Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1219

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 268 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

в	у	г
	у
	3

Мнимый эллипс

д	е
у	у

О(0; 1)

0	М(0; –1)	х
–1

Рис. 2 (окончание)

Задача 5. Изобразить линию, заданную уравнением

x 2 y2 2 2ax 3	(а 0).
Р е ш е н и е . Введем полярные	координаты по формулам
x cos , y sin , будем иметь

4 cos2 sin2 2 2a 3 cos3 ,

4 2a 3 cos3 ,

2a cos3 ,

так как 0, то cos3 0 , т.е. cos 0 , т.е. 2 ; 2 .

Функция cos –			четная,			поэтому				построим ее график при
		, используя таблицу
0;		, используя таблицу
	2
			0
			0		6		4		3			2
					6		4		3			2
			2а	3	3	a	2	a	1		a	а
										2
					4		2			2

и отобразим его относительно оси х. Получим линию, изображенную на рис. 3.

у



0			2а х

Рис. 3

Задача 6. Найти указанные пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

1) Найти lim 4x 3 3x 2 1 . x 2 3x 3 3x 1

Точка x = 2 принадлежит области определения функции. Воспользуемся тем, что для всех основных элементарных функций

в любой точке их области определения имеет место равенство


lim f x f lim x :
x x0		x x0

lim

x 2

4x 3 3x 2 1	4 8 3 4 1			43	.

3x 2 3x 1	3	4	3 2 1	7

Найти lim

3x 2 2

6 4x 5

x 2x

В данном случае имеем неопределенность

. В подобного рода

при x экви

примерах пользуются утверждением: многочлен

валентен своему старшему члену

lim

x6 3x 2

lim

x 6

4x 5

x 2x 6

Найти lim

2x 2 3x 2

3x 2

x 2 x 2

При подстановке предельного значения аргумента получим неопре деленность 00 , которая разрешается сокращением дроби на разность x – 2.

Для чего квадратные трехчлены, стоящие в числителе и в знаменателе, разложим по формуле

ax 2 bx c a x x1 x x2 ,

где x1 и x2 – корни квадратного трехчлена:

3x 2

2 x 2 x

2x 1

lim

x 2 x 2 3x 2

x 2

x 2 x 1

2 2 1 5. 2 1

4) Найти lim

3x 2 10x 3

x 2 9

Предел находится аналогично предыдущему:

10x 3

3 x 3 x

3x 1

lim

x 2 9

3 x 3

x 3

x 3 x

x 3

3 3 1

3 3

5) Найти lim

4 3x

Здесь также имеем неопределенность 00 . Чтобы ее раскрыть, умножим

числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю

4 3x

. После этого можно сократить дробь на x:

lim

4 3x

lim

4 3x 4 3x

x 0

x 0 7x

lim

x 0 7x

4 3x 4

x 0 7 4 3x 4 3x

6) Найти lim

x 2

x 4

2x 1 3

Неопределенность

разрешается умножением числителя и знаме

нателя дроби на произведение выражений x 2 2x 1 3 , одно из

которых сопряженное числителю, другое – знаменателю. После этого сократим дробь на двучлен (x – 4):

lim

x 2

lim

x 4 2x

1 3

2x 1 2 9

x 2

x 4

2x 1 3

x 4

lim

x 4

2x 1 3

1 lim

2x 1 3

x 2

x 4

2 x 4

x 2

2 x 4

2 4 1 3

3 .

4 2

7) Найти lim

1 cos4x

x 0

x sin2x

Используем формулу 2sin2 x 1 cos2x , а затем – эквивалентность величин sin2x ~ 2x при x 0 :

lim	1 cos4x	lim	2sin2 2x	lim 2x 2	4.
	x sin2x
x 0		x 0 2x 2		x 0 x 2

8) Найти lim x sin5x ctg2 2x .

x 0

Заменим эквивалентные			величины		sin5x ~ 5x		и tg2x ~ 2x
при x 0 :
lim x sin5x ctg2 2x lim				x sin5x	lim	5x 2	5	.
lim x sin5x ctg2 2x lim					lim	2x 2		.
x 0			x 0 tg2 2x		x 0	2x 2	4
9) lim 3x 5	x
		.
	x 2	.
x 2

Сделаем предварительно замену переменной. Обозначим y x 2;

y 0	при x 2 . Тогда
	lim 3x 5		x	lim 3 y 2 5				y 2

								y
		x 2						y
	x 2			y 0
	lim				2	1 e3 2	e6 .


			3y 1 y
	y 0

Приведем и другой способ вычисления. А именно, при вычислении пределов выражений вида uv, где u x 1 и v x при данном

предельном переходе, удобно пользоваться формулой lim uv elim v ln u .

Так как в данном случае u 3x 5

и v

при

x 2 , то,

x 2

пользуясь последней формулой, получим:

lim 3x 5

lim

ln 3x 5

lim

y 2 ln 3y 1

2 x 2

ey 0

x 2

lim

y 2

lim

3 y 2

e6.

ey 0

10) lim x 3 ln x 5 ln x 2 .

