1271

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

E (m ) ak (m )ek (m ) ;

(m ) ; 1, 2, ... ,6;

m 1, 2, ... . (2.69)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

1.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

ных волн виртуальных каналов Флоке автономного блока на комбинационных частотах:

Ek (m )	ek (m ) ekz (m ) exp i k (m ) z ;
Hk (m )	hk (m ) hkz (m ) exp i k (m ) z ;	(2.68)

	k 1, 2, ..., ; 1, 2, ...,6; m 1, 2,...,
где ek (m ) ,	hk (m ) – поперечные электрические и магнитные компо-

ненты собственных волн; ekz (m ) , hkz (m ) – продольные электрические и магнитные компоненты собственных волн; k (m ) – постоянные распространения собственных волн; m – комбинационные частоты.

Поперечные электрические и магнитные компоненты собственных волн каналов Флоке образуют полную систему ортогональных функций

ek ( ) (m ),hk ( ) (m ) [1]. Любое поперечное электромагнитное поле на

входных сечениях S автономного блока разлагается по этим системам в ортогональные ряды Фурье:

На каждом входном сечении S автономного блока касательное электромагнитное поле можно представить также и в виде суперпозиции прямых и обратных волн каналов Флоке [1]:


E (m ) (сk ( ) (m ) ck ( ) (m )) ek ( ) (m );
H	k 1	(2.70)
		(2.70)

	(m ) (ck ( ) (m ) ck ( ) (m )) hk ( ) (m );

k1`

1, 2, ... ,6; m 1, 2, ... ,

где ck (m ), ck (m ) – амплитуды падающих и Из рядов Фурье (2.69) (2.70) и нормировки

		0,
	ek (m ) hn (m ) dS
S		1,

отраженных волн.

k n, k n,

следуют следующие интегральные выражения:

ak ( ) (m ) (E (m ) hk ( ) (m )) dS ;

(2.71)

(2.72)

(E (m

bk ( ) (m ) (ek ( ) (m ) H (m )) dS ;	(2.73)
S
) hk ( ) (m )) dS (ek ( ) (m ) H (m )) dS 2ck ( ) (m ) ;	(2.74)
S
) hk ( ) (m )) dS (ek ( ) (m ) H (m )) dS 2ck ( ) (m ) .	(2.75)
S

Интегральные выражения (2.72), (2.73), (2.74), (2.75) являются краевыми условиями на гранях автономного блока. В электродинамике эти краевые условия называются условиями неасимптотического излучения [4-5].

Краевая задача электродинамики для автономного блока с магнитными наночастицами и диэлектрическими наносферами (рис.2.3) формулируется следующим образом. Электромагнитное поле в области V (диэлектрические наносферы) автономного блока должно удовлетворять уравнениям Максвелла (2.67), в области V0 V (магнитные наночастицы) – системе

уравнений электродинамики (2.66), на гранях автономного блока (входные сечения S ) одному из условий неасимптотического излучения (2.72)-

(2.75).

Замкнутое аналитическое решение сформулированной краевой задачи для автономного блока не существует. Для решения этой краевой задачи будем использовать проекционный метод [52]. В качестве базисных

функций Еk (m) , Hk (m) , где k – номер базисной функции, m – номер

комбинационной частоты, используем системы собственных функций прямоугольного резонатора с однородно-периодическими краевыми условиями на его гранях. Собственные частоты k и собственные функции

Еk , Hk резонатора определяются из решения следующей краевой за-

дачи для уравнений Максвелла:
rot H	i E			;
k	k	0	k		,	в области V0 ,
rot E	i			H	,
k	k	0		k

Ek Ek Ek

(S1) Ek (S2 ) Ek (S3 ) Ek

(S4 ), Hk (S5 ), Hk

(S6 ), Hk

(S1) Hk (S4 ); (S2 ) Hk (S5 ); (S2 ) Hk (S6 ).

