Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1488

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

1.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2216 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

2.4. Энтропия. Второе начало термодинамики

Основные формулы

Определение энтропии: энтропия есть такая функция состояния системы, дифференциал которой связан с элементарным тепловым эффектом

в обратимом процессе соотношением dS TQ .

Изменение энтропии идеального газа при равновесном переходе из состояния 1 в состояние 2:

2 dQ

S1 2 S2 S1

cV ln T

Rln

Изменение энтропии:

в изохорном процессе (V const ):

ln T2 ;

1 2

M V

в изобарном процессе ( p const ):

ln T2

Rln V2

;

1 2

в изотермическом процессе (T const ):

Rln V2 ;

1 2

в адиабатном процессе ( Q 0 ):

S const.

Изменение энтропии при плавлении:S mT .

Изменение энтропии при парообразовании:S mrT .

Связь энтропии и термодинамической вероятности:

S k lnW.

151

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Определите изменение энтропии S при изотермическом расширении азота массой m 10 г, если давление газа уменьшилось от

p1 0,1МПа до p2 50кПа.

Дано:

Решение:

m 10 г

Изменение энтропии

газа в

изотермическом

p1 0,1МПа

процессе

p2 50кПа

M 28 10

кг/моль

S ?

Согласно первому началу термодинамики коли-

чество теплоты, полученное газом, равно

Q U A.

Для изотермического процесса U 0 , поэтому Q A .

Работа газа в изотермическом процессе

RT ln V2

RT ln

поэтому изменение энтропии газа

Rln

10 2

105

2,06Дж/K.

8,31ln

28 10 3

5 104

Ответ: S 2,06Дж/K.

Пример 2. Во сколько раз необходимо увеличить объем 5 моль

идеального газа при изотермическом расширении, чтобы его энтропия увеличилась на S 57,6 ДжK ?

Дано:	Решение:
5моль	Изменение энтропии идеального газа
S 57,6Дж K	S dQ ,	(1)
n ?	S dQ ,	(1)
n ?	T
	где dQ бесконечно малое количество	теплоты,
	подводимое к газу, T температура.
В изотермическом	процессе температура T постоянна, внутренняя

энергия газа не изменяется, поэтому подводимая к газу теплота полностью расходуется на совершение газом работы:

dQ dA pdV .

152

С учетом этого формула (1) принимает вид

S 1 V2 pdV , T V1

где V1 – начальный объем; V2 – конечный объем после расширения. Из уравнения Клайперона-Менделеева найдем давление p :

pV RT , p RT .

Тогда

	RT V2		dV	V	R lnV2 lnV1 Rln	V

S			V RlnV	2		2	Rln n , (2)
	T			V1		V

		V1				1

где n V2 величина, показывающая, во сколько раз увеличивается объем

газа. Из (2) находим n :

ln n	S	,	n e S R .
	R

57,6

n e5 8,31 e1,386 4,00.

Ответ: объем газа необходимо увеличить в 4,00 раза.

Пример 3. Кислород, масса которого m 200 г, нагревают от температуры t1 27 C до t2 127 C . Найти изменение энтропии, если извест-

но, что начальное и конечное давления одинаковы и близки к атмосферному.

		Дано:	Решение:
	m 200 г		Последняя оговорка в условии показывает, что в рас-
t1 27 C			сматриваемой задаче кислород подчиняется уравнениям
t		127 C	идеального газа.
t	2	127 C	Характер процесса нагрева неизвестен.
S2 S1 ?			Характер процесса нагрева неизвестен.
S2 S1 ?

Но изменение энтропии системы при переходе из одного состояния в другое определяется только параметрами этих состояний и не зависит от характера процесса.

Найти изменение энтропии можно, рассмотрев произвольный обратимый процесс, в результате которого систему (в данном случае идеальный газ) можно перевести из состояния 1 в 2 ( см. рисунок).

153

На рисунке показаны два таких возможных квазистатических процесса: первый – изобарное расширение 1-2; второй – изотермическое расширение 1-3 с последующим изохорным нагреванием 3-2.