Запишем разность логарифмов как логарифм частного и, выделив целую часть дроби, заменим эквивалентные величины:

~ при 0 .

ln 1

Откуда

lim

x 3 ln x 5 ln x 3

lim x

lim

x 3 ln 1

lim x 3

x 3

Задача 7. Дана функция f x 153 x и два значения аргумента

x1 = 3 и x2 = 1. Требуется: 1)найти предел функции при приближении к каждому из заданных значений слева и справа; 2) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из заданных значений x; 3) сделать чертеж.

Решение

Функция f x 153 x в точке x = 3 неопределена. Найдем в этой

точке левый и правый односторонние пределы.

lim 153 x 15 ;

x 3 o

x 3 3 x 0

1		15	1
lim 15	3 x			0.
			15
x 3 o

x 3 3 x 0

В точке x1 = 3 функция терпит бесконечный разрыв.

	1		1
В точке x2	= 1 функция непрерывна: lim15	3 x	15	2	15.
	x 1

Сделаем схематический чертеж (рис.3).

y	1
	y 15	3 x

1 2 3

Рис.3

Задача 8. Функция задается различными аналитическими выра жениями для различных областей изменения независимой переменной

x 2, при x 1;
	1;
f x x 2 1, при 1 x	1;
x 3, при x 1.

Требуется:

1)найти точки разрыва функции, если они существуют;

2)найти скачок функции в каждой точке разрыва;

3)сделать схематический чертеж.

Решение

Данная функция определена при всех значениях x. Разрыв она может иметь в точках x = –1 и x = 1. Найдем односторонние пределы в этих точках.

lim

f x

lim x 2 1 2 1;

x 1 0

1 0

x 1

lim

x 2 1 1 1 2 .

x 1 0

x 1

Так как

lim f x

lim

f x , то функция f x в точке x = –1

x 1 0

терпит конечный разрыв.

Скачок функции в этой точке равен

lim

f x

lim

f x 2 1 1;

x 1 0

1 0

Найдем односторонние пределы функции в точке x = 1.

lim

lim f

x 2

1 1 1 2;

x 1 0

x 1

lim f x

lim f x 3 1 3 2.

x 1 0

x 1

Так как

lim f x

lim

f x 2 ,

то функция f x в точке

x 1 0

x = 1 непрерывна.

Сделаем схематический чертеж (рис.4).

	2
	1	x
		x
1 0	1	3

Рис.4

Задача 9. Найти производные						dy		данных функций:
Задача 9. Найти производные						dx		данных функций:
						dx
а) y	2x 2 x 1		;		б) y x 5 2 arccos3 5x 4;
а) y			;		б) y x 5 2 arccos3 5x 4;
	3 2 4x
в) y sin3x		arcctgx					2	y
				;	г) y			x ln	.
				;	г) y			x ln	.
								x

Решение

При решении указанных примеров используются следующие правила дифференцирования:

1)c 0, c const.

2)x 1, x – независимая переменная.

3)u v u v , где u u x ; v v x .

4)u v u v v u.

5)c u c u .

6)u u v 2v u v 0 . v v

7)Если y f (u) , u u(x), то есть y f u(x) – сложная функция,

составленная из дифференцируемых функций, то ux yu ux или

Кроме

этого

используется таблица производных

элементарных функций:

1) u u 1 u .

2) au au ln a u .

3) eu eu u .

loga u

ln a

ln u

sin u cosu u .

sin u u .

cosu

tgu

cos2 u

ctgu

sin2 u

10)

arcsin u

1 u2

11)

arccosu

1 u2

12)

arctgu

1 u2

13)

acctgu

1 u2

а) y

2x 2 x 1

2 4x

Воспользуемся правилом дифференцирования дроби:

U V UV

, V 0.

Для всех 2 4x 0;

имеем:

(4x 1)3

2 4x (2x 2 x 1)3

2 4x

9(2 4x)

(4x 1)3(2

4x) (2x 2 x 1)6

9(2

4x)

2 4x

3(16x 2 4x 2 4x 2 2x 2)

9x(4x 2)

9(2 4x) 2

9(2 4x)

2 4x

б) y x 5 2 arccos3 5x 4

	y 2 x 5 arccos3 5x 4 x 5 2 3arccos2 5x 4	20x 3
		1 25x 8

2 x 5 arccos3 5x 4 60x 3 x 5 2 arccos2 5x 4 . 1 25x 8

в) y sin3x arcctgx .

Это показательно степенная функция. Прологарифмируем ее: ln y arcctgx ln sin3x

и затем продифференцируем обе части полученного равенства:

ln sin3x

arcctg x cos3x 3

ln sin3x

3ctg 3x arcctg x.

1 x 2

sin3x

1 x 2

Отсюда выразим y :

arcctgx

3ln(sin3x)

y (sin3x)

3ctg3xarcctgx

1 x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 268 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.20241.35 Mб21214.pdf
#
16.06.20241.35 Mб31215.pdf
#
16.06.20241.35 Mб41216.pdf
#
16.06.20241.35 Mб51217.pdf
#
16.06.20241.35 Mб31218.pdf
#
16.06.20241.35 Mб21219.pdf
#
16.06.2024197.55 Кб0122.pdf
#
16.06.20241.35 Mб21220.pdf
#
16.06.20241.35 Mб31221.pdf
#
16.06.20241.36 Mб31222.pdf
#
16.06.20241.36 Mб31223.pdf