1459

( a x b ) вокруг оси Ox, где f x и f x – непрерывны, то площадь указанной поверхности вращения:

5.Физические приложения определенных интегралов

5.1.Центр тяжести C xc , yc однородной пластины постоянной толщи

ны с поверхностной плотностью const , ограниченная кривой y f x

нии оси Ox при прямолинейном перемещении на отрезке x0 , x1 вы

числяется по формуле

x1

A f x dx .

x0

5.3. Путь, пройденный точкой со скоростью v t :

141

Несобственные интегралы

1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

(несобственный интеграл I рода)

Несобственный интеграл f x dx от функции f(x), интегрируемой

a

на любом отрезке [a,b ], a b , определяется в виде

Аналогично определяется несобственный интеграл на интервале (– ,b]:

a

то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают

b

f x dx . Если предел существует, то несобственный интеграл

a b

f x dx называется сходящимся, если предел не существует или бес

a

b

конечен, то интеграл f x dx расходится.

a

Аналогично определяется несобственный интеграл, когда f(x) терпит разрыв в точке а:

142

Если f x терпит разрыв во внутренней точке c отрезка a,b , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

Интеграл слева называют сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

Примеры.

143

3.3. Кратные и криволинейные интегралы

Кратные интегралы

Объем цилиндрического тела. Двойной интеграл

Определим объем V цилиндрического тела, ограниченного плоско стью OXY, поверхностью z f x, y и цилиндрической поверхностью. Предполагается, что любая прямая, параллельная оси OZ, пересекает z f x, y не более чем в одной точке; образующая цилиндрической

поверхности параллельна оси OZ. Функция f(x,y)>0 непрерывна в области D.

z

z=f(x,y)

Mi

y

D

Pi

i

x

Разобьем основание цилиндрического тела – область D на n частич ных областей произвольной формы с площадями i(i=1,2,…,n).Через границу каждой области проведем цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси OZ. Данное цилиндрическое тело окажется разбитым на n кусков (тел), соответствующих n частичным областям. Выберем в каждой частичной области точку Pi(xi,yi) и заменим соответствующее частичное цилиндрическое тело прямым цилиндром с тем же основанием и высотой zi=f(xi, yi). В результате получим ступенчатое тело, объем которого

n

Vn f xi , yi i .

i 1

Приближенно примем за объем V цилиндрического тела Vn, т.е. V Vn. Переходя к пределу при n и, когда все размеры частичных областей стремятся к нулю, получим объем V данного цилиндрического тела:

144

Рассмотрим вопрос в общем виде. Пусть f(x,y) – функция двух переменных, непрерывная в области D. Разобьем область D на частич ные области, в каждой из них выберем по произвольной точке Pi(xi,yi) и составим сумму

n

In f xi , yi i , i 1

где f(xi,yi) – значение функции в точке Pi;i – площадь частичной области.

Сумма называется n й интегральной суммой для функции f(x,y) в области D, соответствующей данному разбиению этой области на n частичных областей.

Определение. Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D называется предел, к которому стремится n я интегральная сумма при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей (диа метром di области называется наибольшее расстояние между точками

ее границы). Обозначается

Область D называется областью интегрирования. Таким образом, объем цилиндрического тела, ограниченного плоскостью OXY, поверх ностью z=f(x,y) (f(x,y)>0) и цилиндрической поверхностью с образую щей, параллельной оси OZ, выражается двойным интегралом от функ ции f(x,y), взятым по области, являющейся основанием цилиндри ческого тела:

V f x, y d .

D

Теорема существования двойного интеграла. Если функция f(x,y) непрерывна в области D, ограниченной замкнутой линией, то ее n я интегральная сумма стремится к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей. Этот предел, т.е. двойной интеграл f x, y d , не зависит от способа разбиения области D на

D

частичные области i и от выбора в них точек Рi.

145

Свойства двойных интегралов

f x, y d x, y d .

D D

В частности, если f(x,y) в области D не меняет знака, то f x, y d –

D

число того же знака, что и функция f(x,y).

5. Если во всех точках области D m f(x,y) М, то

mS f x, y d MS ,

D

где S – площадь области D .

6. f x, y d f , S ,

D

где ( , ) – некоторая точка области D.

При этом f( , ) называется средним значением функции f(x,y) в области D.

Вычисление двойных интегралов

Пользуясь теоремой существования двойного интеграла, разобьем область D на частичные области координатными линиями x=const, y=const. Тогда площадь каждой частичной области будет равнаx y, d =dxdy. Следовательно,

f x, y d f x, y dxdy .

D D

При вычислении двойного интеграла будем опираться на тот факт, что он выражает объем V цилиндрического тела с основанием D, ограниченного поверхностью z=f(x,y).

146

Но тогда площадь сечения PMNR есть

y2 x

S x f x, y dy

y1 x

(зависит от значения х). Однако ранее мы установили, что объем тела

b

V S x dx ,

a

где S(x) – площадь сечения данного тела плоскостью x=const (a x b).

форме:

Пределы внутреннего интеграла – переменные и указывают изме нение у при х=const. Пределы внешнего интеграла постоянны и указывают границы изменения х. Меняя роли х и у и рассматривая сечения тела плоскостями, параллельными OXZ, получили бы

Вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух обыкновенных определенных интегралов. При этом надо помнить, что во внутреннем интеграле одна из переменных при интегрировании принимается за const. Правые части называются по вторными (двукратными) интегралами. Процесс расстановки пределов интегрирования называется приведением двойного интеграла к повторному. Если область D – прямоугольник со сторонами, парал лельными осям OX и ОY, то

В других случаях для сведения двойного интеграла к повторному необходимо:

1) построить область интегрирования, т.е. изобразить ее в плоско сти хОу;

148

2)установить порядок интегрирования, т.е. наметить, по какой пе ременной будет проводиться внутреннее интегрирование, а по какой – внешнее;

3)расставить пределы интегрирования.

Пример.

Привести к повторному двойной интеграл f x, y dxdy , если об

D

ласть D ограничена линиями у = 0, y x2 , х+у = 2.

y

B(1;1)

1

х+y=2

y=х2

Здесь удобнее интегрировать сначала по х, затем по у. y x 2 y, 0 y 1.

Откуда

Если же сначала интегрировать по y, затем по х, то область D снача ла надо разбить на две области ОВС и СВА. Получим:

Двойной интеграл в полярных координатах

Если область D отнесена к полярным координатам, то

х = r cos , y=rsin ,

149

а формула преобразования двойного интеграла в декартовых коор динатах к полярным имеет вид:

I f x, y dxdy f r cos , r sin rdrd ,

D D

где rdrd – элемент площади в полярных координатах.

Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат сводится к последовательному интегрированию по r и .

Если полюс не содержится внутри области D, заключенной между

O

Если полюс содержится внутри области D, и любой полярный радиус пересекает границу в одной точке, то

00

r=r ( )

D

O

150