1459

Так как определитель этой системы есть определитель Вронского для линейно независимых функций, то он не равен 0. Решив систему,

C2 x , а затем и искомое решение.

Пример. Найти общее решение уравнения y 2y y ex . x

Здесь общим решением однородного уравнения является функция y0 C1ex C2 xex . Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

C1 x x, C2 x ln x .

Таким образом, искомое частное решение неоднородного ДУ

yxex ln x x ex ,

аего общее решение имеет вид:

y y0 y C1ex C2 xex xex ln x x ex .

Метод подбора частного решения (метод неопределенных коэф$ фициентов) используется для интегрирования только линейных уравнений с постоянными коэффициентами, когда его правая часть имеет вид:

(или является суммой функций такого вида). Здесь и – постоян ные, Pn x и Qm x – многочлены n й и m й степени соответственно.

В этом случае частное решение уравнения ищется в виде:

191

Здесь r – кратность корня i характеристического уравнения

многочлены от x степени l с неопределенными коэффициентами (т.е. содержат все степени от нуля до l), причем l равно наибольшему из чисел n и m ( l n m , l m n ):

Pl x A0 xl A1xl 1 Al ; Ql x B0 xl B1xl 1 Bl .

Если в выражении функции f x входит хотя бы одна из функций cos x или sin x , то в y x нужно вводить обе функции.

Проиллюстрируем метод на конкретном примере. Пример. Найти общее решение уравнения

y 4y 5y x 5 cos x .

( l 1).

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: y Ax B cos x Cx D sin x

Подставляя это выражение в исходное ДУ и приравнивая коэф фициенты при cos x, x cos x, sin x, x sin x , получим линейную систему

алгебраических уравнений относительно A, B,C, D . Решив ее, найдем значения неопределенных коэффициентов:

A 18 , B 161 , C 18 , D 12 . Общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

192

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений в так называемой нормальной форме:

dydx1 f1 x, y1, y2, , yn , dydx2 f2 x, y1, y2, , yn ,

dydxn fn x, y1, y2, , yn .

Решением системы дифференциальных уравнений называется сово купность n функций y1, y2, , yn , которые при подстановке в каждое из

уравнений превращают его в тождество. Одно ДУ n го порядка всегда можно представить в виде нормальной системы, введя вспомо гательные неизвестные функции. Часто верно и обратное: нахождение решения системы можно свести к решению одного ДУ n го порядка.

Пример. Решить систему ДУ:

dydx1 y1 y2 32 x2 , dydx2 4y1 2y2 4x 1.

Выразив из первого уравнения y2 dydx1 y1 32 x2 и подставив его во второе уравнение, получим линейное ДУ второго порядка для y1 x :

d 2 y1 dy1 8y1 3x2 x 1. dx2 dx

Общее решение этого уравнения имеет вид:

y1 x C1e2x C2e 3 x 12 x2 .

Вторая неизвестная функция находится из полученного выше выражения для y2 x :

y2 x C1e2x 4C2e 3 x x2 x .

193

Общее решение нормальной системы имеет вид:

y1 1 x,C1,C2, ,Cn ,

yn n x,C1,C2, ,Cn .

где C1,C2, ,Cn – произвольные постоянные.

Задача о нахождении частного решения системы ДУ, удовлетво ряющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

Как и в случае одного ДУ, для системы имеет место теорема, гаран тирующая существование и единственность частного решения при непрерывности правых частей вместе с их частными производными.

Рассмотрим нормальную систему двух линейных уравнений с постоянными коэффициентами:

dydx1 a11y1 a12 y2 f1 x ,

dydx2 a21y1 a22 y2 f2 x .

Если f1 x f2 x 0 , то система называется однородной.

Общее решение неоднородной системы складывается из общего решения соответствующей однородной системы и какого$нибудь частного решения неоднородной системы.

Общее решение однородной системы определим методом Эйлера. Здесь сначала находят частное решение в виде

где k — собственное значение матрицы системы, т.е. корень харак теристического уравнения

Далее из системы линейных однородных алгебраических урав нений:

a11 k 1 a12 2 0 ,

a21 1 a22 k 2 0

находят значения 1 и 2 (практически здесь лишь одно линейно неза висимое уравнение; задавая 2 , найдем 1 ).

194

Общее решение однородной системы будет иметь различный вид в зависимости от корней характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение имеет два действительных раз$ личных корня k1 и k2. Этим корням отвечают два собственных вектора с координатами ( a11,a21 ) и ( a12,a22 ). Общее решение исходной однород

ной системы ДУ определяется линейной комбинацией частных решений

y1 C1 11ek1x C2 21ek2x , y2 C1 12ek1x C2 22ek2x ,

где C1,C2 – произвольные постоянные..

