1488

m D

d

S t,

dx

где

m масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверх-

ность площадью S за время

t;

d

градиент плотности газа;

D коэф-

dx

фициент диффузии.

Коэффициент диффузии

D 1

l ,

3

где

средняя арифметическая скорость; l

средняя длина свободного

1 c

l ,

3 V

где cV

удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; плотность

газа;

средняя арифметическая скорость;

l средняя длина свобод-

F

d

S,

где

F сила

dx

внутреннего

трения между движущимися слоями газа;

d

градиент

(поперечный)

скорости течения слоев; динамическая

dx

Дано:

Решение:

хк 40 см 0,4м

Потеря тепла характеризуется плотно-

jE

jE

g

стью теплового потока, которая в

соот-

к

ветствии с уравнением Фурье, определяет-

Вт

Вт

к 0,7

д

0,175

ся по формуле

м K

м K

jE dT .

(1)

х

д

?

dx

Считая, что температура в

стене изменяется по линейному закону

dT

T

,

dx

x

запишем формулу (1) в виде

jE

T

.

x

Для кирпичной стены jE

к

T

.

к

xк

Для деревянной стены

jE

д

Т

.

д

xд

По условию задачи jE

jE .

к

д

д xк

Тогда

T

S

T

S,

откуда x

.

к x

д x

д

к

к

д

x

0,175 0,4 0,1 м.

д

0,7

Дано:

Решение:

m 20 кг

Количество теплоты, прошедшее через внут-

T1 273K

ренние стенки ящика,

0,023

Вт (м K)

Q

T S

T S T2 T1

S,

a 0,3м

отд

x

x

x

b 0,2м

где S площадь стенок.

c 0,5м

S 2(ab bc ac).

x 0,015м

Количество теплоты,

необходимое

для

рас-

T2 293 K

плавления льда,

q 3,34 105 Дж/кг

Qполуч qmл.

?

то Qотд Qполуч,

Так

как потери

теплоты

отсутствуют,

или

T2 T1 S qm

, откуда

x

л

qmл x

.

2 (ab

bc ac)(T

T )

2

1

3,34 105 20 0,015

3,51 10

5

с 97,6ч.

2 0,023 (0,3

0,2

0,2 0,5 0,3 0,5)(293

273)

стекла 0,84 Вт/(мK).

Решение:

Дано:

S 3 м2

Тепловой поток через окно площадью S равен

T1 288K

JE jE S,

0,84 Вт (м K)

где jE плотность теплового потока, равная

x 0,0032м

jE dT

T .

T2 287 K

dx

x

JE ?

JE

T1 T2

S .

0,84(288 287)

x

JE

3 788

Вт.

3,2 10 3

м2

Дано:

Решение:

S 1 м2

Потеря тепла с 1 м2 стены в течение суток

T1 291 K

Q

jE S

,

(1)

0,2 Вт (м K)

где jE плотность теплового потока, равная

x 0,5м

jE dT

T .

(2)

T2 243 K

dx

x

86400 c

Подставив выражение (2) в формулу (1), получим

Q ?

Q

T1 T2 S

.

x

Q 0,2

291 243 186400 1,66 106 Дж.

0,5

Дано:

Решение:

T1 273K

Пусть x текущая толщина слоя льда, dx при-

2,23 Вт (м K)

ращение толщины льда за бесконечно малый про-

T2 283 K

межуток времени d, площадь поверхности озера S,

тогда приращение объема льда dV за время d

86400 c

составит

q 3,34 105 Дж/кг

900 кг/м3

dV Sdx.

x1 ?

Количество теплоты, отданное водой за время d ,

dQ dT

S d

T S d.

(1)

dx

x

Масса льда, образующаяся за время d ,

dm dQ , откуда dQ qdm q Sdx.

(2)

q

Из формул (1) и (2) следует, что

T

S d q S dx,

откуда d

q x dx

.

x

T

Проинтегрируем

полученное

дифференциальное

уравнение

q

x1

q

x2

xdx

1

и выразим

из полученной формулы

искомую

T

T

0

2

толщину слоя льда

x

2 T .

1

q

x

2 86400 2,2310

0,113м.

1

900 334

103

Дано:

Решение:

2

1 3

Коэффициент диффузии

D2

D1 4

1

D 3 l ,

p 2 p1 ?

8RT .

где

средняя скорость молекул,

M

Средняя длина свободного пробега молекул

l

kT

.

2d 2 p

Тогда

D 1

8RT

kT

.

M

2d 2 p

3

D2

1

8RT2

kT2

M

2 d 2 p1

T2

32

p1

D

M

3

T

4.

(1)

3

2 d 2 p

2

8RT

kT

p

1

1

1

1

2

Коэффициент вязкости

1

l D.

3

m

Выразим

из

уравнения

Клапейрона – Менделеева

pV

RT

или

RT

pM

M

p

плотность газа

и подставим это выражение в формулу

RT

M

коэффициента вязкости

pM D .

RT

2

p2M RT1

D2

p2

T1

D2

p2

T1

T2

32

p1

T2

12

D

T

D

T

T

T

3.

(2)

RT

p M

p

p

p

2

1

2

1

1

1

2

1

1

2

1

1

Из уравнений (1) и (2), следует, что

p2

3 T2 .

p

4 T

1

1

Дано:

Решение:

d 2 10 10 м

Согласно уравнению Фурье, плотность теплового

M 0,004 кг/моль

потока

jE dT .

T1 290 K

(1)

T2 310 K

dx

i 3

Считая, что температура гелия между пластинами

dT

T , запишем

x 5 10 3 м

изменяется по линейному закону

dx

x

?

формулу (1) в виде

jE T

T2 T1 .

x

x

газа p m RT

. Учтем, что

m

, тогда плотность газа

pM

.

V

V M

RT

Средняя

арифметическая

скорость молекул

8RT

,

средняя

kT

M

длина свободного пробега

l

.

2d 2 p

1

iR

pM

8RT

kT

1 ik

RT

.

M

2d 2 p

3 d 2

3 2M

RT

3M

T T

T2

T1

.

2

jE

1

ik

RT

T2 T1

1

ik

R(T2 T1)

T2 T1

.

3

d 2

3M

d 2

x

3

3M

x

jE

1

3 1,38 10 23

8,31 (310 290)

310 290

196

Вт

.

3

(2 10 10 )2

2(3,14)3 4 10 3

5 10 3

м2

Ответ: jE

196

Вт.

м2

Дано:

Решение:

V2

V1 2

Коэффициент диффузии газа

a) p const

D

1

l ,

b) T const

где

3

2

1 ?

средняя

арифметическая

скорость

молекул

D

D ?

8RT

2

1

M

;

l средняя

длина

свободного

пробега

l

kT

молекул

.

2d

2

p

l

Подставив

выражения

для

и

в

формулу коэффициента

диффузии, получим

D 1

8RT

kT

.

M

2d 2 p

3

Коэффициент вязкости

D,

m

где плотность газа

V

.

V2

T2 .

V

T

1

1

D2

1

8RT2

kT2

3

M

2d 2 p

T2

32

2 32 2,83.

2d

2 p

8RT

D

3 M

kT

T

1

1

1

1

D pM D RT

T

T

32

T

2

2

2

2

1

1

2

2

D

RT

D

T

T

T

2

1,41.

pM

1

1

1

2

1

2

1

1

б) T const:

По закону Бойля – Мариотта

p V p V

p1

V2 .

1

1

2

2

p2

V1