1488

энергию E поступательного движения всех молекул, содержащихся в 1 кмоль пара.

Ответ: пост 1,24 10 20 Дж, 0 2,48 10 20 Дж, E 14,9 МДж.

12. Определите кинетическую энергию 1 , приходящуюся в среднем

на одну степень свободы молекулы азота, при температуре T 1000 K, а также среднюю кинетическую энергию пост поступательного движения,

вращ вращательного движения и среднее значение полной кинетической энергии молекулы.

34,5 10 21 Дж.

1.2. Элементы статистической физики

1.2.1. Распределение Максвелла

Закон о распределении молекул идеального газа по скоростям (распределение Максвелла):

где dN число молекул из общего числа N , имеющих при температу-

ре Т скорости в интервале от до d . Наиболее вероятная скорость молекул

рости которых заключены в интервале от u до u du.

где f функция распределения по энергиям.

31

малый диапазон скоростей, что в пределах его заведомо

f( , T ) const .

Вусловии задачи требуется определить долю

молекул, скорости которых лежат в диапазоне

2 1 10 м/с.

Если в этом пределе функцию Максвелла можно с достаточной степенью точности считать постоянной, то искомая величина может быть рассчитана по приближённой формуле

Такое приближение соответствует тому, что на рисунке заштрихованная площадь приравнивается к площади прямоугольника с основаниеми высотой, равной значению f ( 1, T ) .

Следовательно, прежде всего надо найти значения функции Максвелла при 1 и 2 и выяснить, какую погрешность даёт использование

равенства (1).

Функция Максвелла, как известно, имеет вид

− наиболее вероятная скорость молекул.

32

Для облегчения расчёта найдём сначала наиболее вероятную скорость по равенству (3):

в 2RT / M 410 м/с.

Это значит, что при использовании выражения (1) допускается ошибка, относительная величина которой

Следовательно, с указанной степенью точности можно использовать равенство (1). Тогда доля молекул, скорость которых лежит в заданном интервале,

N / N f ( 1, T ) 4,0 10 3 , т.е. 0,4 %.

Ответ: N / N 4,0 10 3 .

Пример 2. Используя функцию распределения молекул идеального газа

число молекул, скорости которых меньше 0,002 наиболее вероятной

33

Проинтегрировав (2) по u в пределах от 0 до umax , найдем

N 4 1,67 1024 0,0023 1016. 3 3,14

Ответ: N 1016.

Пример 3. Кислород нагревают от температуры T1 240 K до T2 480 K. Рассчитать для каждой из указанных температур значения функции Максвелла при скоростях: а) в ; б) в 200 м/с; в)в 200 м/с; г) 2 в . По полученным значениям построить графики функции f ( , T ) для каждой из температур. Определить, во сколько раз

изменяется при увеличении температуры доля молекул, скорость которых находится в интервале: 1) от 100 до 200 м/с; 2) от 700 до 800 м/с.

Таким образом, первая часть сводится к непосредственному расчёту значений функции Максвелла по формуле (1) при заданных скоростях и температурах и к построению графика по полученным точкам. Относительное число d N / N молекул, скорость которых лежит в диапазоне от1 до 2 1 , в общем случае может быть рассчитана по формуле

34

В случае, когда интервал настолько мал, что изменением функции Максвелла можно пренебречь, т.е. f ( 1, T ) f ( 2 , T ) , доля молекул мо-

жет быть найдена по приближённой формуле

В условии интервал скоростей 100 м/с настолько велик, что использование формулы (4) невозможно. Однако расчет N / N по формуле (3) сложен и записанный интервал в явном виде не берется, приходится пользоваться численными методами интегрирования. При невозможности использования ЭВМ решение задачи может быть проведено приближенно графическим методом: относительное число молекул, скорость которых лежит в диапазоне от 1 до 2 , численно равно площади,

ограниченной графиком функции Максвелла, осью абсцисс (осью скоростей) и ординатами f (1, T ), f (2 , T ) .

Таким образом, расчёт может быть приближённо проведен после построения графиков f ( , T ) .

Для облегчения вычислений найдем сначала по формуле (2) наиболее вероятные скорости для каждой из заданных температур: 1в 350м/с;

2в 500 м/с. Используя выражение (1), определим функции Максвелла:

Как видно из графиков, в заданных диапазонах скоростей функция Максвелла действительно изменяется довольно резко, что и не позволяет использовать приближенную формулу.