Для процесса 1-2

			2	Q	p
S	2	S		T	p	,	(1)
S		S				,	(1)
		1
			1

где Qp Mm Cp dT .

Для процессов 1-3-2

			1	3		2	Q
			T				T
S	2	S			Q		V	,	(2)
	2	1			T
				1		3

где QT A pdV , QV Mm CV dT .

Найдем изменение энтропии, рассматривая изобарный процесс 1–2. При изобарном процессе молярная теплоёмкость Cp const (i 2)R / 2 .

Подставляя выражение Qp постоянство Cp , получим

S2 S1 Mm

под знак интеграла равенства (1) и учитывая

i 2	2 dT	m i 2			T
2	R T			R ln	2	.
		M	2		T
	1				1

Кислород – газ двухатомный (i = 5), и для заданных температур

S2 S1 52 Дж/K.

Легко проверить, что результат не изменится и при переходе 1-3-2.

Подставляя выражения

в (2) и учитывая, что при

изотермическом процессе p p1V1

/ V mRT1 / (MV ) , получим

3 dV m

2 dT m

V m

R V

S2 S1

R ln V

Учитывая, что T3 T1 , V3

V2 , а также T2

/ T1 V2 / V1 , получим

i 2 R ln T2 .

Ответ: S2 S1 52 Дж/K.

154

Пример 4. При нагревании двухатомного идеального газа ( 2 моль) его термодинамическая температура увеличилась в n 2 раза. Определите изменение энтропии газа, еcли нагревание происходит: 1) изохорно; 2) изобарно.

Дано:

Решение:

2 моль

Энтропия – это функция состояния системы.

n 2

Приращение

энтропии dS

равно

приведенному

количеству

теплоты,

полученному

результате

SV ?, Sp

перехода системы из одного состояния в другое:

dS Q .

В соответствии с

определением энтропии её изменение при переходе

системы из одного состояния в другое

S S 2

U A .

1 2

1) При изохорном процессе (V const ), A 0 , поэтому

2 dU

2 dT

SV T

Rln T

Rln n .

Для двухатомного газа i 5.

5 2 8,31ln 2 28,8 Дж/K.

2) При изобарном процессе ( p const ), A pdV RT dV

, тогда

RdT RT dVV

i T2

V ) R(

) .

При изобарном процессе

V2 T2 n ,

V1 T1

поэтому

Sp Rln n(2i 1).

Sp 2 8,31 ln 2(52 1) 40,3 Дж/K.

Ответ: SV 28,8 Дж/K; Sp 40,3 Дж/K.

155

Пример 5. Азот массой m 28г адиабатно расширили в n 2 раза, а затем изобарно сжали до первоначального объема (см. рисунок). Определите изменение энтропии газа в ходе указанных процессов.

Дано:

Решение:

m 28г

При адиабатном расширении газа (1-2) Q 0,

n 2

следовательно S12

0 , т.е. энтропия не меняется.

M 28 10 3 кг/моль

При изобарном сжатии система отдает теплоту,

S13 ?

поэтому S23 < 0.

3 Q

3 cpdT

3 dT m i

S23

cp T

(

1)Rln T .

Из уравнения изобары 2-3:

nV1

T2 n,

следует, что

1 ,

поэтому

S23 Mm (2i 1)Rln 1n .

Так как 1n 1, то ln 1n 0 , т.е., действительно, S23 0 . Общее изменение энтропии в ходе указанных процессов

S13 0 S23 Mm (2i 1)Rln n .

S13 28 10 3 (5 1)8,31 ln 2 20,2 Дж/K. 28 10 3 2

Ответ: S13 20,2 Дж/K.

Пример 6. Теплоизолированный сосуд, разделенный на две равные части (V1 2 л, V2 3 л) , наполнен идеальным газом. В первой части газ

находится под давлением p1 105 Па при температуре t1 27 C ; во вто-

рой части под давлением p2 5 105 Па и той же температуре (см. ри-

сунок). Найдите изменение энтропии всей системы после удаления перегородки и установления равновесного состояния. Изменится ли ответ, если в объемах V1 и V2 находятся разные газы?

