1459

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

y f x f x0

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

1.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3321 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

		x
	u1	x	u2 x			un x
мажорируем на отрезке [a,b], то
								.
S	x u1 x u2					x un x		.
			Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд
a0 a1 x x0 a2 x x0 2						an x x0 n ,			(1)
где аi – постоянные (коэффициенты ряда).
Теорема Абеля. Если степенной ряд
	a0 a1x an xn								(2)
1) сходится в точке		x0 0 , то он абсолютно сходится при всех х,
удовлетворяющих условию				x	x0 ;
удовлетворяющих условию				x	x0 ;
2) расходится при						то он	расходится при		всех х,
2) расходится при		x x0 ,				то он	расходится при		всех х,
удовлетворяющих условию				x

					x0 .
Областью сходимости				степенного			ряда	a0 a1x an xn

является интервал с центром в начале координат. Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал (–R,+R), что для всех x R,R ряд сходится абсолютно, для x R,R – ряд расходится.

R называется радиусом сходимости.

Свойства степенных рядов

1.Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости (–R,R).

2.Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости

S x a1 2a2 x nan xn 1 , x R,R .

3. Степенной ряд можно почленно интегрировать в интервале сходимости

x	x	x	x	R x R .
S x dx a0dx a1xdx an xndx ,				R x R .
0	0	0	0

201

Ряды Тейлора и Маклорена

Известна формула Тейлора
f x f a			x a		f a	x a n		f n a Rn x ,
f x f a					f a	n!		f n a Rn x ,
		1				n!
где остаточный член
R	x	x a n 1					,	0 1.	(3)
R	x			f n 1 a x a			,	0 1.	(3)
n		n 1 !
		n 1 !

Если f(x) имеет производные всех порядков, то в формуле Тейлора n можно брать любым.

Если lim Rn 0 , то, переходя в формуле Тейлора к пределу при

n , получим бесконечный ряд

f a	x a	f a	x a n	f n a ,
			n!
1

который называется рядом Тейлора.

При этом данный ряд сходится, и его сумма равна данной функции f(x) тогда и только тогда, когда

lim Rn x 0 .

При а=0 получим ряд Маклорена.

Справедлива теорема. Если в некотором интервале, содержащем точку х=а, f n x M , где n – любое, М – положительное число, то

функция f(x) в этом интервале разлагается в ряд Тейлора.

Примеры разложения функций в ряды Тейлора и Маклорена

1. ex 1 x	x2	xn	Rn x , где Rn x	x n 1
					e x .
	2!	n!		n 1 !	e x .

Радиус сходимости бесконечен.

2.Функция sinx при всех х разлагается в ряд Маклорена:

sin x x

1 n 1

x2n 1

2n 1 !

cos x 1

1 n

x2n

2n!

202

xn 1

(получили бы и почленным дифференцированием: cos x sin x ).

Также имеют место:

ln 1 x x

1 n 1

1 x 1;

arctgx x

1 n 1

x2n 1

1 x 1;

2n 1

x m 1

m m 1

m m 1 m n 2

xn 1 .

n 1 !

Последнее разложение имеет место: при m 0 , если 1 x 1;

при 1 m 0 , если 1 x 1; при m 1, если 1 x 1.

Некоторые применения рядов Тейлора

1. Приближенное вычисление значений функций

Пусть функция f(x) разлагается в ряд Тейлора в окрестности точки х0. Тогда точное значение функции f(x) в любой точке может быть вычислено по ряду Тейлора, а приближенное ее значение – по частичной сумме этого ряда.

Пример 1.

ex 1 x x2 xn . 2! n!

По формуле (3):

Для x 0, M

в том числе

R	x	x a n 1	f
R	x		f	n 1 a x a .
n		n 1 !
		n 1 !

, где М – любое число:

ex eM ,

e0 ( x 0) e x eM ,

Rn x eM n 1 ! .

203

Пусть требуется вычислить ех при x 0,1 с точностью до 10–5. Должны иметь

R x e	xn 1	3			5
				10		,
	n 1 !	n
n			1 !

что выполняется при n=8. С точностью до 10–5:

ex 1 x x2 x8 . 2! 8!

