1459
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
________________________________________
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет
архитектуры и строительства»
И.А.Гарькина, А.М.Данилов, А.Н.Круглова
МАТЕМАТИКА
Часть I. СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ И ТЕСТЫ ПО МОДУЛЯМ
Допущено УМО вузов РФ по образованию в области транспортных машин и транспортно9технологических
комплексов в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлениям подготовки бакалавров «Эксплуатация транспортных средств»
и «Эксплуатация транспортно9технологических машин и комплексов»
Пенза 2013
1
УДК 51 (07)
ББК 74.58:22.1я73 Г20
Рецензенты: кафедра высшей математики ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет» (зав. кафедрой доктор физико9 математических наук, профессор И.В. Бойков); доктор физико9математических
наук, профессор О.А. Голованов (Пензенский филиал военной академии материально9техниче9 ского обеспечения)
Гарькина И.А.
Г20 Математика. Часть I. Справочные материалы и тесты по модулям: учеб. пособие / И.А. Гарькина, А.М. Данилов, А.Н. Круг9 лова. – Пенза: ПГУАС, 2013. – 328 с.
ISBN 978 5 9282 0920 9 (Ч.1) ISBN 978 5 9282 0918 6
Предлагаемое пособие подготовлено в соответствии с «Федеральным госу9 дарственным образовательным стандартом высшего профессионального обра9 зования» по направлению подготовки 190600 –Эксплуатация транспортно9техно9 логических машин и комплексов; квалификация (степень) – бакалавр.
Первая часть пособия содержит контрольные задания в виде тестов по каждому модулю с решениями примерных вариантов и справочные теоретические материалы. Оно может использоваться при планировании, организации и про9 ведении рейтинговой оценки, текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации студентов по математике.
Пособие может полезным и для подготовки бакалавров по другим направ9 лениям в технических вузах.
|
© Пензенский государственный университет |
|
ISBN 978 5 9282 0920 9 (Ч.1) |
архитектуры и строительства, 2013 |
|
© Гарькина И.А., Данилов А.М., |
||
ISBN 978 5 9282 0918 6 |
||
Круглова А.Н., 2013 |
||
|
2
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемое пособие подготовлено по инициативе профессора Домке Э.Р. (зав.кафедрой «Организация и безопасность движения» ПГУАС) в соответствии с «Федеральным государственным образова9 тельным стандартом высшего профессионального образования» третьего поколения по направлению подготовки 190600 – Эксплуа9 тация транспортно9технологических машин и комплексов (квали9 фикация (степень) – бакалавр) и ориентировано на использование балльно9модульно9рейтинговой системы оценки качества освоения студентами основных образовательных программ.
При определении содержания пособия исходили из предпосылки, что общий курс математики является фундаментом математического образования и основой для успешного изучения общетеоретических и специальных дисциплин.
Пособие состоит из двух частей. Первая часть содержит контроль9 ные задания в виде тестов по каждому модулю с решениями пример9 ных вариантов и краткое (справочное) изложение теоретического материала. Вторая часть предназначается для итогового контроля усвоения студентами всего общего курса математики и может ис9 пользоваться при подготовке к он9лайн тестированию на федеральном уровне.
Пособие может быть полезным и для подготовки бакалавров по другим направлениям в технических вузах.
Авторы благодарны рецензентам: д. ф.9м. н., проф. О.А.Голованову (Пензенский филиал военной академии материально9технического обеспечения); д.ф.9м.н., проф. И.В.Бойкову (зав. кафедрой «Высшая и прикладная математика» ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет»); Первому заместителю председателя Учебно9методи9 ческого объединения Минобразования России по образованию в области транспортных машин и транспортно9технологических ком9 плексов, д.т.н., проф. В.В.Сильянову; Главному ученому секретарю международной ассоциации автомобильного и дорожного образования, профессору Ю.М.Ситникову, внимательно прочитавшим рукопись и сделавшим ряд ценных поправок.
3
ВВЕДЕНИЕ
Дисциплина «Математика» относится к математическому, есте9 ственнонаучному и общетехническому циклу (базовая часть) и яв9 ляется обязательной к изучению. Она должна вооружить бакалавра математическими знаниями, необходимыми для изучения ряда обще9 научных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, создать фундамент математического образования, необходимый для получения профессиональных компетенций бакалавра9строителя, воспитать математическую культуру и понимание роли математики в различных сферах профессиональной деятельности. Процесс изучения дисци9 плины направлен на формирование компетенций:
–владение культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке и выбору путей ее достижения (ОК91);
–умение логически верно, аргументировано и ясно строить устную
иписьменную речь (ОК92);
–использование основных законов естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применение методов математи9 ческого анализа и моделирования, теоретического и эксперимен9 тального исследования (ОК910);
–владение основными методами, способами и средствами получе9 ния, хранения, переработки информации, обладание навыками работы с компьютером как средством управления информацией (ОК912);
–умение проводить технико9экономический анализ, комплексно обосновывать принимаемые и реализуемые решения (ПК94);
–готовность к участию в составе коллектива исполнителей в разработке транспортно9технологических процессов, их элементов и технологической документации (ПК97);
–способность к участию в составе коллектива исполнителей в проведении испытаний транспортно9технологических процессов и их элементов (ПК99);
–умение выбирать материалы для применения при эксплуатации и ремонте транспортных машин и транспортно9технологических ком9 плексов различного назначения с учетом влияния внешних факторов и требований безопасной и эффективной эксплуатации и стоимости (ПК910).
