1459

Т е о р е м а . Каждый вектор x линейного пространства R можно представить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации векторов базиса.

Так, если e1 ,e2 , ,en – базис n9мерного линейного пространства R, то любой вектор x R можно единственным образом представить в виде:

x 1e1 2e2 nen .

Таким образом, вектор x в базисе e1,e2 , ,en определяется един9 ственным образом с помощью чисел 1, 2, , n . Эти числа называются координатами вектора x в этом базисе.

При определении размерности линейного пространства используют следующую теорему: «Если e1,e2 , ,en – система линейно независимых векторов пространства R, и любой вектор x линейно выражается через e1,e2 , ,en , то пространство R является n9мерным, а векторы e1 ,e2 , ,en – его базисом».

Скалярным произведением векторов a x1, y1, z1 и b x2, y2, z2

называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними: a,b a b cos .

Свойства скалярного произведения

a,b a b cos ; (при a b имеем: a,b a,a a a 1 a 2 );

a,b 0 , если a 0 , либо b 0 , либо a b ;

a,b b,a (переместительный закон);

a, b c a,b a,c (распределительный закон);

b x2 i y2 j z2k , то скалярное произведение этих векторов находится по формуле a,b x1x2 y1y2 z1z2 .

31

Угол между векторами.

Угол между вектором и осями координат

Угол между векторами a и b определяется из соотношения

cos a,b . a b

вычисляется по формуле

a,b

Прa b a .

Векторное и смешанное произведения

Векторным произведением векторов a и b называется вектор

ca,b , определяемый условиями:

1)вектор c перпендикулярен векторам a и b ;

2)модуль вектора c равен площади параллелограмма, постро9

векторов a , b и c поместить в одну точку, то кратчайший поворот вектора a к b наблюдается с конца вектора c происходящим против часовой стрелки.

Векторные произведения координатных ортов:

32

Если векторы заданы своими координатами a x1i y1 j z1k , b x2 i y2 j z2k , то векторное произведение этих векторов находится по формуле

y1z2 z1y2, x1z2 z1x2, x1y2 y1x2 . Свойства векторного произведения:

1. a,b b,a , то есть векторное произведение не обладает пере9

местительным свойством.

2. a, b c a,b a,c .

3. a ,b a, b a,b .

Свойства смешанного произведения:

1.Смешанное произведение не изменяется, если в нем поменять местами знаки векторного и скалярного умножения:

a,b ,c = a, b,c .

При перестановке любых двух векторов смешанное произведение изменяет только знак:

a,b,c = b,a,c , a,b,c a,c ,b , a,b,c c ,b,a .

2.Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке векторов:

a,b,c = b,c ,a = c ,a,b .

3.Смешанное произведение трех векторов равно нулю, если они компланарны (параллельны одной и той же плоскости).

33

4. Модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.

Если векторы заданы разложениями по ортам a x1i y1 j z1k ,

Плоскость в пространстве

Общим уравнением плоскости называется линейное уравнение

Ax By Cz D 0 ,

где A2 B2 C2 0 .

Частные случаи расположения плоскости, определяемой общим уравнением:

A 0 параллельна оси Ox ; B 0 параллельна оси Oy ; C 0 параллельна оси Oz ;

D 0 проходит через начало координат;

A B 0 перпендикулярна оси Oz (параллельна плоскости xOy ); A C 0 перпендикулярна оси Oy (параллельна плоскости xOz ); B C 0 перпендикулярна оси Ox (параллельна плоскости yOz ); A D 0 проходит через ось Ox ;

B D 0 проходит через ось Oy ;

C D 0 проходит через ось Oz ;

A B D 0 совпадает с плоскостью xOy ( z 0 ); A C D 0 совпадает с плоскостью xOz ( y 0 ); B C D 0 совпадает с плоскостью yOz ( z 0 ).

Если в общем уравнении плоскости коэффициент D 0 , то, разделив все члены уравнения на D , уравнение плоскости можно привести к виду:

ax by cz 1.

(Здесь a DA , b DB , c CD ). Это уравнение плоскости называется

уравнением в отрезках: в нем a, b, c – соответственно абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскости с осями Ox, Oy, Oz.

