1459

Модуль 3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

3.1. Элементы теории функций комплексного переменного

Комплексным числом z называется упорядоченная пара чисел x, y , x Re z – действительная, y Im z – мнимая части. Запись числа z в виде z x iy называется алгебраической формой комплексного числа. Символ i называется мнимой единицей ( i2 1).

x . Множество R действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных чисел ( R C ).

Два комплексных числа z1 x1 iy1 и z2 x2 iy2 называются рав ными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, то есть z1 z2 при x1 x2 и y1 y2 . В частности, комплексное число z x iy равно нулю тогда и только тогда, когда x y 0 .

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Два комплексных числа z x iy и z x iy , отличающиеся толь ко знаком мнимой части называются сопряженными.

плексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат – мнимой.

Комплексное число z x iy можно изобразить и с помощью радиус вектора r OM x, y .

y

M

r

O x

121

Длина вектора r называется модулем комплексного числа z, обозначается z или r ; r z x2 y2 .

Величина угла между положительным направлением действитель ной оси и вектором r , изображающим комплексное число, называется аргументом этого числа, обозначается Arg z или . Аргумент ком плексного числа z 0 не определен. Аргумент комплексного числа z 0 – величина многозначная и определяется с точностью до сла гаемого 2 k : Arg z arg z 2 k , где arg z – главное значение аргумента,

заключенное в промежутке , .

Запись числа z в виде z r cos i sin называется тригоно$ метрической формой комплексного числа.

Аргумент определяется из формул cos xr , sin yr , tg xy .

Иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, при надлежащую промежутку 0,2 , тогда

Используя формулу Эйлера ei cos i sin , комплексное число z можно записать и, в так называемой, показательной (или экспонен циальной) форме: z r i , где r z – модуль комплексного числа, а угол Arg z arg z 2 k .

Суммой двух комплексных чисел z1 x1 iy1 и z2 x2 iy2 назы вается число, определяемое равенством

x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 i y1 y2 .

Вычитание определяется как действие, обратное сложению:

x1 iy1 x2 iy2 x1 x2 i y1 y2 .

Произведением комплексных чисел z1 x1 iy1 и z2 x2 iy2 назы вается комплексное число, определяемое равенством:

x1 iy1 x2 iy2 x1x2 y1y2 i x1y2 y1x2 .

122

Получается путем перемножения двучленов x1 iy1 и x2 iy2 с учетом i2 1:

x1 iy1 x2 iy2 x1x2 iy1x2 iy2x1 i2y1y2 x1x2 y1y2 i x1y2 y1x2 .

Частное двух комплексных чисел находят путем умножения числи теля и знаменателя на число, сопряженное знаменателю (избавляются от мнимости в знаменателе):

модули перемножаются, а аргументы складываются, то есть

z1 z2 r1 cos 1 i sin 1 r2 cos 2 i sin 2 = r1 r2 cos 1 2 i sin 1 2 .

Откуда следует формула Муавра для возведения комплексных чисел в натуральную степень:

zn r cos i sin n r n cos n i sin n .

Деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме осуществляется по формуле:

z1 r1 (cos 1 2 i sin 1 2 ), z2 r2

то есть, модули делятся, а аргументы вычитаются.

Корень n $й степени из комплексного числа z определяется как комплексное число w , удовлетворяющее равенству wn z :

корня и формуле Муавра, получаем

z wn n cos n i sin n r cos i sin .

123

рывность ее действительной и мнимой частей x t и y t .

Производная комплексной функции действительного переменного определяется как предел отношения приращения функцииz z t t z t к приращению независимой переменной t :

вать как обыкновенную сумму, считая i просто постоянным. Разу меется, это правило приобретает смысл только после введенных выше определений. Все правила дифференцирования действительных функ ций без всяких изменений переносятся на комплексные функции.

124

Показательная функция с мнимым показателем степени опреде ляется как комплексная функция

eit cost i sin t ,

где t может принимать любые действительные значения.

Приведенная формула носит название формулы Эйлера. Правая часть формулы представляет собой тригонометрическую форму записи комплексного числа с модулем, равным 1, и аргументом, равным t :

eit 1, Argeit t .

Годографом функции z eit служит единичная окружность. Комплексная функция eit дифференцируется так же, как если бы i

было просто постоянным числом:

eit sin t i cost i cost i sin t ieit .

Заменив в формуле Эйлера t на t , получим e it cost i sin t

( eit и e it – комплексно сопряженные выражения). Тригонометрические функции cost и sin t можно представить

через показательные функции действительного переменного в виде

Эти формулы также называются формулами Эйлера.

