1459

Имеем:

y 6x ,

точке А соответствует х = 0, точке В соответствует х= 1.

В

3

x

0 А 1

Тогда

Это работа, совершаемая силами поля F 4x y i 5x2 y j при

перемещении по дуге параболы AB от точки А до точки В.

До сих пор мы рассматривали случаи, когда начальная и конечная точки интегрирования не совпадали, и заданием точек B и C опреде лялось направление интегрирования. Ясно, что если изменить направ ление интегрирования на противоположное, то криволинейный инте грал изменит знак на противоположный.

Рассмотрим теперь случай, когда контур замкнутый. Здесь выбор начальной точки интегрирования (она же является и конечной) на контуре интегрирования никакой роли не играет.

В случае замкнутого контура на плоскости направление обхода, при котором область, ограниченная контуром, остается слева, называют положительным; перемещение в противоположном направлении назы вают отрицательным. Криволинейный интеграл по замкнутому контуру часто обозначают .

L

161

Если направление обхода положительное, то будем криволинейный интеграл обозначать Pdx Qdy ; если отрицательный, то –

L

Pdx Qdy . Эти интегралы отличаются только знаком.

L

y L

+

Условия независимости интеграла от линии интегрирования

Криволинейный интеграл, вообще говоря, зависит не только от подынтегрального выражения, начальной и конечной точек пути интегрирования, но и от самого пути интегрирования. Для большого и важного класса подынтегральных выражений криволинейный интегралPdx Qdy оказывается независящим от пути интегрирования.

L

Пусть D – часть плоскости, ограниченная одной замкнутой линией, не имеющей самопересечений. Тогда область D называется односвязной. Более строго: область называется односвязной, если любую принадлежащую к ней замкнутую кусочно гладкую кривую можно стянуть в точку, принадлежащую D.

Теорема (основная). Если Р(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными в односвязной области D, тогда для того, чтобы криволинейный интеграл

Pdx Qdy

L

не зависел от линии интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D соблюдалось равенство

P Q ,y x

то есть, чтобы подынтегральное выражение Pdx +Qdy было полным дифференциалом некоторой функции и(x,y).

162

Справедлива формула Грина:

где Р(x,y), Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными произ водными первого порядка в области D, L – граница области D и инте грирование вдоль L производится в положительном направлении.

Если область D односвязна, и Р(x,y), Q(x,y) вместе со своими производными непрерывны в этой области, то все четыре следующих утверждения равносильны, то есть если выполняется одно из них, то выполняются и все остальные:

1. I Pdx Qdy , взятый по любому контуру, лежащему в области

D, равен нулю.

2. I Pdx Qdy не зависит от линии интегрирования L.

L

3.Выражение Р(x,y) + Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой функции и(x,y).

4.Во всех точках области D имеет место Qx Py .

Интегрирование полных дифференциалов. Первообразная функция

Если подынтегральное выражение в криволинейном интегралеPdx Qdy является полным дифференциалом, то при соблюдении

L

условий основной теоремы величина этого интеграла зависит лишь от начальной и конечной точек линии интегрирования, но не зависит от пути. Поэтому интеграл I x, y Pdx Qdy записывается в виде:

L

x1,y1

P x, y dx Q x, y dy,

x0 ,y0

где (x0, y0) – начальная точка; (x1, y1) – конечная точка.

Воспользуемся тем, что если линия интегрирования есть отрезок прямой, параллельной оси Ох (у = у0), то:

163

Если отрезок параллелен оси Оу, то:

y2

P x, y dx Q x, y dy Q x0 , y dy .

Тогда, интегрируя по ломаной, получим:

y

M2(x,y0)

Если эта ломаная выходит за пределы области D, можно составить другую ломаную, состоящую из отрезков, параллельных осям координат.

Связь криволинейного интеграла I x, y с функцией и(x,y), для ко торой подынтегральное выражение является полным дифференциалом

du = Р(x,y)dx + Q(x,y)dy

определяется формулой Ньютона$Лейбница для криволинейных инте$ гралов:

Пример.

Найти первообразную u(x,y) для полного дифференциала

ey x dx xey 2y dy.

164

В качестве начальной точки (х0, у0) выберем начало координат. Тогда

Площадь области, ограниченной кривой L , определяется в виде:

S1 xdy ydx . 2 L

Формула справедлива и для областей, границы которых пересе каются координатными линиями более чем в двух точках.

Пример.

Вычислить площадь эллипса

x a cost, y bsin t.

y

Имеем:

S1 a costbcost bsin t a sin t dt 2 L

1 abcos2 t absin2 t dt

2 L

165

dy y t dt .

Криволинейные интегралы по пространственным линиям

Если материальная точка находится под действием сил про странственного силового поля:

то аналогично предыдущему получим, что работа, совершаемая силами поля при перемещении точки по пространственной кривой L, есть

P x, y, z dx Q x, y, z dy R x, y, z dz .

L

Интегралы Pdx, Qdy, Rdz называются интегралами по коор

L L L

динатам x, y, z.

Если линия L задана параметрическими уравнениями х = x(t), у = у(t), z = z(t), причем точке В соответствует t = tВ, точке С – t = tС, то

Pdx Qdy Rdz

L

Здесь также имеет место основная теорема, а именно:

Если Р, Q, R непрерывны вместе со своими частными произ водными в односвязной области D, то для того, чтобы криволинейный интеграл Pdx Qdy Rdz не зависел от линии интегрирования, необ

L

ходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D соблюдались равенства

166

Криволинейный интеграл по длине дуги (первого рода)

Пусть функция f(x,y) непрерывна в некоторой области D и L – линия, целиком расположенная в этой области.

Разобьем кривую L на n участков. Возьмем на каждом из участков произвольную точку k , k и построим интегральную сумму

n

f k , k Lk ,

k 1

где Lk – длина соответствующего участка линии.

Отличие этой суммы от сумм, приводящих к криволинейным интегралам по координатам, состоит в том, что в этом случае значение функции умножается на длину участка разбиения, а в предыдущем – на проекцию этого участка на соответствующую ось координат. Эта интегральная сумма может рассматриваться как масса кривой L, если по ней непрерывно распределена масса с плотностью f(x,y).

Определение. Криволинейным интегралом по длине дуги называется

n

предел n й интегральной суммы f k , k Lk при условии, что длина

k 1

наибольшего участка разбиения стремится к нулю и не зависит от способа разбиения L на частичные участки, т.е.

Для того чтобы криволинейный интеграл f x, y dL , где кривая L

L

задана уравнениями х = x(t), y = y(t), преобразовать в обыкновенный, нужно в подынтегральном выражении положить х = x(t), y = y(t),

167

В частности, если L задается в виде y y x , x a.b , то с учетом

является полным дифференциалом некоторой функции. Тогда работа в

называется потенциальным или консервативным. При этом u(x,y,z) называется потенциалом силового поля.

Имеем

то есть работа в потенциальном силовом поле равна разности потен циалов и(x,y,z) и и(х0,у0,z0) в конце и начале пути.

Варианты тестовых заданий по модулю

2. Модуль комплексного числа z = 3 – 4i равен 1) 3; 2) 5; 3) 0; 4) 5.

168

3. Площадь заштрихованной части фигуры, изображенной на чер теже, задана интегралом

5. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле по области, изображенной на чертеже

y

1

169

Вариант 2

5.Площадь треугольника, изображенного на чертеже, вычисляется

спомощью интеграла

y

y x

170