4
Целью изучения дисциплины является знакомство бакалавров с местом и ролью математики в современном мире, мировой культуре и истории; формирование личности обучающихся, развитие их интел9 лекта и способностей к логическому и алгоритмическому мышлению; обучение основным математическим методам, необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений для осуществления научно9технического про9 гресса и выбора наилучших способов реализации этих решений, а также обучение методам обработки и анализа результатов экспери9 ментальных данных.
Задачи изучения дисциплины: формирование целостного представления об основных этапах становления современной математики и ее структуре, обучение приемам и принципам построе9 ния математических моделей, освоение математических подходов к решению профессиональных задач.
В результате изучения дисциплины студент должен:
–владеть знаниями основных алгебраических структур, векторных пространств, линейных отображений;
–аналитической геометрии, дифференциальной геометрии кривых поверхностей, элементов топологий;
–дискретной математики: логических исчислений, графов, комби9 наторики;
–основных понятий и методов математического анализа;
–теории вероятностей и математической статистики;
–обладать умениями: использовать математические методы и модели в технических приложениях.
Пособие позволяет в полной мере осуществить все виды организа9 ционно9методической работы по балльно9модульно9рейтинговой системе оценки качества освоения студентами программного мате9 риала по математике. Разбор задач и примеров по каждому из модулей, приводимых в пособии, систематическое тестирование по ним в течение всего курса, позволит студентам лучше подготовиться к итоговому контролю.
Авторы с благодарностью примут все замечания и пожелания по улучшению содержания книги.
5
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ ПО МОДУЛЯМ
Модуль 1
«Алгебраические структуры. Линейная алгебра и аналитическая геометрия»
Алгебраические структуры. Алгебраическая операция. Кольцо. Поле. Группы. Алгебра.
Определители второго и третьего порядка. Минор, алгебраическое дополнение. Разложение определителя по элементам строк и столбцов. Понятие определителя любого порядка (по индукции), его свойства и вычисление.
Системы линейных уравнений. Формулы Крамера. Системы ли9 нейных однородных уравнений, их нетривиальные решения. Линейные свойства решений систем линейных однородных уравнений
Матрицы, линейные операции над ними. Умножение матриц. Обратная матрица. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли. Матричная запись и решение систем линейных уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса, Жордана9Гаусса.
Векторы – отрезки, линейные операции над ними. Проекция вектора на ось. Размерность, базис. Координаты вектора как коэф9 фициенты его разложения по базису и как проекции на координатные оси. Направляющие косинусы.
Скалярное произведение векторов, его свойства, выражение в коор9 динатах, применение. Координаты вектора как скалярные произве9 дения вектора на координатные орты. Векторное и смешанное произве9 дения. Их свойства, выражения в координатах, применение.
Понятие системы координат. Координаты точки как ее анали9 тический эквивалент. Прямоугольная декартова система координат. Полярная, сферическая, цилиндрическая системы координат. Преобра9 зования координат.
Поверхность в пространстве, ее уравнение. Прямая в пространстве, ее уравнения. Параметрические уравнения линий.
Модуль 2
«Математический анализ. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных»
Множество. Операции над множеством. Функция. Область ее опре9 деления. Сложные и обратные функции. График функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики
Комплексные числа и действия над ними. Изображение комплекс9 ных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа.
6
Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера. Корни из комплексных чисел.
Предел последовательности. Предел функции. Бесконечно большие величины. Бесконечно малые величины. Сравнение бесконечно малых величин. Первый и второй замечательные пределы. Правила предель9 ного перехода. Неопределенности.
Непрерывные функции. Точки разрыва Производная функции. Геометрический смысл производной. Каса9
тельная и нормаль к линии. Дифференцирование функций. Правила дифференцирования. Производные сложной и обратной функций. Формулы дифференцирования основных элементарных функций.
Логарифмическое дифференцирование. Производные неявных функций. Параметрически заданные функции и их дифференциро9 вание. Дифференциал, геометрический смысл, свойства. Производные и дифференциалы высших порядков
Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.
Приращения функции. Предел функции. Непрерывность функции. Частные производные. Полный дифференциал и его связь с частными производными. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям.
Производные и дифференциалы высших порядков. Производная сложной функции.
Инвариантность формы полного дифференциала. Свойства дифференциала. Дифференциал высшего порядка. Дифференцирова9 ние неявной функции. Геометрические приложения дифференциаль9 ного исчисления функций двух переменных. Уравнения касательной плоскости, нормали.