Решение уравнений

Уравнение Pn x 0 , где Pn x a0 xn a1xn 1 an , называется алгебраическим уравнением n ой степени; коэффициенты a0 ,a1, ,an – действительные или комплексные числа, a0 0 .

Основная теорема высшей алгебры. Всякое алгебраическое урав нение степени n 0 имеет хотя бы один корень, действительный или комплексный.

Справедливо Pn x x Qn 1 x R , где Qn 1 x – многочленn 1 й степени. Если – корень многочлена Pn x , то R P 0 и

Pn x x Qn 1 x .

125

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P x на двучлен

x равен значению этого многочлена при x .

Из предыдущего следует разложение многочлена Pn x на линей ные множители:

Таким образом, алгебраическое уравнение n $й степени имеет n кор$ ней, если каждый корень считать столько раз какова его кратность.

Если все коэффициенты a0 ,a1, ,an – действительные числа, то комплексные корни уравнения (если они есть) попарно сопряжены. Тогда любой многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действи$ тельный корень. Для произведения комплексно сопряженных корней справедливо:

Откуда следует возможность разложения многочлена с действи тельными коэффициентами в виде:

Pn x a0 x x1 k1 x xs ks x2 p1x q1 l1 x2 pt x qt lt ,

где k1 ks 2 l1 lt n , ki – кратности действительных корней, l j – кратности комплексно сопряженных корней.

Не существует формул, пользуясь которыми можно было бы при помощи конечного числа алгебраических действий выразить корни через коэффициенты таких уравнений (решить уравнение в радика лах), если степень n 5. При n 3 и n 4 соответственно исполь зуются формулы Кардано и Феррари. При n 1 и n 2 получим соот ветственно линейное или квадратное уравнение.

126

3.2. Неопределенный и определенный интегралы

Неопределенный интеграл

Первообразной для функции f x на данном интервале называется такая функция F x , производная которой равна f x (для всех x из

данного интервала):

F x f x .

Непрерывная в интервале a,b функция f x имеет бесконечное множество первообразных на a,b . Если F x – одна из них, то всякая другая имеет вид F x C , где C – постоянная величина.

Неопределенным интегралом от функции f x называется сово купность F x C всех ее первообразных:

f x dx F x C ;

f x dx называется подынтегральным выражением, f x – подын

тегральной функцией, дифференциал dx указывает на то, что инте грирование ведется по переменной x.

Правила интегрирования (свойства неопределенного интеграла)

1.d f x dx f x dx.

2.dF x F x C .

3.f x dx f x .

4.af x dx a f x dx , где a – постоянная.

5.( f1 x f2 x )dx f1 x dx f2 x dx .

6.Если f x dx F x C и u x , то f u du F u C .

Таблица интегралов

1. 0dx C.

127

5.ex dx ex C.

6.sin xdx cos x C.

7.cos xdx sin x C.

Преобразование интеграла к табличному при помощи внесения некоторой функции под знак дифференциала

Пример.

128

используют одну из четырех последних формул, приведенных выше в таблице основных интегралов.

dx

Пример. Вычислить x2 4x 13 .

Так как x2 4x 13 x 2 2 9, то, в силу dx d x 2 , имеем:

2. Метод замены переменной (подстановки)

Замена переменной (иногда называемая также подстановкой) состоит в том, что вместо переменной x в подынтегральное выражение f x dx вводится функция x t :

f x dx f t t dt.

Функцию (t) следует выбирать так, чтобы можно было вычислить неопределенный интеграл, стоящий в правой части последнего равенства.

129

3. Интегрирование по частям

Производится по формуле

udv uv vdu ,

где u(x), v(x) – непрерывно дифференцируемые функции. Подынтегральное выражение разбивается на две части, одну из

которых принимают за u, а другую – за dv так, чтобы интеграл vdu

вычислялся проще, чем исходный.

Метод позволяет вычислять интегралы видов:

где P x – многочлен.

Для интегралов типа I в формуле интегрирования по частям прини мается P x u , а для интегралов типа II – P x dx dv .

Пример. Вычислить x ln xdx .

Интегрирование рациональных функций разложением на простейшие дроби

Рассмотрим отношение двух алгебраических многочленов (назы

вается рациональной функцией или рациональной дробью)

f x Pm x , Qn x

Pm x b0 b1x bm xm ,

Qn x a0 a1x an xn ,

где bj , ai – действительные числа, i 0,n, j 0,m ; bm,an 0, m 0, n 1.

Будем полагать m n .

130