Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1408

.pdf
Скачиваний:
0
Добавлен:
16.06.2024
Размер:
1.71 Mб
Скачать

Wион 6,62 10

34

8

 

7

 

1

 

1

 

 

18

 

 

3 10

1,097 10

 

 

 

 

 

 

 

Дж 2,18

10

 

Дж.

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

W

 

2,18 10 18

 

к

 

2,18 10 18

1.

W

 

 

ион

 

 

 

Ответ: Wк Wион .

Пример 5. Вычислите, пользуясь теорией Бора, длины волн, соответствующие четырем основным видимым линиям серии Бальмера.

Решение Кулоновская сила притяжения электрона к ядру, удерживающая

электрон на круговой орбите,

 

 

 

 

 

 

 

 

m

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

r

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где n – главное квантовое число, me – масса электрона.

 

 

 

 

 

С другой стороны, согласно первому постулату Бора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m r

n

 

h

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e n n

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где h – постоянная Планка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и rn , получим:

Решая систему уравнений (1) и (2) относительно n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e2

 

 

 

и r

 

n2h2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

nh

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

m e2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Потенциальная энергия электрона:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

e2

 

 

 

 

 

1 e2 e2m

 

 

 

m e4

 

 

W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

e

.

 

 

4

 

 

r

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

2n2h2

п

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0

n2h2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

Кинетическая энергия электрона

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

2

 

 

 

 

 

 

 

m e4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m e4

 

 

 

 

 

 

W

 

 

e

n

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

к

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2 4 02n2h2

 

 

 

 

8 02n2h2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Полная механическая энергия электрона

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

4

 

W W W

 

 

mee

4

 

 

 

 

 

 

mee

 

 

mee

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

полн

п

 

к

 

 

 

 

 

4 02n2h2

 

 

 

 

 

8 02n2h2

 

 

 

 

8 02n2h2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

(2)

Обращаем внимание на отрицательный знак, стоящий перед выражением полной энергии. Следовательно, полная энергия электрона в атоме растет с возрастанием значений главного квантового числа n и обращается в нуль при n .

81

При переходе электрона с более удаленной орбиты с главным квантовым числом m на орбиту, расположенную ближе к ядру, которой соответствует главное квантовое число n , выделяется квант энергии

h W

m

W

n

 

 

 

 

m e4

 

 

 

 

 

 

 

 

m e4

 

 

 

 

m e4

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

2

 

2

 

2

полн

полн

 

 

8 0

 

h

 

 

 

 

 

2

2

h

 

 

h

 

 

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

 

 

 

 

8 0

 

n

 

 

 

 

8 0

 

n

 

 

 

 

 

Выразим частоту через длину волны

и преобразуем выражение,

стоящее в скобках:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h

c

 

 

 

m e4

 

 

m2 n2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

8 02h2

 

n2m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из уравнения (3) выразим длину волны:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

hc8 02h2n2m2

 

 

 

8 02ch3n2m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

mee4 m2

n2

mee4 m2

n2

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя в формулу (4) числовые значения величин, вычислим длины волн для четырех основных видимых линий серии Бальмера.

Для линии H : 9,13

36

10 8 м 6570 10 10 м.

 

 

5

 

Для линии H :

9,13

16

10 8 м 4870 10 10 м.

 

 

3

 

Для линии H :

9,13

100 10 8 м 4340 10 10 м.

 

 

21

Для линии H : 9,13 9 10 8 м 4101 10 10 м.

2

Ответ: 6570 10 10 м; 4870 10 10 м;4340 10 10 м; 4101 10 10 м.

Задачи для самостоятельного решения

Средний уровень 1. Укажите верные соотношения.

1) E1 < E2 < E3 <…< En , где Ek полная энергия электрона в атоме на k-й

орбите, k 1, 2, …, n ;

2)L1 : L2 : L3 = 1:2:3, где Ln mVnrn ;

3)r1 : r2 : r3 = 1:2:3, где r радиус боровской орбиты;

4)L1 : L2 : L3 = 3:2:1.

82

2. Чему равна частота спектральной линии, соответствующей переходу электрона с n-й орбиты на k-ю?

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1)

R

 

 

 

 

 

 

;

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

2

n

2

 

 

 

2

n

2

 

k

 

 

 

 

 

 

 

R k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

3)

R

 

 

 

 

 

 

 

;

4)

Rc

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

2

 

k

2

 

 

2

 

 

n

2

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.В каком случае происходит излучение спектральной линии в видимой области спектра атома водорода?

