1459

Теорема. Пусть знаменатель Qn x разложен в виде:

Qn x an x C1 1 x Cr r x2 p1x q1 1 x2 ps x qs s ,

1 r 2 1 s n

Тогда Pm x можно представить единственным образом в виде:

Qn x

где A,B,C с соответствующими индексами есть постоянные числа.

Пример.

131

Теорема позволяет свести интегрирование рациональных функций к интегрированию простейших дробей, входящих как слагаемые в

разложение Pm x .

Qn x

Для предыдущего примера имеем:

В случае m n следует предварительно выделить целую часть

рациональной дроби и представить ее в виде

f x N x Pm1 x , m1 n, Qn x

где N(x) – многочлен.

132

2. При вычислении интегралов вида sinm x cosn xdx (m, n – целые числа) при нечетном m используется замена cos x t, sin xdx dt ; при нечетном n – замена sin x t, cos xdx dt ; если обе степени m и n – четные и неотрицательные, то используются формулы:

Использована замена cos x t .

3. Интегралы вида R sin x,cos x dx , где R – рациональная функ

ция своих аргументов, сводится к интегралам от рациональных дробей с помощью универсальной тригонометрической подстановки:

dx

Пример. Вычислить интеграл 2 sin x .

Используя универсальную тригонометрическую подстановку, имеем:

133

Если подынтегральное выражение зависит от sin2 x, cos2 x или от tgx , применяется подстановка t tgx .

Определенный интеграл

Площадь криволинейной трапеции. Пусть на отрезке a,b задана непрерывная функция y f x 0 . Найдем площадь криволинейной трапеции ABCDA. Для этого разобьем отрезок a,b на n частичных

площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криво

134

линейной трапеции. При уменьшении всех величин xi точность

приближения увеличивается. Поэтому за точное значение S площади криволинейной трапеции принимается предел S , к которому стремится площадь Sn , когда n неограниченно возрастает так, что max xi 0 :

О п р е д е л е н и е . Если при любых разбиениях отрезка [a,b], та ких, что max xi 0 , и при любом выборе точек i xi 1, xi инте гральная сумма

n

Sn f i xi i 1

стремится к одному и тому же пределу, то этот предел называют опре$ деленным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначают

где a, b – нижний и верхний пределы интегрирования.

Определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади S криволинейной трапеции.

Если для f(x) существует предел интегральной суммы, то ее назы вают интегрируемой на [a,b].

135

aa

7.Если на [a,b] имеют место неравенства m f x M , то

b

m b a f x dx M b a .

a

8. Теорема о среднем.

Если f(x) непрерывна на [a,b], то найдется такое a,b , что

b

f x dx b a f .

a

9. Для любых трех чисел a,b,c; a< c< b справедливо

136

если только все три интеграла существуют (аддитивное свойство интеграла).

13. Формула Ньютона Лейбница:

b

f x dx F x |ba F b F a ,

a

где F x – какая нибудь первообразная для функции f x на a,b . 14. Интегрирование по частям

15. Интегрирование подстановкой (заменой переменного)

Если f(x) непрерывна на [a,b], то, введя переменную t по формуле x t ., где a; b; (t) непрерывна на [ , ]; f t опреде

137

Вычисление определенного интеграла

Непосредственное вычисление

2

sin xdx cos x 02 cos2 cos0 1 1 0.

0

Интегрирование подстановкой (заменой переменного)

Приближенное вычисление определенных интегралов

1. Формула прямоугольников

где xk – точки разбиения отрезка a,b , N – число частичных отрезков. Остаточный член квадратурной формулы (ошибка)

где f x M1 x a,b .

138

Если f(x) имеет ограниченную вторую производную f x M2 на [a,b], то для формул трапеций и прямоугольников

xi 1, xi не отрезками прямых, как в методах прямоугольников и трапе

ций, а дугами парабол, то получим более точную формулу для при ближенного вычисления интеграла:

h b a . 2m

Приложения определенных интегралов

1.Вычисление площадей плоских фигур

1.1.Площадь фигуры, заданной в декартовых координатах.

Пусть y=f(x) – уравнение линии, ограничивающей трапецию сверху.

y

L:y=f(x) В

А

S

139

Если y 0 , то