1526
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет архитектуры и строительства»
(ПГУАС)
Е.И. Куимова, С.Н. Ячинова
МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ
Практикум
Рекомендовано Редсоветом университета в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению подготовки
38.03.01 «Экономика»
Пенза 2015
1
УДК 517.86(035.3) ББК 22.18
К89
Рецензенты: кандидат педагогических наук, доцент 13 кафедры (общепрофессиональных дисциплин) Т.Ю.Новичкова (ПАИИ); доктор технических наук, профессор ка-
федры математики и математического моделирования И.А. Гарькина (ПГУАС)
Куимова Е.И.
К89 Оптимизационные задачи в экономике. Практикум: учеб. пособие / И.Е. Куимова, С.Н. Ячинова. – Пенза: ПГУАС, 2015. – 126 с.
Посвящено некоторым детерминированным методам теории исследования операций, нашедших наиболее широкое применение в теории принятии оптимальных решений в экономике. В каждом разделе предложены материалы для отработки навыков использования оптимизационных алгоритмов.
Пособие подготовлено на кафедре «Математика и математическое моделирование» и предназначено для студентов, обучающихся по направлению подготовки 38.03.01 «Экономика». Рекомендуется при изучении дисциплины «Методы оптимальных решений» (код Б1.Б.3.4, профессиональный модуль).
©Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, 2015
©Куимова И.Е., Ячинова С.Н., 2015
2
ВВЕДЕНИЕ
Пособие посвящено методам решения оптимизационных задач экономики.
Основная цель пособия – формирование математического мышления, помощь в выработке практических навыков решения прикладных задач. Умение строить математические модели, описывающие экономические процессы и явления способствует реализации компетенции ОПК-4 Федерального государственного образовательного стандарта высшего образования, которая заключается в способности находить организационноуправленческие решения в профессиональной деятельности и готовности нести за них ответственность.
Рассматриваются темы:
линейного программирования;
динамического программирования;
сетевого моделирования.
Представлены задания для самостоятельной и аудиторной отработки алгоритмов, которые могут быть использованы для эффективного анализа следующих задач:
Задача максимизации или минимизации производственной функции при наличии ограничений.
Задача производственного планирования.
Задача об оптимальном соотношении ингредиентов смеси.
Транспортная задача.
Задача о назначениях.
Задача о распределении инвестиций.
Задача о замене оборудования.
Задача о кратчайшем пути.
Задача оптимизации временных параметров сетевых графиков. Подробное изложение теоретических основ и пошаговых иллюстраций
представлено в монографии «Е.И. Куимова, С.Н. Ячинова, О.В. Снежкина Оптимизационные задачи в экономике», ПГУАС, Пенза, 2014.
3
1. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
