1459

Приложения двойных интегралов к задачам механики

1. Масса тонкой плоской пластинки, расположенной на плоскости ОХY и занимающая область D, переменной плотности

m x, y d ,

D

где x, y – поверхностная плотность в данной точке пластинки

(предел отношения массы площадки к ее площади, когда площадка стягивается к данной точке); изменение плотности по толщине пластинки в силу ее малости не учитывается.

2. Статические моменты пластинки:

Mx y x, y d ;

D

My x x, y d .

D

3. Координаты центра тяжести пластинки:

3. Моменты инерции пластинки относительно осей Ox и Oy:

Ix y2 x, y d ; Iy x2 x, y d

4. Момент инерции пластины относительно начала координат:

I0 Ix Iy .

Геометрические приложения двойных интегралов

1. Площадь плоской фигуры. При f x, y 1 цилиндрическое тело

будет прямым цилиндром с высотой H 1. Объем такого цилиндра численно равен площади S основания D. Так что

S dxdy ,

D

151

или в полярных координатах

S rdrd .

D

2. Площадь поверхности. Если гладкая поверхность заданна уравне нием z f x, y , то площадь поверхности определяется по формуле

где D –проекция поверхности на плоскость xOy.

Если поверхность задана уравнением x f y, z , то

где D – проекция поверхности на плоскость yOz.

Если поверхность задана уравнением y f x, z , то

где D – проекция поверхности на плоскость xOz.

3. Вычисление объемов. Если область U трехмерного пространства

D

Масса неоднородного тела. Тройной интеграл

Рассмотрим тело, занимающее пространственную область . Предположим, что плотность распределения массы в теле есть непрерывная функция координат точек тела x, y, z . Разобьем

тело произвольным образом на n частей с объемами Vi и в каждой из них выберем по произвольной точке Pi xi , yi , zi . Полагая, что в каждой

частичной области плотность постоянна и равна xi , yi , zi , получим

n

приближенное значение массы Mn xi , yi , zi Vi . Предел этой

i 1

152

суммы при n , и когда частичные тела стягиваются в точку, даст массу тела

где f(x,y,z) – произвольная непрерывная функция в области . Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных

интегралов.

Если f(x,y,z) 1, то dV V .

Вычисление тройного интеграла может производиться посредством ряда последовательных интегрирований, как и в случае двойного интеграла.

Тройной интеграл в декартовых координатах

Пусть тройной интеграл I f x, y, z dV , где область V отнесена

V

к системе декартовых координат. Разобьем область V плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Тогда частичными об ластями будут параллелепипеды с гранями, параллельными коор динатным плоскостям. Элемент объема будет равен произведению дифференциалов переменных интегрировании:

dV=dxdydz.

Откуда

f x, y, z dV f x, y, z dxdydz .

V V

Приведем правило вычисления тройного интеграла сначала для пространственных областей V специального вида. А именно, когда область V ограничена замкнутой поверхностью S, обладающей сле дующими свойствами:

1)всякая прямая, параллельная оси Oz, проведенная через внутрен нюю точку области V (не лежащую на границе S), пересекает поверх ность S в двух точках;

2)вся область V проектируется на плоскость Оху в правильную двухмерную область D;

153

3) всякая часть области V, отсеченная плоскостью, параллельной любой из координатных плоскостей, также обладает свойствами 1,2.

Область V, удовлетворяющая свойствам 1 3, называется правильной трехмерной областью (эллипсоид, прямоугольный параллелепипед, тетраэдр и т.д.).

z

z=z2(x,y)

ML

Пусть поверхность, ограничивающая область V снизу, описывается уравнением z = z1(х,у), а поверхность, ограничивающая V сверху, –

уравнением z = z2(х,у).

Пусть область D (проекция V на плоскость Оху) ограничена линиями x =a, х = b, у = у1(х), у = у2(х). Тогда для любой непрерывной в области V функции f(x, y, z) имеет место формула

(вычисление тройного интеграла сводится к вычислению двойного интеграла). Сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z при постоянных x и y в пределах изменения z. Результат вычисления этого интеграла есть функция двух переменных x и y. Переходя от двойного интеграла по области D к повторному, получим формулу

по которой и вычисляется тройной интеграл в декартовых коорди натах.

154

Если область V имеет более сложный вид, то ее надо разбить на части указанного вида и вычислить данный интеграл как сумму интегралов, взятых по составляющим областям.

Тройной интеграл в цилиндрических координатах

Если область V отнесена к цилиндрической системе координат (r, ,z), то положение точки М определяется полярными координатами (r, ) проекции точки М на плоскость Оху и аппликатой z точки М .

При таком выборе расположения осей координат

х = rcos , у = rsin , z = z.

z

M(x,y,z)=M(r, ,z)

y

Разбивая V координатными поверхностями r = const, = const, z = z, получим

dV r dr d .