1) при переходе электрона со второго энергетического уровня на первый;

2) при переходе электрона с третьего энергетического уровня на первый;

3) при переходе электрона со второго энергетического уровня на третий;

4) при переходе электрона с пятого энергетического уровня на второй.

4.Каким переходам электрона в атоме водорода соответствуют спектральные линии в ультрафиолетовой области спектра?

1) при переходе с четвертой орбиты на первую;

2) при переходе с третьей орбиты на вторую;

3) при переходе с третьей орбиты на первую;

4) при переходе с пятой орбиты на третью.

5.Каким переходам электрона в атоме водорода соответствуют спектральные линии в инфракрасной области спектра?

1) при переходе с четвертого уровня на третий;

2) при переходе с третьего уровня на второй;

3) при переходе с четвертого уровня на первый;

4) при переходе с пятого уровня на третий.

6.В каком случае происходит поглощение света атомом водорода?

1)при переходе электрона со второго энергетического уровня на первый;

2)при переходе электрона со второго энергетического уровня на третий;

3)при переходе электрона с пятого энергетического уровня на третий;

4)при переходе электрона с первого энергетического уровня на второй.

83

7. На рисунке изображена схема энергетических уровней атома водорода. Показаны состояния с различными значениями орбитального квантового числа. Какие переходы дают серию Бальмера?

1)np 1s ( n 2, 3, 4…);

2)np 3d ( n 4, 5, 6…);

3)nf 3d ( n 4, 5, 6…);

4)nd 2 p ( n 3, 4, 5…);

5)np 2s ( n 3, 4, 5…);

6)0 ( n 3, 4, 5…).

8. На рисунке изображены стационарные орбиты атома водорода согласно модели Бора, а также переходы электрона с одной стационарной орбиты на другую, сопровождающиеся излучением кванта энергии. Какой переход соответствует наибольшей частоте кванта в серии Лаймана?

1) n 2 n 1;

2) n 5 n 3;

3) n 3 n 2 ;

4) n 5 n 1.

9. На рисунке изображены стационарные орбиты атома водорода согласно модели Бора, а также переходы электрона с одной стационарной орбиты на другую, сопровождающиеся излучением кванта энергии. Какой переход соответствует наибольшей частоте кванта в серии Пашена?

1) n 4 n 3 ;

2) n 5 n 3;

3) n 5 n 2 ;

4) n 5 n 1.

10. На рисунке дана схема энергетических уровней атома водорода, а также условно изображены переходы электрона с одного уровня на другой, сопровождающиеся излучением кванта энергии. Чему равно отношение максимальной частоты линии серии Пашена к минимальной частоте линии серии Бальмера?

Ответ: 4 / 5 .

84

11. На рисунке дана схема энергетических уровней атома водорода, а также условно изображены переходы электрона с одного уровня на другой, сопровождающиеся излучением кванта энергии. Чему равна наибольшая длина волны спектральной линии серии Лаймана?

Ответ: max 122 нм.

12. Определите длину волны света, испускаемого атомом водорода при его переходе из стационарного состояния с энергией E3 1,5 эВ в

состояние с энергией E2 3,37 эВ. Ответ: 665 нм.

13.Сколько линий спектра атома водорода попадает в видимую область ( 0,40–0,76 мкм)? Вычислите длины волн этих линий. Каким цветам они соответствуют?

14.При переходе электрона в водородоподобном атоме с одной из возможных орбит на другую, более близкую к ядру, энергия атома уменьшается на 1,892 эВ. Определите длину волны излучения.

Ответ: 657 нм.

Достаточный уровень

1.Пользуясь представлениями модели Резерфорда-Бора, выведите формулу для радиусов допустимых электронных орбит в атоме водорода. Вычислите эти радиусы для трех первых электронных орбит.

Ответ: r1 53 пм; r2 212 пм; r3 477 пм.

2.Пользуясь представлениями модели Резерфорда-Бора, выведите формулу для скорости движения электрона по орбите в атоме водорода. Вычислите эту скорость для трех первых электронных орбит.

Ответ: 1 2,9 106 м/с; 2 1,1 106 м/с; 3 7,3 105 м/с.

3. Найдите кинетическую Wк , потенциальную Wп и полную W энергии электрона на первой боровской орбите.

Ответ:Wк me4 / 8 02h2k2 13,6 эВ,Wп 2Wк 27,2эВ;

W Wк Wп 13,6эВ.

85

4. Найдите период T обращения электрона на первой боровской орбите атома водорода и его угловую скорость .

Ответ: T 1,43 10 16 с; 4,4 10 16 рад/с.

