1459

2.

4

1

Вычислите предел lim

.

2 4

x 2

x 2

x

1) 0;

2)

1

;

3)

1

;

4)

1

.

4

2

4

3.

Для функции

y ln(x2 4x 4) уравнение касательной в точке

x0 3 имеет вид:

1)2x y 6 0 ;

2)2x y 3 0 ;

3) x y 3 0 ;

4)2x y 6 0 .

4.

Дифференциал функции y x ln x равен

1)

1

dx ;

2)

xdx ;

3) ln xdx ;

4)

ln x 1 dx .

x

y

5.

Если U ln x

в точке M0 (1, 2, 1)

, то U x

2z

1) 1;

2) 0,25;

3) 0,5;

4) 90,5.

6.

Частная производная

z

функции

z 2x3 y2 5x 2y 3 имеет

x

вид…

1) 6x2 y2 5;

2) 2x2 y2 5;

3) 6x2 y2 2;

4) 12x2 y2 .

7.

Горизонтальная асимптота графика функции f x

3 4x 2x2

3x2 x 5

задается уравнением вида…

1)

y

1

x 3 ;

2) y

2

;

3) y 1;

4) y

2

.

2

3

3

8.

Найти производную функции y xln 2x

1) y ln 2x2 xln 2x 1 ;

2) y ln x xln 2x ;

3) y xln 2x 1 ln 2 2ln x ;

4) y xln 2x ln x ln 2x .

10. Точка максимума функции f x 2x3

15x2 36x равна..

1) 93;

2) 92;

3) 0;

4) 36.

1) ; 2 ;

2) ; ;

3) ; 0 ;

4) ; 0 .

2.

Предел lim

6n2 2

равен...

6

n 1 7n2

6

1)

;

2) ;

3) ;

4)

7

7

3.

Производная функции y cos3 2x равна

1)

3sin2 2x ;

2) 6cos2 2x sin 2x ;

3)

6cos2 2x sin 2x ;

4) 6sin2 2x .

4.

Найти экстремум функции y x ln x .

1)

1

;

2) е;

3) 1;

4) экстремума нет.

е

5.

Точка максимума функции f x 2x3

15x2

36x равна..

1)

93;

2) 92;

3) 0;

4) 36.

6.

Предел lim

1 3n3

равен

4 n n2 3n3

n

1)

2;

2) 91;

3) 1;

4) 93.

7.

График какой функции на всем отрезке

a; b одновременно

удовлетворяет трем условиям: y 0,

y 0,

y 0 ?

y

y

a

b

a

b

0

x

0

x

2)

4)

a

b

a

b

0

x

0

x

1) только 1;

2) только 2;

3) только 3; 4) только 1 и 2.

8.

Если U ln 3x y

2

2z

3

, то U z в точке M 1; 0;1 равно

1)

1

;

2) 3;

3) 5;

4)

6

.

3

5

9.

Если z x2

5xy 2y2

2 , тогда градиент z в точке A 1;1 равен

1) 3

;

2)

;

3) 3

;

4) 4.

i

j

i

j

i

j

1.

Предел lim

x2

5x 4

равен

7x

6

x 1 x2

3

1)

0;

2) ;

3) 1;

4)

.

5

2.

Предел lim

sin2 x

равен

x 0 x2

1)

0;

2) ;

3) 1;

4) 2.

3. Угол

наклона к

оси Ох

касательной

к графику функции

у=е/sin 3x+tg4x в точке х=0 равен:

1)

0 ;

2) 45 ;

3) 30 ;

4) 90 .

4. Производная 3 порядка от функции у=xlnx равна:

2) х2;

1

1) lnx;

3) xlnx;

4) 9

.

x2

5. Если z=ln(6x2+2y

y +2), то

z

в точке А(2,4) равна

y

1)

1

;

2) 7;

3) 6;

4) 0.

7

6.

Для

функции

z 2x3 4y2 6x2 y 7y 28

укажите верное

утверждение:

1)

z

6x2 ;

2)

z

12xy 6x2

;

x

x

3)

z

z

6x2

8y ;

4)

z

8y .

x

y

y

7. Найти область определения функции y

x

x2 3x 4

1)

( ; 1) ( 1; 4) (4; );

2) (0; );

3)

( ; );

4) ( ; 0) (0; ) .

8.

Предел lim

x2 5x 1

равен

3x 1

n

1)

1

;

2) 0 ;

3) ;

4) 5 .

3

1

9.

Найти точки разрыва функции y e

x 1

1) 1 ;

2) 0 ;

3)

1

;

4) функция непрерывна .

2

10. Найти y`, если y sin3 x

1) 3sin2 x cos x;

2) 3sin x cos x; 3)

3cos x; 4) sin x cos x .

Вариант 9

1.

Предел lim

3x 2x2 4 x3

равен

x 3x2 4x3 2x 1

1) 1;

2)

1

;

3) 2;

4)

1

.

2

4

2.

Найти множество значений функции f (x) x2 6x 5

1) ( ; ) ;

2)

4; ;

3) 0; ;

4) 4;4 .

3.

По параболе

y (8 x) x

движется точка так, что ее абсцисса

1) 8 м/с;

2) 9 м/с;

3) 1 м/с;

4) 3 м/с.