на гранях,

(2.76)

(2.77)

где v, – относительная диэлектрическая и магнитная проницаемости среды диэлектрических наносфер. Геометрические размеры прямоуголь-

ного резонатора (область V0 ) совпадают с геометрическими размерами

автономного блока (рис. 2.5).

Методика решения краевой задачи (2.76), (2.77) предложена в [62]. Используя эту методику, решим краевую задачу и запишем собственные функции прямоугольного резонатора.

Е – функции (поля):

1 2 m 2 p

2 m

2 n

2 p

Ek Nk

exp

1 2 n 2 p

2 m

2 n

2 p

exp

Nk exp

2 m

2 n

2 p

(2.78)

k ;

k 0 2 n

2 m

2 n

2 p

Hk Nk

exp i

k 0

2 m

2 n

2 p

exp i

где i , j,k

– единичные орты прямоугольной декартовой системы коор-

2 m

2 n 2

динат,

, Nk

abc

2 m 2

2 n 2

2 p 2 ,

mnp

0 0

m 0, 1, 2, ...;

n 0, 1, 2, ...;

p 0, 1, 2, ... .

Н – функции (поля):

1 2 m 2 p

2 m

2 n

2 p

M k

exp i

1 2 n 2 p

2 m

2 n

2 p

M k

exp

M k

exp

2 m

2 n

2 p

(2.79)

k ;

k 0 2 n

2 m

2 n

2 p

M k

exp i

M k

k 0

2 m

2 n

2 p

exp i

2 m 2

2 n 2

M k

где

0 k

abc

2 m 2

2 n 2

2 p 2

0 0

mnp

m 0, 1, 2, ...; n 0, 1, 2, ...;	p 0, 1, 2, ... .
Собственные функции резонатора (2.78), (2.79) ортогональны и
нормированы [62]:
0 Hk Hn dV 0 Ek Hn dV kn.		(2.80)
V0	V0

Запишем для системы уравнений электродинамики (2.66) проекционную интегральную форму (для этого используются уравнения Максвелла

(2.76), тождество brot a a rotb rot (a b) и формула Остроградского –

Гаусса):
(E( m ) Hk (m) ) dS			i	m M ( m ) Hk (m) dV
S				V0		E( m ) Ek (m) dV;
i m 0 H( m ) Hk (m) dV i k 0						E( m ) Ek (m) dV;
	V0				V0
(H (m ) Ek (m) ) dS i m 0 (m ) E(m ) Ek (m) dV
S				V0
i k 0	H (m ) Hk (m) dV;
	V0
F(m ) Ek (m)		dV i k 0		M	(m )	Hk (m) dV		0;
V0				V0	F(m ) Ek (m) dV 0;
q 1 Hq (m ) Hk (m) dV i k 0					F(m ) Ek (m) dV 0;
V0					V0
( r i m ) M ( m ) Hk (m) dV						(M0	H ( m )) Hk (m)
	V0				V0
(M0	Hq ( m )) Hk (m) dV (M ( m ) H0 ) Hk (m)dV
V0					V0
						ij
r 0 H ( m ) Hk (m)			dV			ij	(M ( i ) (H ( j
V0				i j		V0

где S S1 S2 ... S6.

(2.81)

) Hq ( j )) Hk (m) dV ,

Разработаем методику численного определения дескриптора автономного блока, связывающего коэффициенты ak ( ) ( m ) с коэффициентами

bk ( ) (m ) рядов Фурье (2.69) (линейный аналог – матрица проводимости).

