1488
.pdf
15. Двухатомный идеальный газ ( 2 моль) нагревают при постоянном объеме до температуры 289 K. Определите количество теплоты, которое необходимо сообщить газу, чтобы увеличить его давление в 3 раза.
Ответ: Q 2i R(n 1)T1 24 кДж.
16. При изобарном нагревании некоторого идеального газа ( 2 моль) на T 90 K ему было сообщено количество теплоты 5,25 кДж. Определите: 1) работу, совершенную газом; 2) изменение внутренней энергии газа; 3) величину cP / cV .
Ответ: 1) A 1,5 кДж; 2) U 0,6 кДж; 3) 1,4.
17. Кислород объемом 1 л находится под давлением 1 МПа. Определите, какое количество теплоты необходимо сообщить газу, чтобы: 1) увеличить его объем вдвое в результате изобарного процесса; 2) увеличить его давление вдвое в результате изохорного процесса.
Ответ: Qизоб 3,5 кДж; Qизох 2,5 кДж.
18. Азот массой m 14 г сжимают изотермически при температуре T 300 K от давления p1 100 кПа до давления p2 500 кПа. Определите:
1) изменение внутренней энергии газа; 2) работу сжатия; 3) количество выделившейся теплоты.
Ответ: 1) U 0 ; 2) A 2,01 кДж; 3) Q 2,01 кДж.
19. Некоторый газ массой 1 кг находится при температуре T 300 K и под давлением p1 0,5 Па. В результате изотермического сжатия давление
газа увеличилось в два раза. Работа, затраченная на сжатие, A 432 кДж. Определите: 1) какой это газ; 2) первоначальный удельный объем газа.
Ответ: 1) гелий; 2) 1 1,25м3/кг.
20. Водород объемом V0 1 м3, находящийся при нормальных усло-
виях, вначале изохорно перевели в состояние с давлением, в пять раз большим первоначального, а затем изобарно в состояние с объемом, в два раза большим первоначального. Определите: а) изменение внутренней энергииU газа; б) работу A, совершенную газом; в) полученное количество теплоты Q .
Ответ: а) U 2,2 106 Дж; б) A 5 105 Дж; в) Q 2,7 106 Дж.
131
21. Два моль идеального газа при начальной температуре 300 K охладили изохорно, вследствие чего его давление уменьшилось в два раза; затем газ изобарно расширили так, что в конечном состоянии его температура стала равна начальной. Найдите количество тепла Q , погло-
щенное газом в данном процессе. Ответ: Q 2,5 кДж.
22. Определите количество теплоты, поглощаемой водородом массой m 0,2 кг при нагревании его от температуры t1 0 C до температуры
t2 100 C при постоянном давлении. Найдите также изменение внутрен-
ней энергии газа и совершаемую им работу.
Ответ: Q 291кДж, U 208 кДж, A 83 кДж.
23. Какое количество теплоты Q потребовалось подвести к молю
одноатомного газа при его изобарном обратимом нагревании, если в процессе этого нагревания газ совершил внешнюю работу A 10 Дж?
Ответ: Q 25 Дж.
24. Какое количество теплоты Q отдает одноатомный газ при его изобарическом обратимом охлаждении при температуре от T1 до T2 , если
на сжатие газа в ходе этого процесса затрачена работа A 12 Дж. Ответ: Q 30 Дж.
25. При постоянном давлении водяной пар V 12 м3 нагрет от температуры t1 127 C до t2 227 C . Начальное давление водяных паров
p0 1,2 105 Па. Определите количество теплоты Q , необходимое для нагревания, при условии, что молярная теплоемкость Cp 33700 Дж/К моль = = сonst .
Ответ: Q 11 103 кДж.
26. Перегородка нагревательной печи размером 2 30 0,5 м выполнена из кирпича, у которого плотность 1900 кг/м3, а удельная теплоемкость изменяется согласно закону, выраженному уравнением с с0 1 bt ,
где с0 880 Дж/(кг К), b 2,4 К-1, t – температура в градусах Цельсия. Определите количество теплоты, аккумулированное этой перегородкой при условии, что ее температура изменяется в пределах от t1 200 C до t2 12000 C .
Ответ: Q 14,55 109 Дж.
132
27. При расширении 3,2 кг кислорода согласно закону, выраженному уравнением pV 2 const , объем его изменился с 2 м3 до 4,4 м3. Определите изменение внутренней энергии U и количество поглощенной теплоты Q
при условии, что давление газа до расширения p1 2,5 105 Па. (Считать cT 652 Дж/(кгK)).
Ответ: U 686 кДж; Q 412 кДж.
28. 0,5 моль идеального одноатомного газа нагревают от 250 до 500 K так, что в процессе нагревания Vp const . Определите молярную тепло-
емкость газа. Рассчитайте количество теплоты, поглощенное газом при нагревании.
