1450
.pdf
Напряженность терпит разрыв в точках х 0 и х l , причем Ех ,
если х 0 , и Ех |
, если х l . |
|
|
|
|
|
|
|||
График Ex x |
для прямой y 0 показан на рис. 1.13,б. |
|
||||||||
Для точек, лежащих на прямой |
DB , х l / 2 |
и выражения (1) и (2) |
||||||||
принимают такой вид: |
|
|
Q |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
20 l2 / 4 y2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Ех 0 Еy |
|
|
|
Qy |
|
|
|
||
|
2 0 (l2 / 4 y2 )32 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Очевидно, что 0 |
при всех |
|
значениях |
y , знак |
проекции Eу |
|||||
определяется знаком ординаты y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При y 2l / 4 3,5 |
см производная dЕy / dy 0 и, |
следовательно, |
||||||||
Eу имеет экстремальные значения. Соответственно, для y |
это будут точки |
|||||||||
перегиба. Примерныеграфики y |
и Ey y показанынарис. 1.14а, б. |
|||||||||
|
Ответ: B 18 В; |
ЕB 180 В/м; |
C 17 В; ЕC 280 В/м; |
|||||||
Пример 6. В вакууме имеется скопление зарядов в форме длинного цилиндра радиуса R0 2 см (рис. 1.15). Объемная плотность зарядов
постоянна и равна 2 мкКл/м3. Определите напряженность поля в точках 1 и 2, лежащих на расстояниях r1 1 см, и r2 3 см от оси цилиндра, и разность
потенциаловмеждуэтимиточками. Постройтеграфики Er (r) и (r) .
Дано: |
|
|
|
Решение |
||
R0 2 см |
Поле |
создано |
зарядом, равномерно распреде- |
|||
2 мкКл/м3 |
ленным по объему. |
Конфигурация зарядов позволяет |
||||
r1 1 см |
считать, |
что поле |
обладает |
осевой симметрией: |
||
силовые |
линии – |
прямые и |
в любой плоскости, |
|||
r2 3 см |
||||||
перпендикулярной оси цилиндра, радиальны. (Оче- |
||||||
E ?, ? |
||||||
видно, что |
вблизи |
концов цилиндра и при очень |
||||
|
больших r |
силовые линии не будут радиальны.) |
||||
Предполагаемая симметрия позволяет искать напряженность поля с помощью теоремы Гаусса. Вспомогательной поверхности следует придать форму цилиндрической поверхности, коаксиальной заряду. Длина этого цилиндра может быть произвольной, но заведомо много меньше, чем длина заряженного цилиндра, в противном случае предположение о плоскорадиальной структуре поля несправедливо.
41
Разность потенциалов можно найти, используя выражение напряженности поля как функции координат:
2 |
2 |
|
1 2 Еdl Еzdr . |
(1) |
|
1 |
1 |
|
Очевидно, что разность потенциалов двух заданных точек не зависит от выбора начала отсчета потенциала. Однако по условию задачи требуется еще построить график зависимости (r) . Для этого надо предварительно выбрать на-
Рис. 1.15 |
чало отсчета потенциала. Из приведенных выше |
|
соображений о симметрии поля ясно, что оно не |
может находиться в бесконечности.
По-видимому, характер функциональной зависимости E r для точек,
лежащих внутри и вне объемного заряда, различен. Поэтому следует провести две вспомогательные цилиндрические поверхности S1 и S2 с
радиусами r1 R0 и r2 R0 . Для каждой поверхности теорема Гаусса может быть записана в виде
s1.2 |
Eds |
Q |
(2) |
0 |
Боковая поверхность вспомогательного цилиндра и его торцы находятся заведомо в разных условиях относительно силовых линий поля,
причем во всех точках торцов угол между векторами E и dS равен / 2 и поток вектора напряженности сквозь торцовые поверхности равен нулю. На боковых поверхностях S1,2,бок нормаль совпадает с направлением
радиус-вектора, поэтому и
s1.2 Eds s1.2бок Er dS .
Все точки боковой поверхности находятся в одинаковых условиях относительно заряда, что позволяет считать Er постоянной величиной.
Тогда
|
Еr dS Еr |
|
dS Еr 2rh , |
(3) |
S1.2бок |
|
S1.2бок |
|
|
где r и h радиус и высота вспомогательной поверхности.
Сумма зарядов, охваченных вспомогательной поверхностью, стоящая в правой части выражения (2), зависит от радиуса вспомогательной поверхности.
42
При r R0
Q r2h . |
(4) |
(Следует обратить внимание, что r это расстояние от оси цилиндра до точки, в которой отыскивается напряженность поля и одновременно радиус вспомогательной поверхности S1 .)