Z X 2x1 3x2 max,
2x1 x2 2,x1 3x2 9,
4x1 3x2 24, x1 0, x2 0
Вариант 3
Z X 2x1 3x2 max,
6x1 x2 3,5x1 9x2 45,x1 3x2 3,
x1 0, x2 0
Вариант 5
Z X 2x1 4x2 max,
3x1 2x2 6,x1 2x2 10,x1 5x2 5,
x1 x2 4, x1 0, x2 0
Вариант 7
Z X 3x1 2x2 max,
3x1 x2 0,x1 x2 2,4x1 x2 16,
2x1 x2 6, x1 0, x2 0
Вариант 2
Z X 5x1 3x2 max,
4x1 x2 0,x1 x2 3,2x1 3x2 6,
x1 0, x2 0
Вариант 4
Z X 2x1 2x2 max,
3x1 2x2 4,x1 2x2 8,x1 x2 10,
4x1 x2 20,
x1 0, x2 0
Вариант 6
Z X 15x1 10x2 max,
6x1 x2 3,x1 2x2 8,
3x1 2x2 24,
x1 x2 3,x1 2x2 2,
x1 0, x2 0
Вариант 8
Z X 2x1 5x2 max,
2x1 x2 4,x1 x2 4,x1 2x2 14,x1 3x2 5,x1 4,
x1 0, x2 0
4
Вариант 9
Z X 2x1 x2 max,
x1 x2 2,
2x1 3x2 16,
x1 x2 10,2x1 x2 8,
x1 0, x2 0
Вариант 11
Z X 2x1 4x2 max,
2x1 x2 9,x1 2x2 15,x1 2x2 9,
2x1 x2 15,
x1 0, x2 0
Вариант 13
Z X 3x1 x2 max,
3x1 2x2 6,2x1 3x2 6,x1 6,
x2 6,
x1 0, x2 0
Вариант 15
Z X 3x1 6x2 max,
4x1 x2 0,x1 x2 3,2x1 3x2 6,
x1 0, x2 0
Вариант 17
Z X x1 x2 max,
3x1 2x2 4,x1 2x2 8,x1 x2 10,
x1 x2 3, x1 0, x2 0
Вариант 10
Z X 3x1 2x2 max,
2x1 x2 0,x1 2x2 3,x2 3,
x1 0, x2 0
Вариант 12
Z X x1 3x2 max,
x1 2x2 12,2x1 x2 6,x1 x2 3,
2x1 x2 6
Вариант 14
Z X x1 2x2 max,
2x1 x2 2,x1 2x2 7,4x1 3x2 12,
x1 3x2 18,
x1 0, x2 0
Вариант 16
Z X 5x1 5x2 max,
2x1 2x2 2,x1 3x2 9,x1 x2 3,
x1 0, x2 0
Вариант 18
Z X 5x1 x2 max,
2x1 3x2 0,
5x1 9x2 45,x1 2x2 4,
x1 0, x2 0
5
Вариант 19
Z X 4x1 2x2 max,
3x1 2x2 6,x1 2x2 10,x1 3x2 6,
x1 x2 3, x1 0, x2 0
Вариант 21
Z X 2x1 3x2 max,
x1 2x2 2,x1 x2 2,2x1 x2 4,
2x1 3x2 0, x1 0
Вариант 23
Z X x1 4x2 max,
2x1 3x2 6,
3x1 2x2 6,2x1 3x2 0,
x1 x2 1, x2 0
Вариант 25
Z X x1 4x2 max,
x1 3x2 0,x1 x2 0,2x1 x2 6,
2x1 3x2 18 x1 0, x2 0
Вариант 20
Z X 3x1 x2 max,
4x1 x2 0,2x1 x2 0,x1 x2 3,
x1 0, x2 0
Вариант 22
Z X 4x1 6x2 max,
4x |
5x |
|
0, |
|
|
1 |
|
2 |
0, |
2x1 |
3x2 |
|||
2x |
3x |
2 |
6, |
|
|
1 |
|
|
|
2x |
x |
2, |
||
|
1 |
2 |
|
|
Вариант 24
Z X x1 4x2 max,
2x1 3x2 6,
2x1 3x2 6,x1 x2 3,
2x1 3x2 9, x1 0, x2 0
Вариант 26
Z X 5x1 x2 max,
2x1 3x2 0,
x1 3x2 9,x1 3x2 3,
x1 3x2 3, x1 0, x2 0
6
Вариант 27 |
|
Вариант 28 |
|
||||
Z X 4x1 3x2 |
max, |
Z X 2x1 3x2 |
max, |
||||
2x |
3x 0, |
|
x |
x 2, |
|
||
|
1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
2x1 x2 4, |
|
x1 x2 0, |
|
||||
|
|
x2 0, |
|
|
|
x2 6, |
|
3x1 |
|
3x1 |
|
||||
2x |
3x 12, |
|
3x |
x 6, |
|
||
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
x2 0 |
|
|
|
|
|
||
Вариант 29 |
|
Вариант 30 |
|
||||
Z X 2x1 3x2 |
max, |
Z X 3x1 4x2 |
max, |
||||
4x x 0, |
|
||||||
2x1 x2 4, |
|
|
1 |
2 |
|
||
|
x1 x2 3, |
|
|||||
|
|
x2 2, |
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
2x2 6, |
|
|||
|
|
|
|
3x1 |
|
||
3x1 |
2x2 0, |
|
2x |
5x 0, |
|
||
x |
x 0, |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
x1 0, x2 0. |
|
|||||
1 |
|
2 |
|
|
|||
Варианты контрольных работ
Вариант 1
А) Z = X1 – 2X2 min.