5. Найдите наибольшую длину волны max в ультрафиолетовой области спектра водорода. Какую наименьшую скорость min должны иметь

электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами электронов появилась эта линия?

Ответ: max 121 нм, min 1,90 106 м/с.

6.Атом водорода переведен из основного состояния в возбужденное состояние, характеризуемое главным квантовым числом n 2. Определите энергию W возбуждения атома.

Ответ: W 10,2 эВ.

7.Какую работу A необходимо совершить, чтобы удалить электрон с орбиты атома водорода с главным квантовым числом n 2 за пределы притяжения его ядром?

Ответ: A 3,42 эВ.

8.При переходе электрона в атоме водорода с одной орбиты на другую

излучаются фотоны, соответствующие длине волны 0,652 мкм

(красная линия водородного спектра). Какую энергию W теряет при этом атом водорода?

Ответ: W 2,0 эВ.

9. На какое минимальное расстояние приблизится -частица с кинетической энергией Wк 0,40 МэВ (при лобовом соударении):

а) к покоящемуся тяжелому ядру атома свинца;

б) к первоначально покоившемуся легкому свободному ядру 7 Li ?

Ответ: а) rmin 0,59 пм; б) rmin 0,034 пм.

10. В классической электродинамике показывается, что электрон, движу-

щийся с ускорением a , излучает в единицу времени энергию E

2

 

e2a2

 

 

 

.

3

c3

 

 

 

4 0

Оцените на основе классических представлений «время жизни» атома, считая, что полное ускорение электрона совпадает с центростремительным. Начальный

радиусорбитыэлектронапринятьравным10 10 м. Ответ: 10 10 с.

86

11. Радиус первой орбиты в атоме водорода r1 5,3 10 11 м. Опре-

делите напряженность E электрического поля ядра на этом расстоянии и кинетическую энергию Eк электрона на этой орбите.

Ответ: E 5,1 1011 В/м; Eк 2,17 10 18 Дж.

12. Какие спектральные линии появятся при возбуждении атомарного водорода электронами с энергией W 12,1 эВ?

Ответ: 103 нм; 660 нм; 122 нм.

13.Определите число N спектральных линий, присутствующих в спектре атомарного водорода, атомы которого при возбуждении перешли из основного состояния на n-й энергетический уровень.

Ответ: N n(n 1) / 2 .

14.Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной волны 121,5 нм. Определите радиус орбиты возбужденного

атома водорода. Радиус орбиты атома водорода, находящегося в основном состоянии, r1 5,3 10 11 м.

Ответ: r 2,12 10 10 м.

15. Определите, во сколько раз увеличится радиус орбиты электрона у атома водорода, находящегося в основном состоянии, при возбуждении его квантом с энергией 12,09эВ.

Ответ: в 9 раз.

16. Атомарный водород находится при давлении p 10 2 мм рт.ст. и

температуре T 300 . Определите значение полной энергии электрона в атоме, при котором радиус его орбиты равен половине среднего расстояния между центрами атомов в данных условиях.

Ответ: Eп 1,58 10 21Дж 9,85 10 3 эВ.

17. Альфа-частица с кинетической энергией Eк 0,5 МэВ рассеялась

под углом 90 в кулоновском поле неподвижного ядра атома ртути. Найдите:

а) наименьший радиус кривизны её траектории; б) минимальное расстояние, на которое она сблизилась с ядром. Ответ: а) rmin 0,29 пм; б) rmin 0,56 пм.

87

18. Узкий пучок -частиц с кинетической энергией 1,0 МэВ падает нормально на платиновую фольгу толщиной 1,0 мкм. Наблюдение

рассеянных частиц ведется под углом 60 к направлению падающего пучка при помощи счетчика с круглым входным отверстием площади 1,0см-2 , которое расположено на расстоянии 10 см от рассеивающего участка фольги. Какая доля рассеянных -частиц падает на отверстие счетчика?

Ответ: 3,3 10 5 .

19. Узкий пучок -частиц падает нормально на серебряную фольгу. За ней установлен счетчик, регистрирующий частицы, рассеянные в соответствии с формулой Резерфорда. При замене серебряной фольги на платиновую той же массовой толщины число регистрируемых в единицу времени -частиц возросло в 1,52 раза. Найдите порядковый номер

платины, считая, что порядковый номер серебра и атомные веса обоих элементов известны.

Ответ: ZPt ZAg

APt /AAg 78 .

20.Найдите первый потенциал возбуждения U1 атома водорода. Ответ:U1 10,2 В.