Подставляя выражение (4) в (2) и заменяя интеграл по замкнутой поверхности S1 правой частью равенства (3), получаем
Е 2 rh r2h / |
Е r / (2 |
0 |
) . |
(5) |
|
r |
0 |
r |
|
|
|
При r R0 Q R02h .
Подставляя это выражение в (2) и заменяя интеграл по замкнутой поверхности S2 правой частью равенства (3), получаем
Еr 2 rh R02h / 0 ,
откуда
Е R2h / (2 |
r) . |
(6) |
||
r |
0 |
0 |
|
|
Подставляя в (5) r r1 и в (6) r r2 , находим:
E1 1,1 103 В/м; Е2 1,5 103 В/м.
Для определения разности потенциалов между точками 1 и 2 по равенству (1) интеграл следует разбить на два: в пределах от точки 1 до поверхности, ограничивающей объемный заряд, и от этой поверхности до точки 2:
2 |
R0 |
2 |
Еr dr Еr dr Еr dr . |
||
1 |
1 |
R0 |
В первый интеграл следует подставлять выражение (5), во второй – выражение (6):
|
|
|
R0 |
|
|
|
|
R |
2 |
|
r |
2 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
2 |
dr |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 2 |
|
|
|
rdr R0 |
|
|
|
|
0 |
|
1 |
R0 ln |
2 |
|
35 В. |
||
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
2 0 r |
r |
|
2 0 |
|
|
R0 |
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для построения графика Er r на основании выражений (5) и (6) целесообразно сначала рассчитать Er при r R0 :
Е(R0 ) R0 / (2 0 ) 2,3 103 В/м.
Расчет по формулам (5) и (6) дает один и тот же результат, так как напряженность на этой поверхности не терпит разрыва.
43
|
Графическая зависимость Er r показана на рис. |
|
|
||
|
1.16. |
|
|
График зависимости r можно |
построить из |
|
анализа графика Er r учитывая, что |
Еr d / dr . |
|
Начало отсчета потенциала можно выбрать в любой |
|
Рис. 1.16 |
точке области, где справедливы выражения (4) и (5). |
|
|
Выберем начало отсчета на оси объемного заряда: |
|
(0) 0. Так как во всей области Er |
>0, т.е. (d / dr) 0 , то потенциал не- |
||||||||
прерывно убывает. |
В области |
r < R0 |
величина |
Er |
возрастает |
||||
[(dE / dr) 0] , соответственно (d 2 / dr2 ) 0 |
и график (r) |
обращен во- |
|||||||
r |
r > R0 |
величина Er убывает |
|
|
|
||||
гнутостью вниз. При |
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||||
dE / dr) 0] , соответственно |
(d 2 / dr2 ) 0 |
и |
гра- |
|
|
|
|||
r |
|
|
|
r R0 |
|
|
|
||
фик (r) обращен вогнутостью вверх. При |
|
|
|
||||||
кривая r имеет точку перегиба (вторая произ- |
|
|
|
||||||
водная изменяет знак). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
График r изображен на рис. 1.17. Если изме- |
|
|
|
||||||
нить начало отсчета потенциала, то характер гра- |
|
|
|
||||||
фика не изменяется, например, при выборе начала |
|
|
|
||||||
отсчета на поверхности объемного заряда [ (R0 ) 0] |
|
Рис. 1.17 |
|||||||
график примет вид, изображенный на рис. 1.17 |
|
|
|||||||
пунктиром. |
|
E 1,1 103 В/м; Е |
|
1,5 103 |
|
|
|||
|
Ответ: |
2 |
В/м; 35 В. |
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Средний уровень
1. Электрический потенциал – это …
1) величина, характеризующая магнитные свойства поля;
2) энергетическая характеристика электростатического поля;
3) силовая характеристика электростатического поля; 4) скалярнаявеличина, численноравнаякинетическойэнергииэлектрона.
