1408

Решение этого трансцендентного уравнения численным методом дает значение х 4,965.

Следовательно,

hc 4,965,

kT max

откуда

T max 4,965hc k b1 2,898·10 3 м·K,

mах bT1 ,

где b1 – первая постоянная Вина.

Таким образом, функция Me0, достигает максимума при длине волны,

обратно пропорциональной термодинамической температуре абсолютно чёрного тела.

Эта зависимость была установлена в 1893 г. немецким физиком Вильгельмом Вином (1864–1928 гг.) на основе законов классической термодинамики и электромагнитной теории света. Её называют первым законом (или законом смещения) Вина, подчёркивая тем самым, что с ростом температуры максимум спектральной плотности энергетической светимости сдвигается в сторону меньших длин волн (больших частот).

Из первого закона Вина следует, что при низких температурах излучаются преимущественно длинные (инфракрасные) электромагнитные волны. По мере же возрастания температуры увеличивается доля излучения, приходящаяся на видимую область спектра, и тело начинает светиться. С дальнейшим ростом температуры яркость свечения увеличивается, а цвет изменяется. Поэтому цвет излучения может служить характеристикой температуры излучения. Примерная зависимость цвета свечения тела от его температуры приведена в табл. 1.1.

Таблица 1.1

11

Подставив формулу mах bT1 в выражение для спектральной

плотности энергетической светимости абсолютно черного тела, Вин показал, что максимальное значение функции Me0, пропорционально пятой

степени термодинамической температуры тела. Это утверждение носит название второго закона Вина. Он был получен в 1896 году.

Математическое выражение второго закона Вина имеет вид

Me0, (max) b2T 5 ,

где b2 – вторая постоянная Вина (b2 1,29 ·105 м3ВтК5 ).

В 1911 г. Вильгельм Вин был удостоен Нобелевской премии по физике за работы по тепловому излучению.

Энергетическую светимость абсолютно чёрного тела можно найти из выражения спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела простым интегрированием по длине волны

Энергетическая светимость абсолютно чёрного тела пропорциональна четвёртой степени его термодинамической температуры.

Это положение носит название закона Стефана – Больцмана по имени австрийских физиков Йозефа Стефана (1835–1893 гг.) и Людвига Больцмана (1844–1906 гг.).

постоянной Стефана – Больцмана.

Абсолютно чёрное тело является идеализацией реальных тел. Реальные тела испускают излучение, спектр которого не описывается формулой Планка. Их энергетическая светимость, кроме температуры, зависит от природы тела и состояния его поверхности. Эти факторы можно учесть, если в формулу закона Стефана – Больцмана ввести коэффициент kT , по-

казывающий, во сколько раз энергетическая светимость абсолютно чёр-

12

Примеры решения задач

Пример 1. Какую мощность излучает Солнце? Излучение Солнца считать близким к излучению абсолютно черного тела. Температура поверхности Солнца 5800 K, его радиус 6,95·105 км.

13

Площадь поверхности Солнца

S 4 R2 ,

тогда

Фе T 4 4 R2 .

Фе 4 3,14 (6,95 108 )2 5,67 10 8 58004 3,9 1026 Вт.

Ответ: Фе 3,9 1026 Вт.

Пример 2. Мощность излучения абсолютно черного тела 34 кВт, а площадь его поверхности 0,6 м2. Определите температуру этого тела.

Ответ: T 1000 K.

Пример 3. Мощность излучения абсолютно черного тела 10 кВт. Найдите площадь излучающей поверхности, если максимум спектральной плотностиегоэнергетическойсветимостиприходитсянадлинуволны700 нм.

14

Выразим площадь излучающей поверхности

Ответ: S 6 10 4 м2

Пример 4. При нагревании абсолютно черного тела длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергетической светимости, изменилась с 690 до 500 нм. Во сколько раз увеличилась при

Энергетическая светимость абсолютно черного тела

Me T 4 . (3)

Подставив выражение (2) в (3), получим:

Энергетическая светимость тела при температуре T1 равна

15

Me2 690 10 9 4 3,63 .

Me1 500 10 9

Ответ: Me2 3,63.

Me1

Пример 5. Определите, в какой части солнечного спектра спектральная плотность энергетической светимости имеет максимальное значение. Как велико это значение? Температура поверхности Солнца 6000 .

