1219

Общее решение уравнения будет иметь вид:

y C1e2x C2e 2x 2xe2x .

Найдем частное решение уравнения, удовлетворяющее начальным условиям y 0 1; y 0 8 . Для этого в общее решение и в

y 2C1e2x 2C2e 2x 4xe2x 2e2x .

подставим начальные условия. Получим линейную систему уравнений относительно неизвестных c1 и c2:

1 C1 C2

8 2C1 2C2 2.

Решив, найдем: C1 2; C2 3.

После подстановки C1,C2 в общее решение получим частное решение уравнения

y 2e2x 3e 2x 2xe2x ,

удовлетворяющее начальным условиям.

Задача 31. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

dxdt x 5y, dydt x 3y.

Продифференцируем второе уравнение системы по t:

Характеристическое уравнение имеет вид:

k2 2k 2 0 .

Корни этого уравнения k1,2 1 i 1, 1 .

181

Тогда

y C1e t cost C2e t sin t .

Откуда

dydt C1e t cost C1e t sin t C2e t sin t C2e t cost .

Выразим из второго уравнения x dydt 3y .

Откуда

x e t C2 2C1 cost C1 2C2 sin t .

Общее решение исходной системы примет вид:

x e t C2 2C1 cost C1 2C2 sin t , y C1e t cost C2e t sin t .

Задача 32. Исследовать сходимость числовых рядов:

Так как l 1, ряд сходится;

Задача 33. Исследовать сходимость знакочередующегося ряда

Условия теоремы Лейбница выполняются:

182

Так что ряд сходящийся.

Рассмотрим ряд un из абсолютных величин членов данного ряда

Воспользуемся признаком Даламбера для ряда из абсолютных величин.

Имеем:

В указанном промежутке данный ряд абсолютно сходится. Проверим граничные точки.

183

Составив ряд из абсолютных величин членов знакочередующегося

точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд и почленно его проинтегрировав. Подынтегральная функция может быть представлена в виде биномиального ряда

184

По теореме Лейбница, отбросив члены последнего ряда, начиная с