2. В некоторой точке поля, созданного точечным зарядом, потенциал равен 4 В. Расстояние между точкой и зарядом уменьшили в 2 раза, при
этом потенциал стал равным… |
3) 2 В; |
4) 1 В. |
|
1) 8 В; |
2) 16 В; |
||
44
3. Электрическое поле образовано двумя
разноименными |
|
одинаковыми по |
|
величине |
|||||
зарядами |
q1 q |
|
и q2 q . Определите потен- |
||||||
циал в точке A поля. |
|
1 |
q ; |
||||||
1) 0 ; |
|
2) |
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
4 0 a |
|||
3) |
1 q |
; |
4) |
1 |
q . |
||||
|
|
|
|||||||
2 0 a |
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 0 a |
||||
4. |
Электрический заряд q на расстоянии r от точечного электриче- |
||||||||
ского |
заряда Q |
|
обладает потенциальной энергией W . Какой потенци- |
||||||
альной энергией будет обладать электрический заряд 3q на расстоянии r
от заряда Q ? |
|
|
|
1) 3W ; |
2) 9W ; |
3) 1 / 9W ; |
4) 1 / 3W . |
5. Поле создано точечным зарядом q . Укажи- |
|
||
те направление градиента потенциала в точке A . |
|
||
1) 1; 2) 2 ; 3) 3 ; |
4) 4 . |
|
|
6. Поле создано равномерно заряженной сферической поверхностью с точечным зарядом q . Укажите направление градиента
потенциала в точке A . |
|
|
1) 1; |
2) 2 ; 3) 3 ; |
4) 4 . |
7. Поле создано бесконечной равномерно заряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда . Укажите направление градиента потенциала в точке A .
1) 1; 2) 2 ; 3) 3 ; 4) 4 .
45
8. Электростатическое поле создано системой точечных зарядов q , q и q . В каком
направлении ориентирован градиент потенциала поля в точке A (см. рисунок)?
9. Каждый из четырех одинаковых по модулю точечных зарядов (см. рисунок), расположенных в вершинах квадрата, создает в точке пересечения диагоналей электрическое поле, напряженность которого равна E .
Градиент потенциала поля в этой точке равен _______и направлен горизонтально…
1) 4E , влево;
10. На рисунке показаны эквипотенциальные линии системы зарядов и значения потенциала на них.
Вектор напряженности электрического поля в точке A ориентирован в направлении…
1) 1; |
2) 2 ; |
3) 3 ; |
4) 4 . |
11. На рисунке изображены силовые линии электростатического поля. Укажите верное соотношение для потенциала поля в точках A , B и C .
1)A < B < C ;
2)A = B > C ;
3)A = B = C ;
4)A = B < C ;
5)A > B > C .
46
12. Двапроводниказаряженыдопотенциалов 34 Ви 16 В. Заряд 100 нКл нужно перенести со второго проводника на первый. При этом необходимо
совершить работу (в мкДж), равную … |
|
||
1) 5 мкДж; |
2) 18 мкДж; |
3) 18 мкДж; |
4) 5 мкДж/ |
13. В электрическом поле плоского конденсатора перемещается заряд q в направлении, указанном
стрелкой.
Тогда работа сил поля на участке AB …
1)отрицательна;
2)положительна;
3)равна нулю.
14. В электрическом поле плоского конденсатора перемещается заряд q в направлении, указанном
стрелкой.
Тогда работа сил поля на участке AB …
1)отрицательна;
2)положительна;
3)равна нулю.
15. В электрическом поле плоского конденсатора перемещается заряд q в направлении, указанном
стрелкой.
Тогда работа сил поля на участке AB …
1)отрицательна;
2)положительна;
3)равна нулю.
+ –
А
В
+ –
АВ
16.Относительно статических электрических полей справедливы утверждения….
1) Электростатическоеполесовершаетработунадпереносимымзарядом.
2) Электростатическое поле является вихревым.
3) Силовые линии поля разомкнуты.
4) Работа поля по перемещению заряда по замкнутому контуру не равна нулю.
17.Относительно статических электрических полей справедливы утверждения…
1) Электростатическое поле является потенциальным.
2) Поток вектора напряженности электростатического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность всегда равен нулю.
47
3)Электростатическое поле действует как на неподвижные, так и на движущиеся электрические заряды.
4)Силовые линии поля замкнуты.
18. Электростатическое поле создается бесконечной плоскостью, равномерно заряженной с поверхностной плотностью 1 нКл/м2. Определите разность потенциалов между двумя точками этого поля, лежащими на расстоянии x1 20 см и x2 50 см от плоскости.
1) 16,9 В; 2) 23,6 В; 3) 9 В; 4) 7,2 В.
19. Работа сил электрического поля при перемещении заряда –2 мкКл из точки поля с потенциалом 20 В в точку с потенциалом 40 В равна…
1) 40 10-6 Дж; |
2) 40 Дж; |
3) 40 10-6 Дж; |
4) 40 Дж. |
20. Поле создано точечным зарядом q . Пробный |
|
||
заряд перемещают из точки A в точку B по двум раз-
личнымтраекториям. Вернымявляетсяутверждение...