Экстремум функции нескольких переменных. Производная по направлению. Градиент. Линии уровня. Задачи о наибольших и наи9 меньших значениях функции. Метод наименьших квадратов
Модуль 3
«Элементы теории функций комплексного переменного. Неопределенный и определенный интеграл. Кратные и криволинейные интегралы»
Элементы теории функций комплексного переменного. Первообразная, основные свойства. Неопределенный интеграл,
свойства. Таблица интегралов. Методы интегрирования. Непосред9 ственное интегрирование. Метод замены переменной (подстановки). Интегрирование по частям.
7
Интегрирование рациональных функций путем разложения на простейшие дроби. Интегрирование выражений, содержащих тригоно9 метрические функции. Универсальная тригонометрическая под9 становка.
Интегрирование дробно9линейной и квадратичной иррациональ9 ных выражений.
Определенный интеграл. Задачи, приводящие к понятию опреде9 ленного интеграла. Формула Ньютона9Лейбница. Вычисление опре9 деленного интеграла.
Приложения определенных интегралов.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Несобствен9 ные интегралы от разрывных функций. Признаки сходимости несоб9 ственных интегралов.
Задача об объеме цилиндрического тела. Двойной интеграл, тео9 рема существования, свойства. Теорема о среднем.
Вычисление двойных интегралов в декартовых и полярных координатах
Приложения двойных интегралов к задачам механики (масса, ста9 тические моменты, центр тяжести, моменты инерции плоской пластинки). Вычисление площади поверхности.
Масса неоднородного тела. Тройной интеграл. Вычисление трой9 ных интегралов (при задании области интегрирования в декартовых, цилиндрических и сферических координатах). Применение тройных интегралов (вычисление статических моментов, моментов инерции пространственных тел, координат центра тяжести).
Криволинейный интеграл по длине (первого рода), вычисление. Масса кривой. Криволинейный интеграл по координатам (второго рода), физический смысл, вычисление.
Условие независимости интеграла от линии интегрирования. Фор9 мула Грина. Интегрирование полных дифференциалов. Первообразная функция. Формула Ньютона9Лейбница для криволинейных интегра9 лов. Применение криволинейных интегралов второго рода (вычисле9 ние площади, вычисление работы в потенциальном силовом поле).
Модуль 4
«Обыкновенные дифференциальные уравнения. Числовые и степенные ряды. Ряды Фурье»
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифферен9 циальные уравнения первого и второго порядков. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения. Геометрическая интерпретация ДУ первого порядка. Интегрируемые типы дифферен9
8
циальных уравнений первого порядка. ДУ с разделенными переменны9 ми, с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Урав9 нения, приводящиеся к однородным. Линейные уравнения. Уравнения в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема суще9 ствования и единственности решения задачи Коши. ДУ, удовлетворяю9 щее краевым условиям. Некоторые типы ДУ, допускающих понижение порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоян9 ными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Уравнения второго порядка. Виды решений.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоян9 ными коэффициентами. Решения при некоторых видах правых частей. Осциллятор. Свободные и вынужденные колебания. Резонанс Систе9 мы дифференциальных уравнений первого порядка в нормальной форме. Общее решение. Частное решение. Фундаментальная система решений.
Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости.
Знакопеременные ряды, ряды с комплексными членами. Абсолют9 ная и условная сходимости. Признак Лейбница. Свойства абсолютно сходящихся рядов.
Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходи9 мость. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов: почленное дифференцирование и интегрирование. Степенные ряды. Теорема Абеля. Круг сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Приложение рядов.
Разложение функций по ортогональной системе функций. Фор9 мулы Фурье. Тригонометрические ортогональные системы функций и разложение функций по этим системам. Теорема о возможности разложения функции в ряд Фурье. Разложение в ряд четных и нечетных функций, функций с произвольным периодом и заданных на половине периода
Модуль 5
«Элементы дискретной математики. Логические исчисления. Графы»
Множество, операции над множествами, свойства. Высказывания. Логические операции: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импли9 кация, эквивалентность. Логическая функция. Таблицы истинности. Правила преобразования логических выражений.
9
Графы, его элементы. Ориентированные и смешанные графы. Цепь в графе. Связные и несвязные графы. Некоторые приложения к ре9 шению транспортных задач.
Модуль 6
«Теория вероятностей и математическая статистика»
Элементы комбинаторики. Классическая вероятность. Статистиче9 ская вероятность. Методы вычисления вероятностей. Схема Бернулли. Теоремы Пуассона и Муавра9Лапласа.
Дискретные случайные величины. Функция распределения, свойства. Математическое ожидание и дисперсия. Свойства.
Непрерывные случайные величины. Функция распределения. Плотность вероятностей. Их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и дисперсия. Нормальное распределение и его свойства. Закон больших чисел.
Статистическое описание результатов наблюдений. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма, эмпири9 ческая функция распределения, выборочная средняя и дисперсия.
Функциональная зависимость и регрессия. Кривые регрессии, их свойства. Коэффициент корреляции, корреляционное отношение, их свойства и оценки.
Понятие о критериях согласия. Проверка гипотез о равенстве долей и средних. Проверка гипотезы о значении параметров нормального распределения. Проверка гипотезы о виде распределения.
10