21.Вычислите согласно модели Томсона радиус атома водорода и длину волны испускаемого им света, если известно, что энергия ионизации атома E 13,6 эВ.

Ответ: r 3e2 /2E 0,16нм; 2 с/e mr3 0,24мкм.

22. Вычислите для атома водорода и иона He :

а) радиус первой боровской орбиты и скорость электрона в ней; б) кинетическую энергию и энергию связи электрона в основном

состоянии;

в) потенциал ионизации, первый потенциал возбуждения и длину

волны резонансной линии n' 2 n 1 .

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

r1,пм

,106 м/c

T ,эВ

Eсв,эВ

Ui , В

U1, В

,нм

H

52,9

2,18

13,6

13,6

13,6

10,2

121,5

He

26,5

4,36

54,5

54,5

54,5

40,8

30,4

88

23. Длины волн головной линии серии Лаймана и границы серии Бальмера в спектре атомарного водорода соответственно равны

1 1215 10 10 м и 2 3650 10 10 м. Известны значения скорости света и

постоянной Планка. Вычислите на основании этих данных энергию ионизации атома водорода.

Ответ: E 13,6 эВ.

24. Какую наименьшую энергию Wmin должны иметь электроны, чтобы

при возбуждении атомов водорода ударами электронов спектр водорода имел три спектральные линии? Найдите длины волн этих линий.

Ответ: Wmin 12,1эВ, 1 121нм, 2 103нм, 3 656нм.

25. На дифракционную решетку нормально падает пучок света от разрядной трубки, наполненной атомарным водородом. Постоянная решетки d 5 мкм. Какому переходу электрона соответствует спектральная линия,

наблюдаемая при помощи этой решетки в спектре пятого порядка под углом 41 ?

Ответ: с n 3 на k 2 .

26. В спектре атомарного водорода известны длины волн трех линий: 97,26 ; 102,58 и 121,57нм. Найдите длины волн других линий в данном

спектре, которые можно предсказать с помощью этих трех линий.

Ответ: 1,88мкм; 0,657мкм; 0,487мкм.

27. Какому элементу принадлежит водородоподобный спектр, длины волн линий которого в четыре раза короче, чем у атомарного водорода?

Ответ: He .

28. Найдите квантовое число n , соответствующее возбужденному

состоянию иона He , если при переходе в основное состояние этот ион испустил последовательно два фотона с длинами волн 108,5 и 30,4нм.

Ответ: n 5 .

29. Вычислите постоянную Ридберга, если известно, что для ионов

He разность длин волн между головными линиями серий Бальмера и Лаймана 133,7нм.

Ответ: R 88/15 /Z 2 1,097 105 см-1 .

89

30. Энергия связи электрона в атоме He равна E0 24,6 эВ. Найдите

энергию, необходимую для удаления обоих электронов из этого атома. Ответ: E E0 4hR 79 эВ.

31. Покоящийся ион He испустил фотон, соответствующий головной линии серии Лаймана. Этот фотон вырвал фотоэлектрон из покоящегося атома водорода, который находился в основном состоянии. Найдите скорость фотоэлектрона.

Ответ: 3,1 106 м/с.

32. Атомарный водород, возбуждаемый некоторым монохроматическим источником света, испускает только три спектральных линии. Определите квантовое число энергетического уровня, на который переходят возбужденные атомы, а также длины волн испускаемых линий.

Ответ: 1 1026 10 10 м; 2 6570 10 10 м; 3 1215 10 10 м.

33. Возбужденный атом водорода при переходе в основное состояние испустил последовательно два кванта с длинами волн 40510 10 10 м и

972,5 10 10 м. Определите энергию первоначального состояния данного

атома и соответствующее ему квантовое число.

Ответ: E 0,545 эВ; n 5 .

34.Модули энергии атома водорода в основном и первом возбужденном состоянии различаются в 4 раза, а в основном и втором возбужденном состоянии – в 9 раз. Найдите отношение частот линий спектра поглощения атома водорода, соответствующих переходам с основного на первый и с основного на второй возбужденный уровень.

Ответ: 3 / 8 .

35.Квант света с энергией 15 эВ выбивает фотоэлектрон из атома

водорода, находящегося в нормальном состоянии. С какой скоростью будет двигаться электрон вдали от ядра?

Ответ: 7 105 м/с.

36. Как показывают расчеты, некоторые весьма далекие галактики удаляются от Земли со скоростью 60500 км/с. Определите длину волны в спектрах этих галактик, соответствующую головной линии Лаймана для однократно ионизированного гелия.

Ответ: 365 10 10 м.

90

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]