1459

Координаты точки C x, y , делящей отрезок M1M2 в отношении :

В полярной системе координат точка М плоскости определяется полярным радиусом9вектором точки r OM и полярным углом , обра9

зованным отрезком OM с полярной осью Ox ( положителен при отсчете от полярной оси против часовой стрелки). Если точка M имеет полярные координаты r 0 и 0 2 , то ей же отвечает и бесчисленное мно9

жество пар полярных координат r, 2k , где k Z.

Если начало О декартовой прямоугольной системы координат совместить с полюсом, а ось Ox направить по полярной оси, то имеет

Уравнение линии

Линии (множеству точек M(x,y)) на плоскости xOy соответствует уравнение, связывающее x и y. Координаты точки М линии удовлетворяют этому уравнению. Координаты любой другой точки не удовлетворяют уравнению линии. Например, точка A 2,4 лежит, а

B 1,3 не лежит на параболе y x2 .

Аналогично определяется уравнение линии в полярных координатах.

Часто линия определяется параметрическими уравнениями x x t , y y t . Исключение (если оно возможно) параметра t из этой

системы приведет к обычному уравнению линии вида f x, y 0 .

Общее уравнение прямой на плоскости имеет вид:

Ax By D 0 ,

где A,B,D – постоянные коэффициенты, A2 B2 0 . В частном случае при:

D 0 и A, B 0 прямая проходит через начало координат; A 0, B, D 0 – параллельна оси Оx,

B 0, A, D 0 – параллельна Оy,

B, D 0, A 0 – совпадает с осью Оy,

21

A, D 0, B 0 – совпадает с осью Оx.

При B 0 , разрешив общее уравнение прямой относительно y, получим уравнение прямой с угловым коэффициентом

y kx b , где k BA tg – угловой коэффициент;

– угол между прямой и положительным на9 правлением Оx;

b DB – ордината точки пересечения прямой с осью Оy.

При D 0 уравнение прямой можно представить в виде уравнения в отрезках

и угловой коэффициент этой прямой находится по формуле

k y2 y1 . x2 x1

Если x1 x2 , то уравнение прямой, проходящей через точки M1 и M2, имеет вид x x1 ; при y1 y2 соответствующее уравнение прямой: y y1 .

Угол между прямыми. Пересечение прямых. Расстояние от точки до прямой

Углом между прямыми называется наименьший из двух смежных углов, образованных этими прямыми. Так что угол между прямыми y k1x b1 и y k 2 x b2 определяется из

22

A2 B2

Кривые второго порядка

Кривая второго порядка задается уравнением

Ax2 2Bxy Cy2 2Dx 2Ey F 0 .

Перечислим основные их виды.

Окружность как множество точек, равноудаленных от центра C a,b , описывается уравнением

x x0 2 y y0 2 R2 ,

где r – радиус окружности.

Эллипс определяется как множество всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2a и превышающая расстояния между фокусами. Если в прямоугольной системе координат в качестве фокусов выбраны точки F1 c,0 и F2 c,0 , то получится каноническое (простейшее)

уравнение эллипса:

x2 y2 1, a2 b2

где a и b – полуоси эллипса. Справедливо соотношение:

a2 b2 c2 .

23

Рис. 1

Мера сжатия эллипса определяется его эксцентриситетом ac 1.

Расстояния r1 и r2 точки М эллипса от его фокусов F1 и F2 называются фокальными радиусами9векторами этой точки, r1 r2 2a .

При a b r ( c 0 , 0 ) эллипс превращается в окружность x2 y2 r 2 .

Справедливо:

r1 a x , r2 a x .

Гипербола определяется как множество всех точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек (фокусов) F1 и F2 есть величина постоянная, равная 2a и меньшая расстояния между фокусами. Если фокусы гиперболы есть точки F1 c,0 и F2 c,0 , то каноническое уравнение гиперболы имеет

вид:

x2 y2 1, a2 b2

где a и b – полуоси гиперболы.

