1488

Средняя кинетическая энергия молекулы

2i kT ,

где i – число степеней свободы молекулы.

Число степеней свободы i молекулы – это число независимых величин, с помощью которых можно задать её положение в пространстве.

i nпост nвращ 2nколеб.

Теорема о равнораспределении энергии: каждой степени свободы молекулы соответствует один и тот же вклад в её среднюю энергию,

равный 12 kT.

пост вращ колеб kT2 nпост nвращ 2nколеб 2i kT.

Увсех молекул, как минимум, три поступательные степени свободы

nпост 3,i 3 .

Уодноатомных молекул только три поступательные степени свободы

i nпост 3 .

Улинейных (всех двухатомных и некоторых трех- и более атомных

HCN,CO2 ) – две вращательные степени свободы nвращ 2 .

Унелинейных (трех и более атомных) есть три вращательные степени свободы nвращ 3 .

Ужестких – нет колебательных степеней свободы nколеб 0 .

Уупругих – есть одна колебательная степень свободы nколеб 1 . Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

p nkT.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Чему равна средняя кинетическая энергия поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 K?

21

В среднем на одну степень свободы приходится энергия

i kT / 2 ,

где k – постоянная Больцмана; T – термодинамическая температура. Поступательному движению приписываются три (i = 3), а враща-

тельному две (i = 2) степени свободы. Энергия одной молекулы водорода

Число молекул, содержащихся в заданной массе газа,

N NA (m / M )NA ,

где число молей; NA постоянная Авогадро.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул водорода

где R kNA молярная газовая постоянная.

Средняя кинетическая энергия вращательного движения молекул водорода

Пример 2. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа при нормальных условиях равна 461 м/с. Какое количество молекул содержится в 1 г этого газа?

22

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы газа может быть рассчитана по формуле

Подставив выражение (4) в формулу (1), определим число молекул газа

Ответ: N 1,88 1022.

Пример 3. Определите массу и давление кислорода, находящегося в баллоне объемом 10 л, если кинетическая энергия поступательного движения всех его молекул равна 2 кДж, а средняя квадратичная скорость молекул равна 1 км/с.

23

и, умножив её на общее число молекул, определим общую массу всех молекул:

В соответствии с основным уравнением молекулярно-кинетической

Пример 4. Определите среднюю квадратичную скорость, среднюю кинетическую энергию поступательного движения и среднюю полную

кинетическую энергию молекул гелия и азота при температуре t 27 C. Определите полную энергию всех молекул 100 г каждого из газов.

где m0 – масса одной молекулы.

Средняя полная энергия молекулы зависит не только от температуры, но и от структуры молекулы – от числа i степеней свободы:

24

Полная кинетическая энергия всех молекул, равная для идеального газа его внутренней энергии, может быть найдена как произведение Е0 на

число N всех молекул:

NА – постоянная Авогадро. Выражение (4) с учетом уравнения Клапейрона − Менделеева позволит рассчитать полную энергию всех молекул газа.

поступательного движения одной молекулы и гелия и азота одинаковы. Для расчёта средней квадратичной скорости выражение (2) удобно

несколько преобразовать, умножив и числитель и знаменатель на NА. Тогда

кв 3RTM ,

кв 5,17 102 м/с.

Для расчёта средней полной энергии молекулы (см. (3)) надо знать число степеней свободы молекулы.

Гелий – одноатомный газ, следовательно, i = 3, тогда

Е0пЕ0 6,2 10 21 Дж.

Азот – двухатомный газ, следовательно, i = 5 и

Е0 52 kT 10,4 10 21 Дж.

Полная энергия всех молекул после подстановки выражений (3) и (5) в формулу (4)

25

Задачи для самостоятельного решения Средний уровень

1.Согласно молекулярно-кинетической теории температура идеального газа прямо пропорциональна:

1)объему газа;

2)моменту импульса частиц газа;

3)среднему импульсу частиц газа;

4)средней кинетической энергии частиц газа.

2.В данном объеме скорость каждой молекулы газа удвоилась. Какое из следующих утверждений справедливо?

1)температура и давление газа увеличилась в 2 раза;

2)температура газа увеличилась в 2 раза, давление газа увеличилось в 4 раза;

3)температура газа увеличилась в 4 раза, а давление – в 2 раза;

4)температура и давление газа увеличились в 4 раза.

3.Средний импульс молекулы идеального газа при уменьшении абсолютной температуры газа в 4 раза…

4.Как должна измениться концентрация молекул одноатомного идеального газа, чтобы при увеличении средней кинетической энергии его молекул в 3 раза давление увеличилось бы в 2 раза?

1) увеличиться в 6 раз;

2) увеличиться в 1,5 раза;

3) уменьшиться в 1,5 раза;

4) уменьшиться в 6 раз.

5.В баллоне емкостью V находится некоторый газ массой m под давлением p . Средняя квадратичная скорость молекул газа кв равна…

26

6.Молекулы водорода в одном сосуде имеют такую же среднюю квадратичную скорость, что и молекулы кислорода в другом сосуде. Какое заключение можно сделать?