3X1 X2 11,
X1 3X 2 0,
2X1 X2 2,
X1, X2 0.
Вариант 2
А) Z = X1 + 3X2 max.
X1 X 2 1,
2X1 X 2 2,
X1 X 2 0,
X1, X 2 0.
B) Z = -4X1 + 3X2 + X4 – X5 max.
2X1 X 2 X3 1, |
|
|
|||||||||||||
|
|
3X 2 |
X4 |
13, |
|
||||||||||
X1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
X5 26, |
|
|
|||||||
4X1 X 2 |
|
|
|||||||||||||
X |
1 |
3X |
2 |
X |
6 |
0, |
|
|
|||||||
|
, X |
|
|
|
, X |
|
|
|
, X |
|
0. |
||||
X |
1 |
2 |
, X |
3 |
4 |
, X |
5 |
6 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
B) Z = X1 + 2X2 + X3 – X4 –6 min.
X1 5X 2 X3 X4 X5 10,2X1 X 2 X3 3X 4 6,
10X1 X3 2X4 3X5 25,X1, X 2 , X3, X 4 , X5 0.
7
Вариант 3
А) Z = X1 + X2 max.
X1 2X 2 10,
X1 2X 2 2,
2X1 X 2 10,X1, X 2 0.
Вариант 4
А) Z = X1 + 2X2 max.
X1 X 2 1,
X1 X 2 1,
X1, X2 0.
Вариант 5
А) Z = X1 + 2X2 max.
X1 X 2 1,
X1 2X 2 1,
X1, X 2 0.
Вариант 6
А) Z = X1 + X2 max.
X1 2 X 2 1,
2 X1 X 2 1,
X1 X 2 1,
X1 2 X 2 1,
2 X1 X 2 1,
X1, X 2 0.
Вариант 7
А) Z = X1 – X2 min.
X1 |
X 2 |
1, |
|||
|
|
2X 2 1, |
|||
X1 |
|||||
|
|
|
|
|
2, |
2X1 3X 2 |
|||||
3X1 2X 2 |
3, |
||||
|
|
|
|
|
1 , |
X |
1 |
X |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
, X 2 0. |
|||
X1 |
|||||
B) Z = -3X1 + 2X2 – 3X4 – X5 max.
X1 5X 2 |
X3 |
X 4 |
X5 10, |
||||||||||||||
|
|
|
X 2 |
X 4 |
X5 |
21, |
|||||||||||
4X1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
X 2 |
X 4 |
X5 |
13, |
|||||||||||
4X1 |
|||||||||||||||||
X |
1 |
|
X |
2 |
|
X |
6 |
3, |
|
|
|
||||||
|
, X |
|
|
|
|
|
|
, X |
|
, X |
|
0. |
|||||
X |
1 |
2 |
, X |
3 |
, X |
4 |
5 |
6 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
B) Z = 3X1 – 2X2 + X3 – X4 max.
X1 X 2 4X3 2X 4 2, |
|||
|
|
X3 4X 4 3, |
|
3X1 2X 2 |
|||
|
|
, X 4 |
0. |
X1, X 2 , X3 |
|||
B) Z = X1 – X2 max. |
|||
4 X1 3 X |
2 X |
3 X 4 X 5 6, |
|
|
X 3 |
X 5 15, |
|
X1 4 X 2 |
|||
|
|
X 3 X 4 3, |
|
2 X1 4 X 2 |
|||
X1, X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , 0.
B) Z = X1 + 3X2 max.
