов. Методы интегрирования. НепосредC ственное интегрирование. Метод замены переменной (подстановки). Интегрирование по частям.
Интегрирование рациональных функций путем разложения на проC стейшие дроби. Интегрирование выражений, содержащих тригонометC рические функции. Универсальная тригонометрическая подстановка
7
Интегрирование дробноCлинейной и квадратичной иррациональC ных выражений.
Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию опредеC ленного интеграла. Формула НьютонаCЛейбница. Вычисление опредеC ленного интеграла.
Приложения определенных интегралов.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами. НесобC ственные интегралы от разрывных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов.
Задача об объеме цилиндрического тела. Двойной интеграл, теоC рема существования, свойства. Теорема о среднем.
Вычисление двойных интегралов в декартовых и полярных координатах.
Приложения двойных интегралов к задачам механики (масса, статические моменты, центр тяжести, моменты инерции плоской пластинки). Вычисление площади поверхности.
Масса неоднородного тела. Тройной интеграл. Вычисление тройC ных интегралов (при задании области интегрирования в декартовых, цилиндрических и сферических координатах). Применение тройных интегралов (вычисление статических моментов, моментов инерции пространственных тел, координат центра тяжести).
Криволинейный интеграл по длине (первого рода), вычисление. Масса кривой. Криволинейный интеграл по координатам (второго рода), физический смысл, вычисление.
Условие независимости интеграла от линии интегрирования. ФорC мула Грина. Интегрирование полных дифференциалов. Первообразная функция. Формула НьютонаCЛейбница для криволинейных интеграC лов. Применение криволинейных интегралов второго рода (вычисC ление площади, вычисление работы в потенциальном силовом поле).
Модуль 4
«Обыкновенные дифференциальные уравнения. Числовые и степенные ряды»
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. ДифференC циальные уравнения первого и второго порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения. Геометрическая интерпретация ДУ первого порядка. Интегрируемые типы дифференC циальных уравнений первого порядка. ДУ с разделенными переменC ными, с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. УравC нения, приводящиеся к однородным. Линейные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах
8
Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема сущеC ствования и единственности решения задачи Коши. ДУ, удовлеC творяющее краевым условиям. Некоторые типы ДУ, допускающих понижение порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянC ными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Уравнения второго порядка. Виды решений.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянC ными коэффициентами. Решения при некоторых видах правых частей. Осциллятор. Свободные и вынужденные колебания. Резонанс СисC темы дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме. Общее решение. Частное решение. Фундаментальная система решений.
Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости.
Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. АбсолютC ная и условная сходимости. Признак Лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходиC мость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся ряC дов: почленное дифференцирование и интегрирование. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Приложение рядов.
Модуль 5
«Уравнения математической физики. Ряды Фурье»
Разложение функций по ортогональной системе функций. Формулы Фурье. Тригонометрические ортогональные системы функC ций и разложение функций по этим системам. Теорема о возможности разложения функции в ряд Фурье.
Разложение в ряд четных и нечетных функций, функций с произC вольным периодом и заданных на половине периода
Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных производных. Классификация линейных уравнений в частC ных производных второго порядка, приведение к каноническому виду. Постановка основных задач: задача Коши, краевые задачи, смешанные задачи, корректность постановки задач. Основные уравнения матеC матической физики.
9
Модуль 6
«Теория вероятностей и математическая статистика»
Элементы комбинаторики. Классическая вероятность. СтатистичеC ская вероятность. Методы вычисления вероятностей. Схема Бернулли. Теоремы Пуассона и МуавраCЛапласа.
Дискретные случайные величины. Функция распределения, свойC ства. Математическое ожидание и дисперсия. Свойства.
Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Плотность вероятностей. Их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и дисперсия. Нормальное распределение и его свойства. Закон больших чисел.
Статистическое описание результатов наблюдений. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма, эмпириC ческая функция распределения, выборочная средняя и дисперсия.
Функциональная зависимость и регрессия. Кривые регрессии, их свойства. Коэффициент корреляции, корреляционное отношение, их свойства и оценки.
Понятие о критериях согласия. Проверка гипотез о равенстве долей и средних. Проверка гипотезы о значении параметров нормального распределения. Проверка гипотезы о виде распределения.
10