Справедливо:

f x, y, z dxdydz f r cos ,r sin , z rdrd dz .

V V

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интегрированию по r, по и по z аналогично тому, как это делается в декартовых координатах.Переход к цилиндрическим координатам особенно удобен в случае, когда область интегрирования образована цилиндрической поверхностью.

Тройной интеграл в сферических координатах

Если область интегрирования к сферическим координатам (r, , ), то положение точки М в пространстве определяется ее расстоянием r от начала координат О, углом между радиусом вектором и осью Oz и

155

углом между проекцией радиуса вектора точки на плоскость Оху и

осью Ох; 0 , 0 2 .

x

Связь между декартовыми и сферическими координатами: x r sin cos ,

y r sin sin .

Разбивая область V на частичные области Vi (координатными поверхностями r = const, = const, = const), вычислив элемент объема

переменные x, у, z, получим формулу перехода от декартовых координат к сферическим:

f x, y, z dV f r sin cos ,r sin sin ,r cos r 2 sin drd d .

V V

Применение этой формулы особенно эффективно, когда область V – шар с центром в точке О.

Применение тройных интегралов

Тройные интегралы применяются для вычисления статических моментов и моментов инерции пространственных тел. Их применение основано на тех же принципах, что и применение двойных интегралов для вычисления соответствующих моментов плоских пластинок.

Так как квадраты расстояний от точки Р(x,y,z) до осей Ох, Оу, Оz соответственно равны y2 z2, x2 z2, x2 y2 , то при (x,y,z) = 1 будем иметь:

Ix y2 z2 dV ,

V

156

Iy x2 z2 dV ,

V

Iz x2 y2 dV .

V

rx

y

x

Центробежные моменты вычисляются по формулам

Ixy xydV ;

V

Iyz yzdV ;

V

Ixz xzdV ,

V

аполярный момент относительно точки О:

I0 x2 y2 z2 dV .

V

Если тело неоднородное, то в каждой формуле под знаком инте грала будет находиться дополнительный множитель (x,y,z) – плотность в точке Р.

Координаты центра тяжести тела выражаются формулами:

157

Криволинейные интегралы

Пример задачи, приводящей к понятию криволинейного интеграла по координатам (или второго рода). Определим работу, совершаемую силами поля F F x, y P x, y i Q x, y j (Р(x,y), Q(x,y) – проекции

на оси Ох и Оу), при перемещении материальной точки по некоторой линии L, расположенной в области D и соединяющей точки В и С.

y

Разобьем линию L на n частей точками В1, В2, ...,Вn+1.

P xk , yk xk 1 xk Q xk , yk yk 1 yk

P xk , yk xk Q xk , yk yk .

158

Вся работа при перемещении материальной точки из точки В в точку С будет:

n

A An P xk , yk xk Q xk , yk yk .

k 1

Переходя к пределу при n и полагая, что длина наибольшего отрезка стремится к нулю, получим истинную работу.

В общем случае предполагается, что Р(x,y), Q (x,y) – функции двух переменных, непрерывные в некоторой области D; L – гладкая линия, целиком расположенная в этой области. Разбивая линию L на n

участков точками (хk;уk), (хk+1;уk+1),..., (хn+1;уn+1) и выбирая на каждом участке по произвольной точке Вk( k, k) (они могут совпадать и с

концами участков), составим сумму

n

P k , k xk Q k , k yk ,

k 1

где xk xk 1 xk , yk yk 1 yk .

Эта сумма называется n й интегральной суммой по линии L.

y

Fk L

C

Bk( k, k)

D

B

Определение. Криволинейным интегралом по координатам (или кри волинейным интегралом II рода) от выражения P x, y dx Q x, y dy по

направленной дуге BC называется предел n й интегральной суммы при условии, что max xk 0, max yk 0 .

Имеем

P x, y dx Q x, y dy P x, y dx Q x, y dy ,

BC BC BC

159

интеграл по координате y.

Линия L (BC) называется линией или путем интегрирования, точка В называется начальной, а С – конечной точками интегрирования.

Вычисление криволинейных интегралов

1.Если линия интегрирования дана в параметрической форме:

х= x(t), y=y(t), то

tC

P x, y dx Q x, y dy P x t , y t x t Q x t , y t y t dt.

2. Если линия L задана в виде у = у(х), то

xC

P x, y dx Q x, y dy P x, y x Q x, y x y x dx,

где хВ, хС – абсциссы точек В и С.

3. Если кривая L задана в виде х=х(у), то

yC

P x, y dx Q x, y dy P x y , y x y Q x y , y dy,

L yB

AB

где AB – дуга параболы у=3х2 от точки А(0;0) до точки В(1;3).

160