Пример 2.

Рассмотрим ряд

ln 1 x x	x2		x3	1 x 1 .	(4)

2		3

Пусть, например, надо подсчитать ln2 с точностью до 0,00001. Тогда по теореме Лейбница должно выполняться:

	x	xn	1		5 ;

R				10

n		n	n

n>100000.

Такое суммирование 100000 членов затруднительно. Про такие ряды говорят, что они сходятся медленно.

В данном случае можно ускорить сходимость ряда. Действительно, заменив в выражении (4) х на –х, получим ряд

ln 1 x x

(5)

Вычитая из ряда (4) ряд (5), получим:

1 x

ln 1 x ln 1 x 2 x

1 x 1 .

(6)

1 x

По формуле (6) можно теперь подсчитать логарифмы любых положительных чисел, так как, когда х меняется в интервале

1 x

сходимости ряда ( 1,1), непрерывная функция 1 x пробегает весь

интервал (0, ).

Вычислим, например, ln2 с точностью до 10 5.

204

Из ln 2	ln	1	x	следует:
		1	x

1 x

x 13 .

Так что

																						1				3					1			5
																						1									1
															1

																						3									3
							ln 2						2
							ln 2						2		3							3										5


		2									1							1																	1
		2			2						1							1																	1							;
		3			2					3	33				5 35																						2n 1					;
		3								3	33				5 35															2n							2n 1
																														2n					1 3
	Rn x																1																		1
						2											1																		1

																								3													2n		5
											2n				3				3		2n			3					2n						5 3		2n		5
											2n				3				3										2n						5 3
						1																	1															1
2						1																	1															1

										2n 3																		2n 5													2n 7
										2n 3						2n 3 3												2n 5								2n 3 3					2n 7
	2n 3 3															2n 3 3																				2n 3 3
														2															1						1
																							1
									2n 3 3 2n 3														1						32					34
									2n 3 3 2n 3																				32					34
										2										32													1
																																								10 5;
				2n 3 3 2n 3																8					4 2n 3										3 2n 1					10 5;
				2n 3 3 2n 3																8					4 2n 3										3 2n 1
(члены ряда 1		1					1				– есть члены геометрической прогрессии,

				32				34
где b=1, q	1		1		;	S					1						1					9					32			),
где b=1, q		9			;	S						1					8					8						8		),
32		9								1		1					8					8						8
										1

откуда следует:

4 2n 3 32n 1 105

или n 4.

205

Таким образом,
ln 2	2	1	2		1		1		1		1	0,693144 .

					33		35		37		39
		3		3		5		7		9

2. Интегрирование функций

В теории вероятностей важную роль играет интеграл вероятностей или функция Лапласа

dx .

2 0

Этот интеграл нельзя вычислить в конечном виде,

так как e

2 dx

не выражается в элементарных функциях. Разложим

в ряд,

для

чего в разложение ех подставим вместо х

величину

e x 1 x

;

или

2 3!

Тогда

F x

e 2 dx

22 2!5

2 3

2!5

3. Интегрирование дифференциальных уравнений

Сначала рассмотрим так называемый метод последовательного дифференцирования х.

206

Пусть дано дифференциальное уравнение второго порядка

y f x, y, y ,			(7)
удовлетворяющее начальным условиям:
y	x x0	y0 ;


y			(8)

	x x0	y0 .

Допустим, что решение уравнения y=f(x) существует и его можно представить в виде ряда Тейлора (при каких условиях это имеет место, рассматривать не будем):

Для того чтобы написать решение в виде такого ряда, надо найти f(x0), f (x0), f (x0), …, т.е. значения производных от частного решения

при х= x0.

Из условий (8) следует:

f x0 y0 ;

x0 y0 .

Из уравнения (7) следует:

x0 y

x x0

F x0 , y0, y0

Продифференцируем уравнение (9) по х:

y Fy y

Подставляя х=х0, получим:

x0 Fx x0

, y0 , y0

Fy x0 , y0 , y0

, y0, y0

y0 .