Решение краевой задачи ищем в виде рядов Фурье по системам функций
Еn(m) ,	Hn(m) (собственные функции прямоугольного резонатора),

el ( m ) , hl ( m ) (собственные функции каналов Флоке). В области V0 автономного блока (рис. 2.3):


E(m ) an (m ) En(m) ;
H	n 1

	(m ) bn (m ) Hn(m) ;
	n 1

M (m ) dn (m ) Hn(m) ;		(2.82)

	n 1

	Hq (m ) gn (m ) Hn(m) ;
	n 1

	F(m ) fn (m ) En(m).
	n 1
На гранях автономного блока:

E (m ) al( ) (m ) el( ) (m );
	l 1	(2.83)
H	(m ) bl( ) (m ) hl( ) (m ).	(2.83)

l 1`

Подставляя (2.83), (2.284) в (2.81) и (2.83) в (2.72) и (2.73), учитывая при этом (2.67) и нормировки (2.71), (2.80) получаем следующую систему алгебраических уравнений:

6	L	N
Mk (m)l ( ) bl ( ) (m ) (i m v kn i m 0 ((m ) v ) Ak (m) n(m) )
1	l 1	n 1			b
	a	( ) i		kn	b	( ) 0;
	n	m	k	kn	n	m

N
i k kn an ( m ) (i m v kn i m 0 (1 v )
n 1	6	L
	6	L
Bk (m) n(m) )bn ( m ) i m Bk (m) n(m) dn ( m ) Nk (m)l ( ) al ( )
	1 l 1
N
i k 0	Bk (m) n(m) dn (m ) Ak (m) n(m)	fn (m ) 0;
n 1
N
q 1 Bk (m) n(m) gn (m ) i k 0 Ak (m) n(m)		fn (m ) 0;

n 1

( m );

(2.84)

( Xk (m) n(m) r 0 Bk (m) n(m) )bn ( m ) n 1

( Yk (m) n(m) ( r i m ) Bk (m) n(m) )dn ( m ) Xk (m) n(m) gn ( m ) Jk (m) ( m );

M M	N N
Jk (m) (m ) ij Wk (m) p(i) r ( j) dp (i ) (br (j ) gr (j ));
i 1 j 1	p 1 r 1

aq( ) ( m ) Uq( ) n(m) an ( m ) Rq( ) n(m) bn ( m ) bq( ) ( m ); n 1

1,2,...6; q,k 1,2,... N; m 1, 2,... M ,

где N – количество учтенных членов в рядах Фурье (2.82); L – количество учтенных членов в рядах Фурье (2.83); M – количество учтенных комбинационных частот (2.66);

Mk (m) n(m) (hl ( ) (m ) Ek (m) ) dS ; Nk (m) n(m) (el ( ) (m ) Hk (m) ) dS ;

	S	S
Ak (m) n(m)	(En(m) Ek (m) ) dV ;	Bk (m) n(m) (Hn(m) Hk (m) )dV ;
	V0 V	V0 V
Xk (m) n(m)	(M0 Hn(m) ) Hk (m) )dV; Yk (m) n(m) (Hn(m) H0 ) Hk (m) )dV ;
	V0 V	V0 V
Uq( )n(m) (En(m) hq( ) (m )) dS ; Rq( ) n(m) ((eq( ) (m ) Hn(m) ) dS ;
S		S
	Wk (m) p(i) r ( j )	(H p(i) Hr ( j) ) Hk (m) ) dV .	(2.85)

V0 V

Система алгебраических уравнений (2.84), (2.85) (проекционная модель автономного блока) являются нелинейными относительно коэффициентов dp (i ), br (j ), gr (j ) , входящих в функцию Jk (m) (m ) . Для решения нели-

нейной системы алгебраических уравнений используем итерационный метод и метод Ньютона [71].

В итерационном методе на каждой итерации функция Jk (m) ( m ) определяется следующим образом:

				M	M		N N
		Jkим(m) (m ) ij Wk (m) p(i) r( j) dp0 (i ) (br0 (j ) gr0 (j )) ,
				i 1 j 1			p 1 r 1
где	d0	( ), b0	(	), g0 (		)	значения коэффициентов, полученных на преды-
	p	i r	j	r	j

дущей итерации.

Jk (m)

В методе Ньютона на каждой итерации функция Jk (m) ( m ) определяется как:

M M

Jkмн(m) (m ) ij Wk (m) p(i)r( j) (dp0 (i ) (br0 (j ) gr0 (j ))

i 1 j 1

p 1 r 1

( ) b (

) (b0

(

) g0

(

)) d

( ) d0

( ) g

(

)),

i r j

p i

i r

где dp0 ( i ), br0 ( j ), gr0 ( j ) значения коэффициентов, полученных на предыдущей итерации.