Ответ: С 16,6 Дж/К моль; Q 2,1 кДж.
29. Какая доля 1 количества теплоты Q1 , подводимого к идеальному
газу при изобарном процессе, расходуется на увеличение U внутренней энергии газа и какая доля 2 — на работу A расширения? Рассмотреть три
случая, если газ: 1) одноатомный; 2) двухатомный; 3) трехатомный.
Ответ: 1) 0,6; 0,4. 2) 0,71; 0,29. 3) 0,75; 0,25.
30. Водяной пар расширяется при постоянном давлении. Определить работу A расширения, если пару передано количество теплоты Q 4 кДж.
Ответ: A 1кДж.
31. При изотермическом расширении кислорода, содержавшего количество вещества v 1 моль и имевшего температуру T 300 К, газу было передано количество теплоты Q 2 кДж. Во сколько раз увеличился
объем газа?
Ответ: V2 2,23.
V1
32.Какое количество теплоты Q выделится, если азот массой m 1 г,
взятый при температуре T 280 К под давлением p1 0,1 МПа, изотермически сжать до давления p2 1 МПа?
Ответ: Q 191 Дж.
33.При изохорном нагревании кислорода объемом V 50л давление газа изменилось на p 0,5МПа. Найдите количество теплотыQ, сооб-
щенное газу.
Ответ: Q 62,5 Дж.
133
34. Баллон вместимостью V |
20л содержит водород при температуре |
Т 300 K под давлением р 0,4 |
МПа. Каковы будут температура Т1 и |
давление р1, если газу сообщить количество теплоты Q 6 кДж?
Ответ: Т1 390 K, р1 520 кПа.
2.3. Круговые процессы. термический кпд. Цикл Карно
Основные формулы
Коэффициент полезного действия для кругового процесса (цикла)
|
A |
|
Q1 Q2 |
1 |
Q2 |
, |
|
Q |
|||||||
|
|
Q |
|
Q |
|
||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
где Q1 количество теплоты, |
переданное рабочему телу нагревателем; |
||||||
Q2 количество теплоты, отданное рабочим телом холодильнику. Для идеального цикла Карно
T1 T2 ,
T1
где Т1 температура нагревателя, T2 температура холодильника.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Температура нагревателя тепловой машины 500 K. Температура холодильника 400 K. Определите КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно, и полную мощность машины, если нагреватель ежесекундно передает ей 1675 Дж теплоты.
Дано: |
|
|
Решение: |
|
|
|
||
T1 500 K |
|
КПД тепловой машины |
|
|
|
|
||
T 400 K |
|
|
(T1 T2 ) / T1, |
|
(1) |
|||
2 |
|
|
|
A / Q1 . |
|
|
(2) |
|
Q 1675 Дж |
|
|
|
|
||||
1 |
|
Из выражений (2) и (1) находим |
|
|
||||
1) ? 2) |
N ? |
Q . |
||||||
|
|
|
A Q T T |
/ T |
||||
|
|
|
1 |
1 |
2 |
1 |
|
1 |
|
|
|
500 400 0,2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
500 |
|
|
|
|
|
A 0,2 1675 335 Дж.
Эта работа совершается за 1 с, следовательно, полная мощность машины N 335 Вт.
Ответ: 1) 0,2 ; 2) N 335 Вт.
134
|
|
Пример 2. |
Температура пара, поступающего в паровую |
машину, |
|||
t |
127 C ; температура в конденсаторе t |
2 |
27 C. Определите теоретиче- |
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ски максимальную работу при затрате количества теплоты Q1 4,2 кДж. |
|||||||
|
|
Дано: |
|
|
|
Решение: |
|
t1 127 C |
|
Для того чтобы работа, совершаемая тепловой |
|||||
t |
|
27 C |
|
машиной (тепловым двигателем), была |
макси- |
||
2 |
|
мальной, необходимо, чтобы цикл, по которому |
|||||
Q1 4,2 кДж |
|
работает двигатель, был обратимым. При наличии |
|||||
A ? |
|
только двух термостатов – нагревателя с тем- |
|||||
|
|
|
|
пературой T1 и холодильника с температурой T2 − |
|||
|
|
|
|
возможен лишь один обратимый цикл – цикл |
|||
|
|
|
|
Карно, состоящий из двух изотерм и двух адиабат |
|||
|
|
|
|
(см. рисунок). |
|
|
|
Коэффициент полезного действия этого цикла
к (T1 T2 ) / T1 . |
(1) |
КПД любого теплового двигателя |
|
A / Q1 , |
(2) |
где A – полезная работа, совершаемая двигателем, Q1 − количество теплоты, полученное рабочим
телом от нагревателя.