1) кислород имеет более высокую температуру;

2) водород имеет более высокую температуру;

3) температура обоих газов одинакова;

4) давление обоих газов одинаково.

7.Средняя квадратичная скорость молекул водорода, азота и кислорода

вразных сосудах одинакова. Что можно сказать о температуре газов?

1)азот имеет более высокую температуру;

2)водород имеет более высокую температуру;

3)кислород имеет более высокую температуру;

4)температура газов одинакова.

8.Сравните давления водорода p1 и кислорода p2 , если концентрация

молекул газов одинакова и среднеквадратичная скорость молекул водорода в 2 раза больше среднеквадратичной скорости молекул кислорода.

теплового движения атомов водорода и гелия при T const составляет ...

10. Идеальный газ нагревают, увеличивая температуру в 4 раза. Как при этом изменяется наиболее вероятная скорость теплового движения молекул?

1)уменьшается в 2 раза;

2)увеличивается в 2 раза;

3)увеличивается в 4 раза;

4)уменьшается в 4 раза.

11. Значение квадрата наиболее вероятной скорости вер2 молекул газа при температуре T1 совпадает со значением их среднего квадрата скорости

2 при температуре T2 , если отношение температур T1 T2 равно ...

27

12. Распределите молекулы по группам A, B, C в порядке увеличения (в каждой последующей группе) числа вращательных степеней свободы (iвращ ). Заполните форму, выбрав целые значения iвращ и номера молекул из

предложенных значений в порядке увеличения их номера.

13. Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа при температуре T равна 2i kT . Здесь i nп nвр 2nк , где nп, nвр и 2 nк – степени свободы поступательного, вращательного и колебательного

степени свободы поступательного, вращательного и колебательного движений молекулы. При условии, что имеет место только поступательное и вращательное движение, для молекулярного водорода средняя кинети-

16. Средняя кинетическая энергия молекул газа при температуре Т зависит от их конфигурации и структуры, что связано с возможностью различных видов движения атомов в молекуле и самой молекулы. При условии, что имеет место поступательное, вращательное движение молекулы как целого и колебательное движение атомов в молекуле, средняя кинетическая энергия молекулы кислорода ( O2 ) равна …

28

17. Если не учитывать колебательные движения в линейной молекуле углекислого газа СО2 (см. рис.), то отношение кинетической энергии вращательного движения к полной кинетической

18. Отношение средней кинетической энергии вращательного движе-

ния к средней энергии молекулы с жесткой связью вращ 52 . Это имеет

Достаточный уровень

1. Определите среднее значение полной кинетической энергии одной молекулы неона, кислорода и водяного пара при температуре 600 K.

Ответ: Ne 12,42 10 21 Дж; O2 2,0710 20 Дж; H2O 2,49 10 20 Дж.

2. В баллоне емкостью 0,05 м3 находятся 120 моль газа при давлении 0,6 107 Па. Определите среднюю кинетическую энергию теплового движения молекулы газа.

Ответ: = 0,623 ·10-20 Дж.

3. Определите среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы двухатомного газа, если суммарная кинетическая энергия молекул 1 кмоль этого газа 6,02 МДж.

Ответ: вращ 2,97 10 2 Дж

29

4. Давление идеального газа 2 мПа, концентрация молекул 2·1010 см-3. Определите среднюю кинетическую энергию поступательного движения одной молекулы и температуру газа.

Ответ: пост 1,5 10 19 Дж; Т 7,25 103 K .

5. Водород в количестве 0,5 моль находится при температуре 300 K. Вычислите среднюю кинетическую энергию вращательного движения одной молекулы, а также суммарную кинетическую энергию всех молекул этого газа.

Ответ: вращ 4,14 ·10-21Дж, E 1242 Дж.

6. Определите давление, оказываемое газом на стенки сосуда, если его плотность равна 0,01 кг/м3, а средняя квадратичная скорость молекул газа

составляет 480 м/с. Ответ: 768 Па.

7. Средняя квадратичная скорость молекул некоторого газа при нормальных условиях равна 461м/с. Какое количество молекул содержится в 1 г этого газа?

Ответ: N = 1,88·1022.

8. Чему равна энергия теплового движения 20 г кислорода при температуре 10°С? Какая часть этой энергии приходится на долю поступательного движения и какая часть на долю вращательного?

Ответ: E 3,7 103 Дж; Eпост 2,2 103 Дж; Eвращ 1,5 103 Дж.

9. Найдите кинетическую энергию теплового движения молекул, находящихся в 1 г воздуха при температуре 15°С. Воздух считать однородным газом с молярной массой 29 10-3 кг/моль.

Ответ: Е 210 Дж.

10. Определите среднюю кинетическую энергию 0 поступательного движения молекул газа, находящегося под давлением 0,1 Па. Концентра-

ция молекул газа равна 1013 см 3 . Ответ: 0 1,5 10 20 Дж.

11. Определите среднюю кинетическую энергию пост поступательного

движения и среднее значение полной кинетической энергии молекулы водяного пара при температуре T 600 K. Найдите также кинетическую

30