2.6. Дескрипторы автономных блоков

Рассмотрим линейные режимы функционирования автономного блока в виде прямоугольного параллелепипеда с магнитным наночастицами, диэлектрическими наносферами и виртуальными каналами Флоке на гранях. Линейные режимы характерны для малых напряженностей электрического и магнитного полей внутри объема параллелепипеда. Эти режимы описываются многоканальными и многомодовыми матрицами проводимости, сопротивления и рассеяния. При значении функции

( m ) 0 в (2.84) система нелинейных алгебраических уравнений (2.84)

становится линейной. В этом случае комбинационные частоты отсутствуют m . Система линейных алгебраических уравнений имеет вид

следующий вид:

6 L	N
Mk l ( ) bl ( ) (i v kn i 0 ( v ) Ak n )an i k kn bn 0;
1 l 1	n 1
			6	L
i k kn an (i v kn i 0 (1 v )Bk n )bn i m Bk n dn			Nk l( ) al( );
n 1			1	l 1
N
i k 0 Bkn dn Ak n		fn 0;
n 1
N
q 1 Bk n gn i k 0		Ak n fn 0;		(2.86)
n 1
N
( Xk n r 0 Bk n )bn (Yk n (r i) Bk n )dn Xk n gn 0;
n 1
N
aq( ) Uq( ) n an Rq( ) n bn bq( ) ;
n 1
1,2,...6;	q,k 1,2,... N ,

где

Mk n (hl ( ) Ek ) dS ; Nk n (el ( ) Hk ) dS ;

	S			S
Ak n	(En Ek ) dV ; Bk n			(Hn Hk ) dV ;
V0 V				V0 V

X k n		(M 0	Hn ) Hk ) dV ; Yk n		(Hn H0 ) Hk ) dV ;
	V0 V				V0 V
Uq( )n (En hq( ) ) dS ; Rq( ) n ((eq( ) Hn ) dS .
	S			S

Запишем систему линейных уравнений (2.86) в матричном виде:

M	(11)	a M	(12)			M	(16)		b 0;
					b
M	(21)	a M	(22)					(23)	d M	(27)	a;
					b M
M(33)		d M(35)			f 0;
M(44) g M(45)					f 0;
M	(52)			(53)	d M			(54)	g 0;
		b M
M	(61)	a M	(62)
					b I b I a,

(2.87)

(2.88)

где I – единичная матрица. Элементы матриц M(11) , M(12) , M(16) , M(21) ,

M(22) , M(23) , M(27) , M(33) , M(35) , M(44) , M(45) , M(52) , M(53) , M(61) , M(62)

определяются следующим образом:

M (11)

(

) A

;

M (12)

; M (16)

k l ( )

;

k n

kl ( )

M(21)

; M

(22)

; M

(23)

i B

;

k n

M(27)

kl( )

; M (33)

;

M (35)

; M

(44)

q 1 B

;

kl( )

k n

M (45)

; M (52) X

k n

;

k n

0 k n

M (53)

(

i) B

;

(54)

k n

; M

(61)

q( ) n

;

k n

q( )n

M (62)

q( )n

q( ) n

a, b, d, g, f, a, b являются

Компонентами

векторов

коэффициенты

рядов Фурье (2.82) и (2.83) соответственно равны an , bn ,

dn , gn ,

fn , al ( ) , bl ( ) .