Очевидно, что сопоставление равенств (1) и
(2)позволит найти искомое значение А. Приравнивая правые части равенств (1) и (2),
получим
A / Q1 (T1 T2 ) / T1,
откуда
A Q1(T1 T2 ) / T1 1,05 кДж.
Ответ: A 1,05 кДж.
Пример 3. Один моль идеального двухатомного газа находится под давлением p1 250 кПа и занимает объем V1 10 л. Сначала газ изохорно
нагревают до температуры T2 400 K. Далее, изотермически расширяя,
доводят его до первоначального давления. После этого путем изобарного сжатия возвращают газ в начальное состояние. Определите термический КПД ( η) цикла.
135
Дано: |
Решение: |
T2 400 K |
Построим сначала график цикла, состоящего из |
v 1 моль |
изохоры, изотермы и изобары. |
p1 250 кПа |
|
V1 10 л |
|
?
Термический КПД любого цикла
A Q1 Q2 1 Q2 ,
Q1 Q1 Q1
где Q1 количество теплоты, полученное газом за цикл от нагревателя; Q2 количество теплоты, отданное газом за цикл холодильнику.
Заметим, что разность количеств теплоты Q1 Q2 равна работе A, совершаемой газом за цикл. Эта работа на графике в координатах p,V (см.
рисунок) равна площади цикла.
Рабочее вещество (газ) получает количество теплоты Q1 на двух участках: Q1 2 на участке 1-2 (изохорный процесс) и Q2 3 на участке 2-3 (изотермический процесс). Таким образом,
Q1 Q1 2 Q2 3.
Количество теплоты, полученное газом при изохорном процессе,
Q1 2 CV (T2 T1),
где CV молярная теплоемкость газа при постоянном объеме; v коли-
чество вещества.
Температуру T1 начального состояния газа найдем, воспользовавшись уравнением Клапейрона – Менделеева:
T1 p1V1 / (R).
T 250 103 |
10 2 |
K 300 K. |
||
1 |
1 |
8,31 |
|
|
|
|
|||
Количествотеплоты, полученноегазомприизотермическомпроцессе, равно
Q2 3 RT2 ln(V2 / V1),
где V2 объем, занимаемый газом при температуре T2 и давлении p1 (точка 3 на графике).
136
На участке 3-1 газ отдает количество теплоты Q2 , равное
Q2 Q3 1 Cp(T2 T1),
где Cp молярная теплоемкость газа при изобарном процессе. Подставив найденные значения Q1 и Q2 в формулу (1), получим
|
|
|
1 |
|
vCp T2 T1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
vCv T2 T1 vRT2 ln V2 |
V1 |
|
|
|
|||||
|
|
В полученном выражении заменим отношение объемов V2 / V1 согласно |
||||||||||
закону Гей-Люссака отношением температур (V2 / V1 T2 / T1) и выразим CV |
и |
|||||||||||
C |
p |
через число степеней свободы молекулы газа C |
iR / 2,C |
p |
(i 2)R / 2 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
||
Тогда после сокращения на и R / 2 получим |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
η 1 |
i 2 T2 T1 |
|
. |
|
|
|
|||
|
|
|
i T2 T1 2T2ln T2 T1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
5 2 400 300 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
η 1 |
|
0,041 |
4,1% |
|
|
|
||||
|
|
5 400 300 2 400ln 400 300 |
|
|
|
|||||||
Ответ: 4,1%.
Пример 4. Газ, совершающий цикл Карно, КПД которого 25% , при изотермическом расширении производит работу A1 240 Дж. Какова работа A2 , совершаемаягазомприизотермическомсжатии?
Дано: |
Решение: |
25% |
Построим в координатах p,V график цикла Карно, |
A1 240 Дж |
состоящего из двух изотерм (1-2 – расширение газа и 3-4 – |
A2 ? |
сжатие газа) и двух адиабат (2-3 и 4-1). |
|
При адиабатном процессе система не получает и не |
|
отдает тепла (теплообмена с внешней средой нет), в |
|
ходе изотермического расширения (1-2) газ получает |
|
количество теплоты Q1, в процессе изотермического |
|
сжатия (3-4) – отдает количество теплоты Q2. |
Запишем первое начало термодинамики для перехода 1-2. Так как при изотермическом расширении T1 const, то изменение внутренней энергии
газа U 0 , поэтому
Q1 A1 2 A1 , |
(1) |
т.е. количество теплоты, полученное газом, равно работе газа в процессе
изотермического расширения.