2X1 X 2 X5 X6 10, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2X 2 |
X4 X6 25, |
|||||||||||||
2X1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
3X 2 X3 X5 9, |
||||||||||||||
2X1 |
||||||||||||||||||
6X |
2 |
X |
3 |
X |
4 |
36, |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, X |
|
|
|
, X |
|
0. |
|||||
X |
, X |
2 |
, X |
3 |
4 |
, X |
5 |
6 |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
B) Z = X1 – X2 –X3 max.
X1 X2 X3 4,
X1 X 2 X3 2,
X1, X 2 , X3 0.
8
Вариант 8
А) Z = X1 + X2 min.
0 X1 1,
0 X 2 2,
0 X1 X 2 3,1 X1 X 2 0.
Вариант 9
А) Z = X1 – X2 max.
1 X1 X 2 2,
2 X1 2X2 3,1 2X1 X 2 2,
X1, X2 0.
Вариант 10
А) Z = 3X1 + 4X2 max.
1 X1 X 2 1,
X1 X 2 1,
X1 2X 2 2,
2X1 X2 2,X1, X2 0.
Вариант 11
А) Z = 2X1 + X2 max.
X1 2X2 1,
2X1 X2 1,3X1 X2 0,
2X1 X2 0,
2X1 3X 2 3,X1, X2 0.
B) Z = X1 + X2 –X3 min.
X1 X2 X3 4,
X1 X 2 X3 2,
X1, X 2 , X3 0.
B) Z = X1 – 10X2 + 100X3 max.
X1 X 2 X3 1, |
|||||||
|
|
X 2 X3 2, |
|||||
X1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X1 2X3 0, |
|||||||
X |
1 |
2X |
3 |
5, |
|||
|
, X |
|
|
|
0. |
||
X |
1 |
2 |
, X |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|||
B) Z = X1 + X3 max.
2X1 7 X |
2 22X3 22, |
||||||||
|
|
X2 |
|
6X3 6, |
|||||
2X1 |
|
||||||||
|
|
5X 2 2X3 2, |
|||||||
2X1 |
|||||||||
4X |
1 |
X |
2 |
X |
3 |
1, |
|||
|
|
|
, X |
|
0. |
|
|||
X |
, X |
2 |
3 |
|
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
B) Z = X1 + X2 max.
X1 X 2 1,
X 2 X3 1,
X1 X3 2,
X1, X 2 , X3 0.
9
Вариант 12
А) Z = 5X1 – 10X2 min.
2X1 X 2 1,
X1 X 2 2,
3X1 X2 8,
2X1 3X2 9,
4X1 3X 2 0,X1 0.
Вариант 13
А) Z = 12X1 + 4X2 min.
X1 X 2 2,X1 X 2 0,
X1 12 ,
X 2 4.
Вариант 14
А) Z = X1 + 3X2 max.
X1 4X 2 4,
X1 X2 6,X 2 2.
Вариант 15
А) Z = X1 – X2 min.
3 X1 X 2 7,1 X2 4,
X1 4.
Вариант 16
А) Z = 3X1 – 4X2 max.
X1 2X 2 6,
X1 2X 2 0,X1 6.
B) Z = X2 + X3 max.
X1 3X2 X3 5,X 2 X3 2,
X3 0.
B) Z = X1 + X2 + X3 + X4 min.
2X1 X 2 X3 X4 3,2X1 X2 X3 X4 1,
X1, X 2 , X3, X 4 0.
B) Z = X1 + 2X3 + X5 min.
X1 X2 X3 X 4 X5 5,X 2 X3 X4 X5 2,
X3 X4 X5 1,
X1, X 2 , X3, X 4 , X5 0.
B) Z = X1 – X2 + X3 min.
X1 2X 2 X3 X 4 3,X1 4X 2 X3 2,
X1, X 2 , X3, X 4 0.
B) Z = X1 – X4 max.
X1 X2 2X3 X4 5,X1 X 2 X3 2X 4 1,
X1, X 2 , X3, X 4 0.
10