1459

Имеем:

Теорема. Если значения функции f(x) заключены между соответ9 ствующими значениями функций F(x) и (x), стремящихся при х х0 к одному и тому же пределу А, то f(x) при х х0 имеет предел, также равный А.

Замечательные пределы

Используя теорему легко получить важное предельное соотношение (первый замечательный предел).

lim sin x 1.

x 0 x

Так же широко используется при определении пределов функций и

второй замечательный предел

Сравнение бесконечно малых величин

Для того чтобы сравнить между собой две бесконечно малые ве9

Определение. Если отношение имеет конечный предел

lim A 0

71

то бесконечно малые величины и называются бесконечно малыми

одного порядка.

Определение. Если и – бесконечно малые величины одного порядка и

lim 1,

то и называют эквивалентными или равносильными бесконечно малыми и пишут ~ . (Здесь lim 1).

Предел отношения бесконечно малых не изменится, если их заменить эквивалентными бесконечно малыми.

З а м е ч а н и е . Если отношение двух бесконечно малых величин не имеет предела и не стремится к , то и не сравнимы между собой в указанном выше смысле.

Непрерывные функции

Определение. Приращением функции y=f(x) в данной точке х0 называется

y = f ( х0 + x ) – f (х0), где x – приращение аргумента.

y

y= f(х)

y f(х0) y

x x

x

x0

Определение. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0,

если lim f x f x0 .

x x0

Эквивалентное этому другое определение: функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой

окрестности точки x0 и если lim y 0 .

x 0

72

Пример.

y=x3 непрерывна в любой точке х0. Действительно,

Непрерывная функция изменяется постепенно (малые изменения аргумента влекут за собой малые изменения функции).

Если f(x0) 0 и в точке х0 функция непрерывна, то значения функции f(x) в некоторой окрестности точки x0 имеют тот же знак, что и f(x0).

Функция непрерывная в интервале непрерывна в каждой его точке. График непрерывной функции представляет собой сплошную линию без разрывов. Все основные элементарные функции (хn, ax, loga x ,

тригонометрические функции, обратные тригонометрические функ9 ции) непрерывны в тех интервалах, в которых они определены.

Определение. Точка х0, в которой функция имеет левый и правый пределы, не равные между собой, называется точкой разрыва первого рода функции f(x). Все остальные точки разрыва называются точками разрыва второго рода.

Рис.7

73

Односторонние пределы:

x = 1 непрерывна.

y

Рис.8

74

2.2.Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Определение. Производной функции y= f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при произвольном стремлении этого приращения к нулю:

обозначается f (x). Значение производной функции f (x) в точке х0 обозначается f (x0) или y x x0 (подставляя в f (x) значение x0

определяется f (x0)).

Геометрический смысл производной

Теорема. Если значение производной от функции y= f(x) при х=х0

угловым коэффициентом, равным f (x0), является касательной к графику функции в точке М0.

y T

Касательная и нормаль к линии

Уравнение касательной к линии в точке M0(x0,y0) определяется как уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0,y0) с угловым коэффициентом, равным f (x0):

y y0 f x0 x x0 .

75

Уравнение нормали определяется как уравнение прямой, про9 ходящей через точку M0(x0,y0) перпендикулярно касательной:

Основные правила дифференцирования

Предполагается, что слагаемые, сомножители, делимое, делитель непрерывны и имеют производные при рассматриваемых значениях независимой переменной.

1)с = 0;

2)х = 1 ;

3)(u v)= u v ;

4)(cu) = cu ;

5)(uv) = u v + uv ;

6)u u v uv ;v v2

7) если y=f(u), u=u(x), то есть, если y=f[u(x)], где f(u) и u(x) имеют производные, то

76

Для нахождения производных степенно9показательных и некото9 рых других функций применяется логарифмическое дифференци/ рование (состоит в нахождении логарифмической производной

Так, из y x x следует

ln y x ln x. Дифференцируя по x обе части. получим

1 y x ln x x ln x y x

y y ln x 1 . Откуда x x x x ln x 1 .

Производные неявных функций

Если y задана уравнением, связывающим независимую переменную х с функцией y, не разрешенным относительно y, то производную от этой функции можно найти, дифференцируя по х обе части уравнения, с учетом того, что y есть функция от х, определяемая этим уравнением.

Например, для неявно заданной функции y2 x ln y имеем

x

77

Дифференцирование параметрически заданных функций

Если х= (t); y= (t), то

f (x) на бесконечно малую:

y f x ,x

y f x x x

( 0 при х 0).

Первое слагаемое f (x) х – главная часть приращения, линейная относительно х (при f (x) 0); называется дифференциалом функции и

отношение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного).

Из

f x x f x f x dx

следует

78

Геометрический смысл дифференциала

бесконечно малой более высокого порядка, чем отрезок MR.

Свойства дифференциала

1.d u v w du dv dw .

2.d uv vdu udv ; d(cu) = cdu.

получается из левой просто умножением и делением на du (du 0). Выражение для дифференциала функции y=f(и) сохраняет свой вид, независимо от того, является ли ее аргумент и независимой переменной или функцией от независимой переменной (свойство инвариант/ ности).

5. Непосредственно из п.4 следует правило дифференцирования обратной функции:

79

Дифференцируемость функции

Определение. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке х, если y A x 0 x .

Геометрически дифференцируемости функции соответствует существование у линии y=f(x) касательной, не перпендикулярной к оси ОХ.

Из дифференцируемости f(x) следует ее непрерывность:

lim y f x y f x x

x 0 x

и у 0 при х 0, y=f(x) непрерывна в точке х.

Обратное не всегда верно.

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть y=f(x) имеет производную f (х) в некотором интервале неза9 висимой переменной х. Тогда производная от f (х) называется про9 изводной второго порядка или второй производной функции f(x):

в частности, производная второго порядка или вторая производная функции f(x):

Функция f (x) в точке x определяет скорость изменения f (x), то есть f (x) – ускорение изменения функции f(x) при данном х.

Производные f x в данной точке могут существовать до оп9

ределенного порядка, а производных высшего порядка функция в этой точке может и не иметь.

Однако всякая элементарная функция, за исключением, быть мо9 жет, отдельных точек, имеет в своей области определения производные любых порядков.

80