4. Для функции

z 4x 5y x2

2y2 4xy2

укажите верное утвер9

ждение:

1)

z

4y2 0 ;

2)

z

4y 5;

x

y

3)

z

4

2x 4y2 ;

4)

z

z

12x2

10y .

x

x

y

5. Точка минимума функции f x 2x3 15x2 36x равен…

1).93;

2) 92;

3) 0;

4) 36.

2

n

6. Предел lim 1

равен

n

n

1) 2;

2) е;

3) е2;

4) 1.

7. Производная функции y=xlnx в точке х=е равна:

1) 1;

2)

0;

3) 2;

4) –1.

8.

Частная производная функции z x3 sin y

по переменной х в

точке M 1;

равна:

2

1) 1;

2)

91;

3) 0;

4)

3.

9.

Градиент скалярного поля u xy2 z в точке M(1; 3; 2) имеет вид:

1)

0,0,1 ;

2)

18,12,9

;

3)

15,11,2 ;

4)

18,6,9 .

10. Точкой

локального

экстремума

функции

f (x) 3x2 2y2 12x 8y 7 является

1)

2; 2

;

2)

3;2 ;

3)

0;2 ;

4)

2;0 .

Вариант 10

1.

Функция y = 2sin2x отображает множество 0; / 2 на множество

1)

2;2 ;

2)

1;1 ;

3)

0;2 ;

4)

(0;1).

2.

Предел lim

3n2 2n 1

равен

n n3 2n2 1

1) 2;

2)

92;

3) 0;

4)

91.

3.

График какой функции на всем отрезке

а;b

одновременно

y

y

y

y

x

x

x

x

0 a

b

0 a

b

0 a

b

0 a

b

Рис.1

Рис.2

Рис.3

Рис.4

1) только 2;

2) 1 и 2;

3) все графики;

4) только 3.

1) 1;

2) 4;

3)

2

;

4)

4

.

3

3

5. Для

функции

z 7x4 3x2 y2 y3

8x 13

укажите верное

утверждение:

1)

z

28x3

;

2)

z

3y2

;

x

y

3)

z

6xy2

28x3 ;

4)

z

6x2 y 3y2 .

x

y

6. Минимум функции f x 2x3 15x2

36x равен …

1) 93;

2) 928;

3) 0;

4) 936.

7. Множеством значений функции y 2x является промежуток

1) ; 2 ;

2) ; ;

3) ; 0 ;

4) ; 0 .

8.

Предел lim

6n2

2

равен...

6

n 1 7n2

6

1)

;

2) ;

3) ;

4)

7

7

9.

Производная функции y cos3 2x равна

1)

3sin2 2x ;

2) 6cos2 2x sin 2x ;

3) 6cos2 2x sin 2x ;

4) 6sin2 2x .

всегда выполнимы на этом множестве:

1) умножение

2) сложение

3) сложение и

4) умножение и

и

и

умножение

вычитание

деление

вычитание

Задание 1.

4

Функция y 2x 4 отображает множество 3;

на множество…

1) 4;12 ;

2) 4;12 ;

3) 4;12 ;

4)

4;12 .

С учетом монотонного возрастания заданной функции на отрезке 3;

4 ,

тогда следует, что образом данного отрезка является отрезок 4;12 .

Ответ: 3) 4;12 .

Задание 2.

1

Число точек разрыва функции f (x)

равно:

x x 5 x 3

1) 2;

2) 3;

3) 4;

4) 0.

Решение.

Точками разрыва будут точки, в которых функция не существует,

то есть нули знаменателя.

x x 5 x 3

0 x 0

или x 5 ,

или x 3

Ответ: 2) 3.

Задание 3.

Предел lim

2n2 3n 4

равен

6 n2

n

1) – 2;

2) 2;

3) 0,8;

4) 1.

2n2

3n

4

3

4

2n2 3n 4

2

2 0

0

lim

lim

n2

n2

n2

lim

n

n2

2 .

n

6 n2

n

6

n2

n

6

1

0 1

n2

n2

n2

Задание 4.

Предел lim

x2

6x 8

равен

x2 4

x 2

1) 1;

2) ∞;

3) 92;

4) 90,5.

lim

x2 6x 8

lim

x 2 x 4

lim

x 4

2 4

2

0,5 .

x2 4

x 2 x 2

2 2

4

x 2

x 2

x 2 x 2

Ответ: 4)90,5.

Задание 5.

Графики каких из функций одновременно удовлетворяют трем

условиям: y 0,

y 0,

y 0на всем отрезке a; b ?

1) Все графики; 2) Только IV; 3) Только III и IV; 4) Только II.

I. y

II.

y

0

b

x

0

x

а

а

b

III.

IV.

y

y

0

x

0

x

а

а

b

b

1) 0;

2)

1

;

3)

1

;

4).

1

1.

x2

x

x

производную произведения:

1

y

x

ln x x ln x ln x x x ln x 1.

Производную второго порядка найдем как производную от

производной первого порядка:

1

ln x 1 ln x

1

y

x .

y

Ответ: 3)

1

.

x

Задание 7.

Если u ln

4x 3y

2

z

3

M 1;1;1 равна

, то uy в точке

1) 3 ;

2)0,5;

3) ln 2;

4) 0.

Решение.

Частная производная от функции u по переменной у

1

2

3

6y

4x 3y

z

.

uy

z3

y

4x 3y2 z3

4x 3y2

Значение этой производной в точке M 1;1;1

равно:

6 1

6

1;1;1

3 .

uy

1 3 12

13

2

4