Дифференцируя уравнение (7) еще раз, найдем fIV(x0) и т.д. Порядок уравнения не влияет на метод решения при помощи рядов.

Пример.

Пусть y	xy	2	1 и требуется найти решение при y	x 1	0 .

Здесь у будет представлен в виде ряда Тейлора: y a0 a1 x 1 a2 x 1 2

207

Дифференцируя заданное уравнение, получим: y y2 x2yy y2 2xyy ;

y 2yy 2yy 2x y 2 2xyy ;

yIV 4 y 2 4yy 2 y 2 2x2y y 2yy 2xy y 2x2yy6 y 2 6yy 6xy y 2xyy ;

…

Подставляя х=1, получим:

f x0 y x0 0;

f x0 y x0 1 02 1 1;

f x0 y x0 02 2 1 0 1 0;

f x0 y x0 4 0 1 2 1 12 2 1 0 0 2; f x0 y x0 4 0 1 2 1 12 2 1 0 0 2;

f IV x0

yIV

6 12 6 0 0 6 1 1 0 2 1 0 0 6;

…

a0 f x0 0;

f x0 0;

f x0

;

1 2

f IV x

1 2 3 4

208

Отсюда

y x 1 x 1 3 x 1 4

3 4

Рассмотрим также метод неопределенных коэффициентов.

Пусть решение уравнения в окрестности точки х0, в которой заданы начальные условия, можно разложить в степенной ряд

y a0 a1 x x0 a2 x x0 2

Продифференцируем этот ряд столько раз, каков порядок дифференциального уравнения. Подставляя затем в уравнение вместо у и ее производных соответствующие ряды, получим тождество, из которого определятся коэффициенты ряда. Первые коэффициенты ряда определятся не из этого тождества, а из начальных условий.

Пример. Дано линейное дифференциальное уравнение y xy 0 .

Начальные условия

y x 0 0; y x 0 1.

Решение будем искать в виде

y a0 a1x a2 x2 a3 x3 a4 x4

По начальным условиям

y x 0 0 a0 ; y x 0 1 a1;

y 2a2 3 2a3 x n n 1 an xn 2

Подставляя у, у в исходное уравнение, получим:

y 2a2 3 2a3 x n n 1 an xn 2

x a0 a1x a2 x2 an xn .

Тогда, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях х, получим:

a2 0;

a3 3a02 0;

209

4 3a4 a1;

a 1
4	4	1

и т.д. Отсюда

y x 121 x4

Достаточно сложный вопрос о сходимости ряда здесь оставляем без рассмотрения.

		4.3. Ряды Фурье
Тригонометрическим рядом (рядом Фурье) называется функцио
нальный ряд
	a0
		an cos nx bn sin nx .
2
		n 1

Коэффициентами Фурье функции f(x), заданной в интервале (– , ),


для которой существует	f x dx ,					называются числа an и bn,

определяемые формулами:
a			1	f	x dx ;
a				f	x dx ;
0


	1
an	1	f x cos nxdx ;
an		f x cos nxdx ;


	1
bn	1	f x sin nxdx .
bn		f x sin nxdx .

Из периодичности функций cosnx, sinnx с периодом 2 , следует, что, если ряд Фурье сходится в интервале (– , ), то он сходится при всех остальных значениях х, и его сумма S(x) является периодической с периодом 2 .

Теорема Дирихле (достаточные условия разложимости функции f(x) в ряд Фурье). Пусть функция f(x) является периодической с периодом 2 и на отрезке – , удовлетворяет условиям:

1. f(x) – кусочно непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода;

210

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3321 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.20241.84 Mб21454.pdf
#
16.06.20241.84 Mб21455.pdf
#
16.06.20241.84 Mб31456.pdf
#
16.06.20241.85 Mб21457.pdf
#
16.06.20241.85 Mб21458.pdf
#
16.06.20241.86 Mб21459.pdf
#
16.06.2024203.44 Кб0146.pdf
#
16.06.20241.86 Mб21460.pdf
#
16.06.20241.86 Mб21461.pdf
#
16.06.20241.87 Mб41462.pdf
#
16.06.20241.87 Mб21463.pdf