137
Аналогично для процесса изотермического сжатия (3-4):
|
|
|
Q2 A2 . |
|
|
|
|
|
(2) |
||
Термический КПД цикла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
Q1 Q2 |
1 |
|
Q2 |
, |
(3) |
|||
Q |
|||||||||||
|
Q |
|
|
|
Q |
|
|
||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
||
где Q1 количество теплоты, |
|
полученное газом за цикл от нагревателя; |
|||||||||
Q2 количество теплоты, отданное газом за цикл холодильнику. |
|
||||||||||
Подставив (1) и (2) в формулу (3), получим |
|
|
|
||||||||
|
A1 A2 |
1 |
|
A2 |
, |
|
|
|
|||
|
A |
|
|
|
|||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||
откуда A2 A1 1 180 Дж.
Ответ: A2 180 Дж
Пример 5. Многоатомный идеальный газ совершает цикл Карно, при этом в процессе адиабатного расширения объем газа увеличивается в k 4
раза. Определите термический КПД цикла.
Дано: |
Решение: |
k 4 |
Построим в координатах p,V график цикла Карно, |
? |
состоящего из двух изотерм (1-2 – расширение газа и 3-4 – |
|
сжатие газа) и двух адиабат (2-3 и 4-1). |
Адиабатному |
расширению соответ- |
ствует переход 2-3, следовательно, по условию задачи
V3 k . V2
Запишем уравнение адиабаты 2-3:
TV |
1 T V 1 |
, |
||
1 |
2 |
2 |
3 |
|
138
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
V |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
T1 |
V3 |
|
k |
|
|
|
Термический КПД цикла Карно |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1 |
T |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
T1 |
|
k |
|
|
Здесь |
cp |
|
c p |
i 2 |
– |
показатель |
|
адиабаты, i число степеней |
||
c |
c |
|
||||||||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
||
|
V |
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
свободы, для многоатомного газа i 6, 43 .
1 43 1 1 4 0,37.
Ответ: 0,37.
Пример 6. Холодильная машина работает по обратимому циклу
Карно в интервале температур t1 27 C и t2 3 C. Рабочее тело – азот, масса которого m 0,2 кг. Найдите количество теплоты,
отбираемое от охлаждаемого тела, и работу внешних сил за цикл, если отношение максимального объема к минимальному b = 5.
Дано: |
|
|
|
|
Решение: |
|
t1 27 C |
Холодильная машина – это устройство, которое за |
|||||
t2 3 C |
счет работы внешних сил отнимает теплоту от охлаж- |
|||||
даемого тела и передает ее более нагретой окружающей |
||||||
m 0,2 кг |
среде. Если холодильная машина работает по циклу |
|||||
b = 5 |
||||||
Карно, то изотермическое сжатие рабочего тела, со- |
||||||
Q ? A ? |
провождаемое работой внешних |
|||||
|
сил, происходит при более вы- |
|||||
|
сокой температуре T1 (см. рису- |
|||||
|
нок, участок 1-2). При этом ра- |
|||||
|
бочее тело отдает в окружаю- |
|||||
|
щую среду, играющую роль |
|||||
|
термостата, количество теплоты |
|||||
|
Q1 (очевидно, Q1 |
|
Q12 |
|
). |
|
|
|
|
||||
На участке 3-4 при более низкой температуре T2 происходит изотер-
мическое расширение рабочего тела, при этом от охлаждаемого тела (термостат при температуре T2 ) отбирается количество теплоты Q2 Q34 .
139
Поскольку речь идет об обратимом цикле Карно, для него, как всегда, справедливо соотношение
(Q1 Q2 ) / Q1 (T1 T2 ) / T1 ,
или
Q2 / Q1 T2 / T1 . |
(1) |
Согласно первому началу термодинамики, работа за цикл равна полному количеству теплоты, получаемому и отдаваемому за цикл:
A Q1 Q2 .
Из графика легко видеть, что работа газа за цикл при указанном направлении процесса отрицательна. Работа внешних сил за цикл
A A Q |
Q . |
(2) |
1 |
2 |
|
Искомое количество теплоты Q2 Q34 . При изотермическом расширении идеального газа
Q |
A |
|
m |
RT ln V4 . |
(3) |
|
|
||||||
34 |
34 |
|
M |
2 |
V3 |
|
|
|
|
|
|
||
Как видно из графика, минимальный объем за цикл V2 , максимальный −
V4 , следовательно,
V4 / V2 b . |
(4) |
Второе и третье состояния лежат на одной адиабате, проведенной в интервале температур от T1 к T2 . Следовательно,
V2 |
1 |
|
T2 |
, |
|
||
V |
|
|
T |
|
|||
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
T2 |
1/( 1) |
|
|||
V |
|
T |
|
|
. |
(5) |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
Перемножив почленно равенства (4) и (5), получим
V4 |
T2 |
1/( 1) |
|
|
V |
b |
T |
|
. |
3 |
|
1 |
|
|
Подставим это выражение в (3):
Q34 Q2 |
m |
RT2 |
ln b |
1 |
|
M |
1 |
||||
|
|
|
ln TT2 .
1
140