Характеристическое уравнение имеет один действительный дву$ кратный корень k k1 k2 . Полный анализ этого случая проводится ме

тодами линейной алгебры. На практике решение системы удобно искать методом неопределенных коэффициентов в виде:

Характеристическое уравнение имеет пару комплексно сопряжен$ ных корней i . В этом случае следует найти комплексное частное решение однородной системы ДУ. Отделяя затем действительную и мнимую части комплексного решения, получим два действительных линейно независимых частных решения, линейная комбинация кото рых даст общее решение однородной системы ДУ.

Пример. Найти общее решение системы дифференциальных урав нений:

уравнение для определения собственного вектора 11 2 21 0 , откуда1 1;2 . При k 10 получим 12 22 0, т.е. 2 1; 1 .

Фундаментальная система решений имеет вид:

y11 2ex , y21 ex ,

y12 e10 x , y22 e10 x .

195

Общее решение примет вид:

y1 2C1ex C2e10 x , y2 C1ex C2e10 x .

4.2. Числовые и степенные ряды

Числовым рядом называется выражение вида

u1 u2 un un ,

n 1

числа un – члены ряда. Выражение un для произвольного числа n на зывается общим членом ряда.

Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n$й частичной суммой ряда:

Sn u1 u2 un .

Если при n существует предел последовательности частичных сумм

lim Sn S,

n

то ряд называется сходящимся, а число S – суммой. Записывают:

S u1 u2 un .

Если Sn не стремится к пределу при n , то ряд называется

расходящимся.

Пример. Рассмотрим ряд

a aq aq2 aqn 1 a 0

(членами ряда являются члены геометрической прогрессии со знаменателем q).

Известно, сумма

196

lim Sn не существует, ряд расходится.

3. При q=1 ряд имеет вид:

a a a , Sn=na, lim Sn .

n

Следовательно, ряд расходится.

4. При q=–1 ряд имеет вид:

a a a ,

0 при n четном;

Sn a при n нечетном,

Sn предела не имеет, ряд расходится.

Теорема 1. Если сходится ряд, полученный из данного путем отбрасывания нескольких его членов, то сходится и сам ряд. И обратно, если сходится данный ряд, то сходится и ряд, полученный из данного отбрасыванием нескольких членов, т.е. на сходимость ряда не влияет отбрасывание конечного числа его членов.

Теорема 2. Если ряд

u1 u2 un

сходится и имеет сумму S, то ряд u1 u2 un тоже сходится и его

сумма равна S. (Это следует из n u1 u2 un Sn lim n S .)

n

Теорема 3. Если сходятся ряды

S u1 u2 un , S v1 v2 vn ,

то ряд u1 v1 u2 v2 un vn сходится и его сумма

S S S

(что следует из теоремы о пределе суммы). Непосредственно из теоремы следует, что ряд

u1 v1 u2 v2 un vn

сходится и его сумма S S S .

197

Необходимый признак сходимости ряда

Если ряд сходится, то его n$й член стремится к нулю при n .

Достаточный признак расходимости ряда

Если un не стремится к нулю, то ряд расходится.

Рассмотрим гармонический ряд

Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости

1. Признаки сравнения.

Даны два ряда с положительными членами:

uk 0, vk 0; uk vk .

<1 ряд сходится;>1 ряд расходится;

=1 ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

3. Интегральный признак Коши.

198

интервале (1, ), тогда ряд сходится, если сходится несобственный

интеграл f x dx , и расходится, если этот интеграл расходится.

1

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

Если в знакочередующемся ряде

u1 u2 u3 u4 un 0 а) u1 u2 un ;

б) lim un 0 ,

n

то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первый член ряда.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные.

Знакочередующиеся ряды есть частный случай знакопеременных. Теорема 1. Если знакопеременный ряд

сходится, то и ряд (1) тоже сходится.

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится сам ряд, а также ряд

u1 u2 un .

Если ряд

u1 u2 un

сходится, а ряд

u1 u2 un .

расходится, то данный знакопеременный ряд называется условно сходящимся.

Пример.

Ряд 1 12 13 14 сходится, но ряд 1 12 31 14 расходится. Ряд 1 12 13 14 – условно сходящийся.

199

Функциональные ряды

Ряд u1 x u2 x un x называется функциональным. Его

члены являются функциями от х. Давая х определенные числовые значения, получим различные числовые ряды. Совокупность значений х, при которых сходится функциональный ряд, называется областью сходимости этого ряда. В области сходимости его сумма S является функцией от х (S = S(x)).

Мажорируемые ряды

Функциональный ряд u1 x u2 x un x называется мажорируемым в некоторой области изменения х, если существует

сходится на этом отрезке к сумме S(x), а ряд

200