156

V1 2	Дано:		Решение:
	л	Рассматриваемая система
V2 3	л	изолирована – теплообмен не
p 105 Па		происходит, внешние силы не
1		действуют.	После удаления

p2 5 105 Па		перегородки	начнется заведомо необратимый
t1 27 C		самопроизвольный процесс, в результате которого
		во всем сосуде будет находиться однородный газ
S ?
		под некоторым давлением p0 , причем p1 p0 p2 .

Вся система не участвует в теплообмене, ни один из газов не совершает работы. Следовательно, в конечном состоянии суммарная внутренняя энергия системы, а значит, и средняя энергия, приходящаяся на долю одной молекулы, будут такими же, как и до удаления перегородки. Поэтому температура газа остается постоянной и равной T1 .

Энтропия системы в результате этого необратимого процесса увеличивается. Изменение ее определяется только начальным и конечным состояниями системы. Чтобы найти это изменение, надо представить себе любой обратимый процесс, переводящий данную систему из начального состояния в конечное.

Представим себе, что сосуды разделены поршнем, который перемещается до тех пор, пока давление с обеих его сторон не станет одинаковым и равным p0 (газ в левой части сосуда сжимается, в правой – расши-

ряется). Чтобы процесс был изотермическим и обратимым, во-первых, должна быть нарушена теплоизоляция сосуда: газ в левой части сосуда должен отдавать теплоту, в правой – получать. Во-вторых, поршень должен двигаться медленно, следовательно, на него должна действовать внешняя сила, компенсирующая результирующую силу давления газов.

После выравнивания давлений обе части газа окажутся в одинаковых равновесных состояниях; поэтому если убрать перегородку (поршень), то энтропия системы не изменится. Следовательно, искомое изменение энтропии системы равно сумме изменений энтропии каждой части газа в отдельности при описанном изотермическом перемещении поршня:

S S	S		p0	Q	p0	Q .	(1)
1		2	p	T	p	T
1		2
			1		2

При изотермическом процессе

QT AT pdV V d p .

157

[Последнее из равенств следует из того, что d( pV ) 0 при pV const .] Тогда из уравнения (1)

1			p1	p2
S			V d p V d p .
	T
1				p0
		p0

Выражая в интегралах текущий объем V из уравнений изотермических процессов, записанных для начального и текущего состояний, получим

1 p1S

1 p0

p1V1

p2V2

d p

p1V1

p2V2 ln

(2)

Давление p0 может быть найдено из уравнений изотермических процессов для каждой части газа:

p V p V ,				p V		p V ,		(3)
1	1	0	1	2	2	0	2

где V1 и V2 − объем каждой части газа после выравнивания давлений, при-

чем V1 V2 V1 V2 . Тогда почленное сложение уравнений (3) дает

p1V1 p2V2 p0 V1 V2 ,

откуда

p1V1 p2V2

(4)

V1 V2

Подставим выражение (4) в (2):

p V

p1(V1 V2 )

p V ln

p2 (V1

V2 )

1,1 Дж/K.

p V p V

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

Если бы в объемах V1 и V2

находились разные газы, то после удаления

перегородки, даже при условии, что по обе ее стороны газы находятся под одинаковым давлением p0 , начнется необратимый самопроизвольный про-

цесс диффузии, который приведет к выравниванию концентраций каждого из газов во всем объеме сосуда. Очевидно, что в процессе диффузии энтропия будет возрастать. Следовательно, в этом случае полное изменение энтропии системы больше значения, найденного ранее.

Чтобы рассчитать изменение энтропии в процессе диффузии, надо заменить реальный необратимый процесс таким воображаемым обратимым процессом, который приведет систему в то же самое конечное состояние. Такой процесс может быть осуществлен только с помощью полупроницаемых перегородок, т.е. перегородок, проницаемых для молекул одного газа и непроницаемых для молекул другого газа.

Ответ: S 1,1 Дж/K.

