1488

Выражение (5) позволит найти искомое приращение среднего квадрата скорости теплового движения молекул.

Из выражения для средней энергии поступательного движения молекулы m0 2 / 2 3 2 kT следует, что

2 3kT / m0 .

Средняя полная кинетическая энергия одной молекулы

W0 ikT / 2 .

Совместное решение двух последних уравнений даёт

2 6W0 (im0 ) .

Тогда изменение среднего квадрата скорости

Учитывая выражение (5), находим

2 3u2i .

Для одноатомного газа (i = 3) 2 u2 . Для двухатомного газа (i = 5) 2 0,6u2 .

Ответ: 2 u2 , 2 0,6u2 .

Задачи для самостоятельного решения

Средний уровень

1. Как изменится характер распределения молекул газа по скоростям при уменьшении массы молекул газа при неизменной температуре?

1)максимум функции распределения сместится в сторону меньших скоростей, площадь под кривой распределения уменьшится;

2)максимум функции распределения сместится в сторону больших скоростей, площадь под кривой распределения уменьшится;

3)положение максимума функции распределения не изменится, площадь под кривой распределения увеличится;

4)максимум функции распределения сместится в сторону больших скоростей, площадь под кривой распределения увеличится;

5)максимум функции распределения сместится в сторону больших скоростей, площадь под кривой распределения не изменится.

41

2. На рисунке представлен график распределения молекул идеального газа по величинам скоростей (распределение Максвелла). На оси абсцисс обозначены величины средней, среднеквадратичной и наиболее вероятной скорости. Наиболее вероятной скорости соответствует...

3. В трех одинаковых сосудах при равных условиях находится одинаковое количество водорода, гелия и азота.

Какая из кривых описывает распределение скоростей молекул водорода; азота?

4. В трех одинаковых сосудах находится одинаковое количество газа, причем T1 >T2 >T3.

Какая из кривых описывает распределение скоростей молекул в сосуде с температурой T3?

42

5. В сосуде, разделенном на равные части неподвижной непроницаемой перегородкой, находится газ. Температуры газа в каждой части сосуда равны, но масса газа в левой части больше, чем в правой (M1 > M2).

Функция распределения f ( ) ddN скоростей молекул газа в сосудах

будет описываться кривыми...

молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до d в расчете на единицу этого интервала.

Для этой функции верным утверждением является...

1)с ростом температуры площадь под кривой растет;

2)с ростом температуры максимум кривой смещается вправо;

3)с ростом температуры величина максимума растет.

7. На рисунке представлен график функции распределения Максвелла. Используя максвелловскую функцию распределения молекул по скоростям, можно:

1) доказать, что молекулы движутся с определенной скоростью ;

2) сделать вывод о направлении скорости ;

3) рассчитать вероятность того, что скорость молекул находится в интервале от до d ;

4)рассчитать вероятность того, что скорость молекул равна ;

5)доказать, что скорости молекул отличны друг от друга, но постоянны.

43

8. На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоро-

стям (распределение Максвелла), где f NddN –

доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до d в расчете на единицу этого интервала. Выберите верные утверждения:

1)площадь заштрихованной полоски равна доле молекул со скоростями в интервале от до d ;

2)с ростом температуры площадь под кривой растет;

3)с ростом температуры максимум кривой смещается вправо.

9. На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям

(распределение Максвелла), где f NddN – доля

молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от до d в расчете на единицу этого интервала. Выберите верные утверждения:

1) положение максимума кривой зависит как от температуры, так и от природы газа;

2)при понижении температуры максимум кривой смещается влево;

3)при понижении температуры площадь под кривой уменьшается.

10. На рисунке представлен график распределения молекул идеального газа по величинам скоростей (распределение Максвелла). С ростом температуры T газаплощадьподэтимграфикомбудет…

1)расти пропорционально T 3/2 ;

2)расти пропорционально T ;

3)оставаться неизменной;

4)расти пропорционально T .

11. Ha (p,V)-диаграмме показан процесс, производимый идеальным газом в изолированном сосуде.

Начальное и конечное состояния будут соответствовать распределениям скоростей молекул, изображенным на рисунке...

44

12. В трех одинаковых сосудах при равных условиях находится одинаковое количество водорода, гелия и азота.

Какая из кривых описывает распределение проекций скоростей молекул гелия на произвольное направление x ?

13. На рисунке приведен график распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла) при температуре T. При увеличении температуры в 4 раза положение максимума кривой по оси ...

1)сместится в точку 41 ;

2)не изменится;

3)сместится в точку 21 ;

4)сместится в точку 21 .

45

14. На рисунке представлен график распределения молекул идеального газа по величинам скоростей (распределение Максвелла), где

f NddN доля молекул, скорости которых

заключены в интервале скоростей от до d в расчете на единицу этого интервала. При увеличении температуры и неизменном интервале скоростей d площадь заштрихованной области ...

1)может как увеличиться, так и уменьшиться;

2)увеличивается;

3)уменьшается;

4)не изменяется.

15. На рисунке приведены две кривые распределение молекул одного газа по абсолютным скоростям при разных значениях температур.

Отношение температур T2 T1 равно...