Величину максимальной плотности энергетической светимости найдем, подставив в формулу Планка полученное значение max :

Пример 6. Определите длину волны, соответствующую максимуму энергии излучения лампы накаливания. Нить накала имеет длину l 15 см и диаметр d 0,03 мм. Мощность, потребляемая лампой, P 10 Вт. Нить

лампы излучает как серое тело с коэффициентом поглощения 0,3 .

16

(20 % потребляемой энергии передается другим телам вследствие теплопроводности и конвекции).

Температуру нити найдем из закона Стефана – Больцмана:

T 4 0,8P

dl

Подставив выражение для температуры тела в формулу первого закона Вина, получим

max 4 dl .

0,8P

max 4 0,3 5,67 10 8 3,14 3 10 5 0,15 1,2 10 6 М. 0,8 10

Ответ: max 1,2 10 6 м.

Задачи для самостоятельного решения

Средний уровень 1. Как согласно формуле Рэлея – Джинса изменяется спектральная

плотность энергии в спектре излучения абсолютно черного тела с увеличением частоты?

1) неограниченно возрастает;

17

2)убывает пропорционально T1 ;

3)возрастает пропорционально T 2 ;

4)стремится к нулю;

5)возрастает пропорционально T 4 .

2. Как , согласно формуле Планка изменяется спектральная плотность энергии в спектре излучения абсолютно черного тела с увеличением частоты?

1)неограниченно возрастает;

2)убывает пропорционально T1 ;

3)возрастает пропорционально T 2 ;

4)стремится к нулю;

5)возрастает пропорционально T 4 .

3. Как изменяется энергетическая светимость абсолютно черного тела с увеличением температуры?

1)неограниченно возрастает;

2)убывает пропорционально T1 ;

3)возрастает пропорционально T 2 ;

4)стремится к нулю;

5)возрастает пропорционально T 4 .

4. Как изменяется длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, с увеличением температуры?

1)неограниченно возрастает;

2)убывает пропорционально T1 ;

3)возрастает пропорционально T 2 ;

4)стремится к нулю;

5)возрастает пропорционально T 4 .

5.Абсолютно черное тело и серое тело имеют одинаковую температуру. Что можно сказать об интенсивности излучения этих тел?

1) одинакова у обоих тел;

2) больше у абсолютно черного тела;

3) равна нулю у абсолютно черного тела;

4) больше у серого тела.

6.По мере нагревания тела его свечение изменяется следующим образом. При комнатной температуре свечение в видимой области спектра

18

не наблюдается. По мере повышения температуры тело начинает светиться малиновым светом, переходящим в красный цвет («красное каление»), а затем в белый («белое каление»). Чем объясняются закономерности изменения цвета свечения тела при его нагревании?

1)законом смещения Вина;

2)законами смещения Вина и Стефана – Больцмана;

3)законом Кирхгофа;

4)законом Стефана – Больцмана.

7.Тело нагрето до 4000 K. В какой области излучения находится максимум спектральной плотности энергетической светимости?

1) в видимой области излучения;

2) в инфракрасной области излучения;

3) в ультрафиолетовой области излучения;

4) в области рентгеновского излучения.

8.Укажите правильные утверждения.

1)при понижении температуры тела максимум спектральной плотности энергетической светимости смещается в область длинных волн;

2)частота, на которую приходится максимум излучения, прямо пропорциональна абсолютной температуре тела;

3)полная лучеиспускательная способность абсолютно черного тела

пропорциональна T 4 ;

4) полная лучеиспускательная способность абсолютно черного тела прямо пропорциональна его термодинамической температуре.

9. Выберите верное утверждение.

1)графики не должны пересекать начало координат;

2)максимум графиков при повышении температуры должен смещаться в сторону более длинных волн;

3)площадь фигуры, расположенной под графиком, соответствует энергетической светимости тела;

4)длина волны, на которую приходится максимум спектральной плотности, пропорциональна температуре;

5)при более высоких температурах максимальная спектральная плот-

ность энергетической светимости возрастает пропорционально T 5 , но площадь под соответствующим графиком остается постоянной.

19

10. На каком рисунке верно представлено распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела в зависимости от частоты излучения для температур T1 и T2 (T1 >T2 )?

11. На каком рисунке верно представлено распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела в зависимости от частоты

12.На рисунке показаны кривые зависимости спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела от длины волны при разных температурах. Кривая 2 соответствует спектру излучения абсолютно черного тела при температуре 1500 K. Какой температуре (в K) соответствует кривая 1?

13.На рисунке представлены графики зависимости спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела от длины волны при различных температурах. Какой график соответствует наименьшей температуре?

20