158

Пример 7. Докажите, что коэффициент полезного действия теплового двигателя, работающего по произвольному обратимому циклу, меньше, чем коэффициент полезного действия цикла Карно, работающего между максимальной и минимальной температурами этого цикла.

Дано:	Решение:
Tмакс , Tмин	Чтобы сравнить коэффициент полезного дей-
	ствия некоторого произвольного цикла и цикла
К	ствия некоторого произвольного цикла и цикла
	Карно, проведенного в том же интервале темпе-
	ратур, следует сравнить выражения

	Tмакс Tмин		1	Tмин	и	Q1 Q2	1	Q2	,

К	Tмакс			Tмакс		Q1		Q1

где Tмакс и Tмин		− соответственно максимальная и ми-
нимальная температуры					произвольного			цикла;

Q1 − полное количество теплоты, полученное рабочим

телом от всех термостатов-нагревателей, с которыми рабочее тело находилось в контакте за цикл; Q2 −

полное количество теплоты, отданное рабочим телом всем термостатамхолодильникам за цикл.

Следует обратить внимание, что изменение температуры рабочего тела, например, от T1 до T2 обратимым процессом может быть осуществлено

только при наличии очень большого числа термостатов с температурами, охватывающими весь диапазон от T1 до T2 , причем температуры соседних

термостатов очень мало отличаются одна от другой. (Чем больше число термостатов, чем меньше отличаются температуры двух соседних, тем ближе процесс к обратимому.) Очевидно, исключение составляет только изменение температуры в результате адиабатного расширения или сжатия, для осуществления которого вообще не требуется термостатов.

Поскольку произвольный цикл обратим, для него неравенство Клаузиуса примет вид

Q 0 .

Представим этот интеграл как сумму двух: в первый войдут все участки, на которых рабочее тело получает теплоту от термостатов-нагре- вателей, во второй – все участки, на которых рабочее тело отдает теплоту термостатам-холодильникам. Можно предположить, что для произвольного цикла первый интеграл соответствует процессам 1 D 2, второй –

процессам 2 N 1 (см. рисунок). Тогда
	Q	2	Q	1	Q
	T		T		T	0.
		1D		2N

159

Так как на всех участках 2 N 1 рабочее тело отдает теплоту (Q 0) , то

0 , или

(1)

Если на всех участках 1 D 2 текущую температуру рабочего тела, при которой происходит теплообмен, заменить максимальной температурой цикла, то

2	Q	2	Q	1	2		Q
	T					Q	1	.	(2)
			T	T			T
1D		1D	макс	макс 1D			макс

Аналогично, если на всех участках 2 N 1 заменить текущую температуру минимальной, то

(3)

мин

мин 2N

мин

Из выражений (1) – (3) следует, что

Q1 Q2 ,

Tмакс Tмин

откуда Tмин Q2 . Тогда

Tмакс Q1

1 Tмин 1 Q2 и К .

Tмакс Q1

Ответ: К .

Пример 8. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы, и температуры их становятся одинаковыми. Покажите, что энтропия при этом увеличивается.

Решение:

Пусть температура горячей воды T1 , холодной T2 , а температура смеси. Определим температуру смеси, исходя из уравнения теплового баланса

mc T2 mc T2	или	T1 T2 ,
откуда
T1 T2 / 2 .		(1)
Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей воды,

S1 cmdTT	cmln			.
S1 cmdTT	cmln		T	.
T1		1

160

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 2216 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.20241.92 Mб21483.pdf
#
16.06.20241.92 Mб21484.pdf
#
16.06.20241.93 Mб21485.pdf
#
16.06.20241.93 Mб31486.pdf
#
16.06.20241.93 Mб91487.pdf
#
16.06.20241.93 Mб81488.pdf
#
16.06.20241.94 Mб31489.pdf
#
16.06.2024204.63 Кб0149.pdf
#
16.06.20241.94 Mб31490.pdf
#
16.06.20241.94 Mб21491.pdf
#
16.06.20241.94 Mб21492.pdf