Исключая векторы a, b, d, g, f из системы линейных алгебраических уравнений (2.88) имеем:

	b (S			21	S 1			S			I) 1			(S		21	S 1		S	I) a ,		(2.89)
				21	11				12							21	11		1
где
	M(11)				M(12)				0			0			0					M(16)
			(21)		M	(22)			M	(23)		0			0						0
	M				M				M			0			0						0
S		0			0				M(33)			0		M(35)				; S			0	;
11																			12
11																			12
		0			0				0			M(44) M(45)								0
							(52)				(53)		(54)								0
		0			M		(52)		M		(53)	M	(54)		0						0
		0			M				M			M			0

		S21 M(61) M(62)						0	0	0 .
Из (2.89) следует матрица проводимости автономного блока :
Y (S	21	S 1	S		I) 1 (S	21	S 1		S	I).	(2.90)
	21	11	12			21		11	1
Матрица сопротивления и рассеяния могут быть получены из (2.90)
(используются формулы пересчета матриц, приведенные в п.2.2):
				Z Y 1 ;							(2.91)
	R I Y 1 I Y .										(2.92)

Выводы

По результатам второй главы можно сделать следующие выводы.

1.Анализ структур магнитных нанокомпозитов на основе опаловых

матриц из наносфер SiO2 для разработки методики построения математических моделей магнитных наноматериалов показывает, что в уравнении Ландау – Лившица необходимо учитывать эффективное поле обменного взаимодействия.

2.Предложенный декомпозиционный подход построения математических моделей магнитных нанокомпозитов на основе автономных блоков

ввиде прямоугольных параллелепипедов с магнитными наночастицами, диэлектрическими наносферами и виртуальными каналами Флоке на гранях блока, позволяет решать трехмерные задачи дифракции для магнитных нанокомпозитов.

3.Полученные аналитические выражения для собственных волн каналов Флоке автономного блока и поперечные компоненты собственных волн позволяют строить проекционные модели автономного блока.

4.Получена полная система уравнений электродинамики, адекватно описывающая физические явления электромагнетизма, протекающие в магнитных нанокомпозитах на основе опаловых матриц. Система уравнений электродинамики состоит из уравнений Максвелла и уравнения движения намагниченности в форме Ландау – Лифшица с учетом эффективного поля обменного взаимодействия. Математические модели магнитных нанокомпозитов на основе опаловых матриц, построенные на основе совместного решения уравнений Максвелла и уравнений Ландау-Лифшица

сучетом эффективного поля обменного взаимодействия, получены впервые и являются новыми.

5.Нестационарные нелинейные уравнения полной системы электродинамики для магнитных нанокомпозитов преобразованы в стационарные нелинейные уравнения на комбинационных частотах.

6.Сформулирована краевая задача дифракции для автономного блока в виде прямоугольного параллелепипеда с магнитными наночастицами, диэлектрическими наносферами и виртуальными каналами Флоке на гранях. В области магнитных наночастиц электромагнитное поле и намагниченность удовлетворяют уравнениям Максвелла и уравнению Ландау – Лифшица с учетом эффективного поля обменного взаимодействия. На гранях прямоугольного параллелепипеда электромагнитное поле удовлетворяет условиям неасимптотического излучения.

7.Разработана методика численного решения краевой задачи дифракции для автономного блока в виде прямоугольного параллелепипеда с магнитными наночастицами, диэлектрическими наносферами и виртуальными каналами Флоке на гранях. Путем интегрирования по частям уравнений Максвелла и уравнения Ландау – Лифшица получена проекционная форма, из которой определена система нелинейных алгебраических уравнений для математического описания автономного блока.

8.Разработана методика определения математических описаний (дескрипторов) для автономного блока в виде многомодовых многоканальных матриц проводимости, сопротивления и рассеяния из линеаризированной системы нелинейных алгебраических уравнений.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.20241.46 Mб01267.pdf
#
16.06.20241.46 Mб01268.pdf
#
16.06.20241.46 Mб01269.pdf
#
16.06.2024200.25 Кб0127.pdf
#
16.06.20241.46 Mб01270.pdf
#
16.06.20241.46 Mб11271.pdf
#
16.06.20241.46 Mб01272.pdf
#
16.06.20241.46 Mб11273.pdf
#
16.06.20241.47 Mб01274.pdf
#
16.06.20241.47 Mб01275.pdf
#
16.06.20241.47 Mб01276.pdf