Вид гиперболы приводится на рис. 2.

24

Рис. 3

Длина фокального радиуса9вектора определится в виде r x 2p

( p 0 ).

1.4. Аналитическая геометрия в пространстве

Цилиндрические координаты. Положение точки M(x,y,z) в про9 странстве можно определить ее аппликатой z и полярными координатами r OP и xOP проекции P этой точки на координатную плоскость

26

xOy. Величины r, , z называются цилиндрическими координатами точки М. Декартовы прямоугольные и цилиндрические координаты точки связаны соотношениями x r cos , y r sin (аппликаты в обеих системах одинаковы).

Сферическая система координат задает положение точки M(x,y,z) следующими тремя величинами: расстоянием r OM , угломzOM и углом между плоскостями zOx и zOM. Величины r, , называются сферическими координатами точки М. Прямоугольные и сферические координаты связаны соотношениями:

x r sin cos , y r sin sin , z r cos .

Векторы

Вектором называется направленный отрезок AB, у которого точка A рассматривается как начало, а точка В — как конец.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.

Вектор a может быть единственным образом представлен в виде a xi yj zk

(разложение вектора a по осям координат или разложение по ортам). Здесь x,y,z – проекции вектора a на соответствующие оси координат

(координаты вектора a ), i , j , k – орты этих осей (единичные векторы, направления которых совпадают с положительными направлениями соответствующих осей).

Векторы xi , yj , zk называются составляющими (компонентами)

наты r совпадают с координатами точки M и разложение вектора r по ортам имеет вид

r xi yj zk .

27

AB x2 x1 i y2 y1 j z2 z1 k .

Его длина совпадает с расстоянием между точками A и B

Направление вектора AB определяется по направляющим коси9 нусам

Действия над векторами. Скалярное произведение. Произведение вектора на число. Сумма и разность векторов

a x, y, z , то a x, y, z .

Суммой векторов a и b называется вектор a b , который строится следующим образом. Сначала с помощью параллельного

переноса вектора b совмещают его начало с концом вектора a (рис. 4) Сумма векторов a b – «замыкающий» вектор, начало которого со9 впадает с началом вектора a b , а конец — с концом вектора b (правило треугольника).

Разность векторов a b определяется как сумма векторов a и – b (рис. 5). Если a x1, y1, z1 , b x2, y2, z2 , то

a b x1 x2, y1 y2, z1 z2 .

28

5) x x x – дистрибутивное свойство относительно сум9 мы числовых множителей;

6) Существует нулевой вектор 0 0,0, ,0 , такой, что x 0 x

для любого вектора x ;

7) Для любого вектора x существует противоположный векторx , такой, что x x 0 ;

8) 1 x x для любого вектора x .

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше свойствам (рассмат риваемым как аксиомы), называется векторным пространством.

Под x, y, z можно рассматривать не только векторы, но и элементы (объекты) любой природы, удовлетворяющие свойствам 198. В этом случае соответствующее множество R элементов называется линейным

пространством.

Размерность и базис векторного пространства

Вектор am называется линейной комбинацией векторов a1,a2 , ,am 1 векторного пространства R, если

am 1a1 2a2 m 1am 1 ,

где i – действительные числа i 1,m 1.

Векторы a1,a2 , am векторного пространства R называются линей но зависимыми, если существуют такие числа 1, 2, , m , не равные одновременно нулю, что

1a1 2a2 mam 0 .

В противном случае векторы a1,a2 , ,am называются линейно

независимыми.

Если векторы a1,a2 , ,am линейно зависимы, то по крайней мере один из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных векторов.

Линейное пространство R называется n9мерным, если в нем существуют n линейно независимых векторов, а любые n 1 векторов

уже являются зависимыми. Число n называется размерностью про

странства R.

Совокупность n линейно независимых векторов n9мерного про9 странства R называется базисом.

30