16. Как соотносятся между собой наиболее вероятная в , средняя арифметическая (интегральная) и средняя квадратичная скорость скорости

17. На рисунке представлен график распределения молекул идеального газа по величинам скоростей (распределение Максвелла), v1 и v2 – средняя и средняя квадратичная скорости молекул газа. С ростом температуры газа отношение этих скоростей

1) может как увеличиться, так и уменьшиться;

46

2)увеличивается;

3)уменьшается;

4)не изменяется.

18. На рисунке представлен график функции распределения молекул кислорода по скоростям (распределение Максвелла) для температуры Т = 273 K. При скорости 380 м/c функция достигает

расчете на единицу этого интервала. Для распределения Максвелла справедливы утверждения, что …

1)отлична от нуля вероятность того, что молекула кислорода при T 273 K имеет скорость, точно равную 380 м/с;

2)с понижением температуры площадь под кривой уменьшается;

3)с ростом температуры наиболее вероятная скорость молекул увеличится;

4)площадь заштрихованной полоски равна доле молекул со скоростями

винтервале от 380 м/с до 385 м/с или вероятности того, что скорость молекулы имеет значение в этом интервале скоростей.

Укажите не менее двух вариантов ответов.

19. В сосуде, разделенном на две равные части неподвижной теплоизолирующей перегородкой, находятся одинаковые количества (число молекул) водорода и азота. Если давление газов в обеих частях сосуда одинаково, то распределение скоростей молекул газа в сосуде будет описываться кривыми…

47

20. В сосуде, разделенном на равные части неподвижной теплоизолирующей перегородкой, находятся одинаковые количества газа, причем Р1>Р2. Распределение скоростей молекул газа в сосуде будет описываться кривыми…

Достаточный уровень

1. Определите: 1) наиболее вероятную в ; 2) среднюю арифметическую ; 3) среднюю квадратичную кв скорость молекул азота ( N2 )

при 27 С.

Ответ: 1) в =422 м/c; 2) = 476 м/с; 3) кв =517 м/с.

2. Определите среднюю арифметическую, среднюю квадратичную и наиболее вероятную скорости молекул газа, плотность которого при давлении 300 мм. рт. ст. равна 0,3 г/л.

Ответ: 1) 579 м/с; 2) кв 628 м/с; 3) в 513м/с.

3. При какой температуре T средняя квадратичная скорость атомов гелия станет равной второй космической скоростью 2 11,2 км/c?

Ответ: T 20,1 кK.

скорость кв молекул газа. Ответ: кв 2км/с.

5. Смесь гелия и аргона находится при температуре T 1,2 кK. Определите среднюю квадратичную скорость кв и среднюю кинетическую энергию атомов гелия и аргона.

Ответ: Гелий: кв 2,73км/с, 2,48 10 20 Дж; аргон: кв 864 м/с, 2,48 10 20 Дж.

48

6. Во сколько раз средняя квадратичная скорость кв молекул кисло-

рода больше средней квадратичной скорости пылинки массой m 10 8 г, находящейся среди молекул кислорода?

Ответ: в 1,37 107 раз.

7. Определите среднюю арифметическую скорость молекул газа, если их средняя квадратичная скорость кв 1 км/с.

Ответ: 0,92 км/с.

8. Определите наиболее вероятную скорость в молекул водорода при

температуре T 400 K.

Ответ: в 1,82 км/с.

9.При какой температуре средняя квадратичная скорость молекул кислорода больше их наиболее вероятной скорости на 100 м/с?

Ответ: Т 381K.

10.Определите наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м3.

Ответ: в 478 м/c.

11. Какая часть молекул кислорода при 0С обладает скоростью от 100 м/с до 110 м/с?

Ответ: NN 0,4%

12. Какая часть молекул азота при 150С обладает скоростями от 300 м/с до 800 м/с?

Ответ: NN 70%.

13. Во сколько раз число молекул N1 , скорости которых лежат в интервале от кв до кв , меньше числа молекул N2 , скорости которых лежат в интервале от в до в ?

Ответ: N1 1,1.

N2

14. Какая часть общего числа N молекул имеет скорости: 1) больше наиболее вероятной скорости, 2) меньше наиболее вероятной скорости?

Ответ: 1) NN1 57% ; 2) NN2 43% .

49

15. В баллоне находится 2,5 г кислорода. Найти число молекул кислорода, скорости которых превышают значение средней квадратичной скорости.

Ответ: N 1,9 1022 .

16. В сосуде находится 8 г кислорода при температуре 1600 K. Какое число молекул кислорода имеет кинетическую энергию поступательного движения, превышающую значение 6,65 10-20 Дж?

Ответ: N 1,8 1022 .

17. Считая, что сухой воздух состоит из 78 % азота, 21 % кислорода и 1 % аргона (по объему), определите, какая часть молекул от общего числа при температуре 20°С движется со скоростями от

350 до 360 м/с.

18. Используя функцию распределения молекул идеального газа по энергиям, найдите для данной температуры отношение средней кинетическойэнергии молекулкихнаиболеевероятномузначениюэнергии в.

Ответ: 3.в

19. Определите долю молекул, энергия которых заключена в интервале от 1 0 до 2 0,01kT.

Ответ: NN 7,5310 4.

1.2.2. Распределение Больцмана

Распределение молекул в поле сил тяжести (распределение Больцмана)

T термодинамическая температура.

50