1)наибольшая работа совершается при движении по траектории 2;
2)работа в обоих случаях одинакова и равна
нулю;
3)работа в обоих случаях одинакова и не равна нулю;
4)наибольшая работа совершается при движении по траектории 1.
21. Поле создано точечным зарядом q . Пробный
заряд перемещают из точки A в точку B по двум различнымтраекториям. Вернымявляетсяутверждение...
1)наибольшая работа совершается при движении по траектории 2;
2)работа в обоих случаях одинакова и равна нулю;
3)работа в обоих случаях одинакова и не равна
нулю;
4)наибольшая работа совершается при движении по траектории 1.
22. В электрическом поле точечного заряда +q (см. рисунок) из точки А в точки В, С, D и Е перемещают заряд q0. Для работы по перемещению заряда q0 (q0 <0) в поле заряда q справедливо соотношение…
1)AAB = AAC = AAD = AAE = 0;
2)AAB = AAE > AAC = AAD ,
3)AAB = AAE < AAC = AAD ,
48
4)AAB > AAE > AAC > AAD ;
5)AAB < AAE < AAC < AAD .
23. На рисунке показаны эквипотенциальные поверхности электростатического поля. Вектор напряженности поля имеет направление ...
1) 1; |
2) |
2 ; |
3) 3 ; |
4) |
4 . |
24. Протон перемещаясь между двумя эквипотенциальными поверхностями. Если φ1 > φ2, то протон будет двигаться в направлении...
1) 1; |
2) |
2 ; |
3) 3 ; |
4) |
4 . |
Достаточный уровень
1. Какую работу надо совершить, чтобы заряды 1 и 2 нКл, находящиеся в воздухе на расстоянии 0,5 м, сблизить до 0,1 м?
Ответ: A 1,4 10 7 Дж.
2. Электрическое поле образовано двумя параллельными пластинами, находящимися на расстоянии 2 см друг от друга. Разность потенциалов между ними 120 В. Какую скорость получит электрон под действием поля, пройдя по силовой линии в 3 мм?
Ответ: 2,5 106 м/c.
3. Заряженная частица, пройдя ускоряющую разность потенциалов
6 105 В, приобрела скорость 5400 км/с. Определите массу частицы, если ее
заряд равен 2e.
Ответ: m 1,3 10 26 кг.
4. Какая работа совершается при перенесении точечного заряда
2 10 8 Кл из бесконечности в точку, находящуюся на расстоянии 1 см от поверхности шара радиусом 1см с поверхностной плотностью заряда
10 9 Кл/см2?
Ответ: A 113 мкДж.
49
5. На расстоянии r1 4 см от бесконечно длинной заряженной нити
находится точечный заряд q 0,6 10 9 Кл. Под действием поля заряд перемещается до расстояния r2 2 см. При этом совершается работа
A 5 10 6 Дж. Найдите линейную плотность заряда нити. Ответ: 3,7 мкКл/м.
6. Определите линейную плотность бесконечно длинной заряженной нити, если работа сил поля, создаваемого этой нитью, по перемещению заряда q 1 нКл с расстояния r1 10 см до расстояния r2 5 см в на-
правлении, перпендикулярном нити, равна 0,1 мДж. Ответ: 8 10 6 Кл/м.
7. Электрическое поле образовано положительно заряженной беско-
нечной нитью, линейная плотность заряда которой 2 10 9 Кл/см. Какую скорость получит электрон под действием поля, приблизившись к нити с расстояния в 1см до расстояния 0,5см от нити?
Ответ: 296 107 м/с.
8. Около заряженной бесконечно протяженной плоскости находится точечный заряд q 0,6 10 9 Кл. Под действием поля заряд перемещается по силовой линии на расстояние 2 см. При этом совершается работа
A 5 10 6 Дж. Найдите поверхностную плотность заряда на плоскости. Ответ: 6,7 мкКл/м2.
9. В плоском горизонтально расположенном конденсаторе, расстояние между пластинами которого d 1 см, находится заряженная капелька
массой m 5 10 11 г. При отсутствии электрического поля капелька вследствие сопротивления воздуха падает с некоторой постоянной скоростью. Если к пластинам конденсатора приложена разность потенциалов U 600 В, то капелька падает вдвое медленнее. Найдите заряд капельки.
Ответ: q 4,1 10 18 Кл.
10. Заряд 1 нКл притянулся к бесконечной плоскости с поверхностной плотностью заряда 0,2 мкКл/м2. На каком расстоянии от плоскости
находился заряд, если работа сил поля по его перемещению равна 1 мкДж?
Ответ: r 8,85 10 2 м.
50