34

Положение плоскости в пространстве полностью определяется точкой M0 x0 , y0 , z0 , лежащей на этой плоскости, и перпендикулярным

ей вектором n A, B,C . Уравнение этой плоскости имеет вид:

A x x0 B y y0 C z z0 0

и называется уравнением плоскости с нормальным вектором n .

Уравнение плоскости в пространстве с направляющими век торами. Даны точка M0 x0 , y0 , z0 и направляющие ненулевые векторы

p l,m,n и q l ,m ,n . Найдем уравнение плоскости, проходящей через M0 с направляющими векторами p и q . Для всех тех и только тех точек M, которые принадлежат плоскости, векторы M0M (x x0 , y y0 , z z0 ) , p и q компланарны, то есть их смешанное произведение

Получили искомое уравнение плоскости.

Как следствие получим уравнение плоскости, проходящей через три данные точки M1 x1, y1, z1 , M2 x2, y2, z2 , M3 x3 , y3, z3 ,

Из компланарности M0M (x x0 , y y0 , z z0 ) x x0, p,q следует их линейная зависимость:

x x0 sp tq .

Откуда получим параметрические уравнения плоскости x x0 sl tl ;

y y0 sm tm ; z z0 sn tn .

Расстояние d от точки M0 x0 , y0 , z0 до плоскости Ax By Cz D 0 вычисляется по формуле

d Ax0 By0 Cz0 D . A2 B2 C2

35

Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между двумя

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей вытекают из условий коллинеарности и ортогональности нормальных векторов n1 и n2 .

Уравнение

A1x B1y C1z D1 A2 x B2 y C2 z D2 0

при произвольном значении определяет некоторую плоскость, прохо9 дящую через прямую пересечения плоскостей A1x B1y C1z D1 0 и A2 x B2 y C2 z D2 0 , то есть некоторую плоскость, принадлежащую пучку плоскостей, проходящих через эту прямую (уравнение пучка плоскостей).

Прямая в пространстве

Каждая прямая в пространстве может быть задана системой двух линейных уравнений:

A1x B1y C1z 0,A2 x B2 y C2 z 0

(эти уравнения определяют две плоскости, пересечением которых и служит данная прямая).

Положение прямой полностью определяется какой9нибудь ее точ/ кой M0 x0 , y0 , z0 и направляющим вектором a l,m,n , параллельным прямой. Для всех тех и только тех точек M, которые принадлежат пря9 мой, векторы M0M и a коллинеарны, то есть их векторное произведение

равно 0 . Откуда получим следующие канонические уравнения прямой в пространстве

mn

nl

36

lm

Если одна из координат вектора a равна нулю, например, l 0 , то будем иметь

x x0 ,

y y0 z z0 . m n

Так что при l 0 прямая ортогональна Ox .

При l m 0 прямая ортогональна плоскости xOy .

Аналогично и для других случаев.

Из предыдущего легко следуют параметрические уравнения прямой: x x0 lt,

Прямая и плоскость в пространстве

Угол между прямой с направляющим вектором a l,m,n и

пендикулярной прямой с направляющим вектором a l,m,n , запи9

сывается в виде:

l x x0 m y y0 n z z0 0 .

37

Для нахождения координат точки пересечения прямой и плоскости необходимо решить систему уравнений, состоящую из параметриче9 ских уравнений прямой и уравнения плоскости.

Поверхности второго порядка

Поверхностями второго порядка называются такие множества точек в пространстве, координаты которых удовлетворяют уравнению вида

Ax2 By2 Cz2 Dxy Eyz Fzx Gx Hy Kz L 0 .

При помощи поворотов и параллельного переноса осей координат это уравнение может быть преобразовано к простому каноническому виду. Основные канонические уравнения и названия соответствующих поверхностей (рис. 6):

38

39

Варианты тестовых заданий по модулю 1

вектор c 2a 3b равен:

1). i 3 j k ; 2) 7i 44 j 12k ; 3) 3i 17 j 5k ; 4) 5i 44 j 7k

40