Рассчитаем отношение площадей, ограниченных графиком функции Максвелла и соответствующими ординатами (площади находятся по числу клеточек (см. рисунок) в соответствующих диапазонах). В диапазоне скоростей от 100 до 200 м/с

N1 : N2 3 .

N1 N2

В диапазоне скоростей от 700 до 800 м/с

N1 : N2 1 .

N1 N2 3

35

При увеличении температуры от T1 = 240 K до T2 = 480 K доля молекул, скорость которых заключена в диапазоне от 100 до 200 м/с, уменьшилась примерно в три раза, доля молекул, скорость которых лежит в диапазоне от 700 до 800 м/с, увеличилась примерно в три раза.

Пример 4. Используя закон распределения молекул идеального газа по скоростям, найдите среднюю квадратичную скорость молекул.

Для вычисления среднего квадрата скорости молекул воспользуемся табличным интегралом

Ответ: кв 3kT . m0

36

Пример 5. Используя функцию распределения молекул идеального газа по энергиям, найдите для данной температуры отношение средней кинетической энергии молекул к их наиболее вероятному значению

энергии в.

Искомое отношение 3.

в

Ответ: 3.

в

Пример 6. В сосуде содержится газ, количество вещества которого равно 1,2 моль. Рассматривая этот газ как идеальный, определите число N молекул, скорости которых меньше 0,001 наиболее вероятной скорости в .

где N полное число молекул в рассматриваемом объеме.

37

По условию задачи, максимальная скорость интересующих нас молекул max 0,001 в, откуда umax max в 0,001. Для таких значений u

Ответ: N 5,44 1014 молекул.

Пример 7. Зная функцию f ( p) распределения молекул по импульсам, определить среднее значение квадрата импульса p2 .

Функция распределения молекул по импульсам имеет вид

f ( p) 4 1 32 e p2 (2mkT ) p2 . (2)2mkT

38

Эта функция распределения уже нормирована на единицу, т.е.

f ( p)dp 1. С учетом нормировки формулу (1) перепишем иначе:

0

Подставим выражение f ( p) по уравнению (2) в формулу (3) и вынесем величины, не зависящие от p , за знак интеграла:

Этот интеграл можно свести к табличному

В нашем случае это даст

Ответ: p2 3mkT.

Пример 8. Сосуд, содержащий некоторую массу газа, движется со скоростью u. На сколько увеличится средний квадрат скорости теплового движения молекул при остановке сосуда для одноатомного и двухатомного газов? Теплоёмкость, теплопроводность и масса стенок сосуда пренебрежимо малы.

Решение:

При движении сосуда все молекулы газа участвуют одновременно в хаотическом (тепловом) движении и = ? направленном движении со скоростью u. При остановке сосуда молекулы по инерции некоторое время сохраняют свою направленную скорость, но затем в результате соударений друг с другом и со стенками сосуда газ придет в равновесное состояние, при котором молекулы его не

обладают направленной скоростью.

При этом установится максвелловское распределение молекул по скоростям с некоторым значением среднего квадрата скорости 2 2 . Чтобы

выяснить, насколько это значение больше того, что было до остановки

39

сосуда 2 1 , надо найти прирост средней кинетической энергии W0

хаотического движения одной молекулы в результате остановки.

При движении сосуда результирующая скорость сi и кинетическая энергия поступательного движения любой молекулы соответственно равны:

Здесь vi – скорость хаотического движения молекулы.

Для нахождения средней кинетической энергии поступательного движения молекулы выражение (1) надо просуммировать по всем молекулам и затем разделить на общее число N молекул:

Вследствие хаотичности теплового движения, т.е. полной равноправности всех направлений вектора vi , vi 0 и последнее слагаемое в

правой части (2) обращается в нуль. Первое слагаемое можно представить как m0 2 1 / 2 . Тогда поступательная кинетическая энергия молекулы во

время движения сосуда

Очевидно, и средняя полная кинетическая энергия молекулы во время движения сосуда может быть выражена аналогичной суммой:

Если учесть сделанные в условии задачи оговорки, свидетельствующие о том, что сосуд не участвует в энергетическом балансе, то W0 W0 ,

т.е. при остановке сосуда кинетическая энергия направленного движения каждой молекулы полностью переходит в энергию хаотического движения. Сравнивая (3) и (4), получим

40