Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

1219

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2613 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

			4				4
					4				4				16		16
k 2, z 4			3		4	i sin	3		4	4			16	i sin	16
	2	cos	3				3				2	cos					;
	2	cos		4				4			2	cos	12		12		;
				4				4					12		12

			4				4
					6				6				22		22
k 3, z 4			3		6	i sin	3		6	4			22	i sin	22
	2	cos	3				3				2	cos				.
	2	cos		4				4			2	cos	12		12	.
				4				4					12		12

3. Показательные формы комплексных чисел z1 и z2 имеют соот

																									10ei							7														2ei				4
ветственно вид z																									10ei							4				и z							2			2ei				3		.
																		1																									2
																					7				4																				13
			z z														i															2 10e											i


						2		= 2 10e													4 3																									12 ;
		1				2
			z2				2									4					7									2								5
															ei																			e								i ;
					=												3				4
																																						12
			z1																										10									12
			z1					10																					10
					= 25 e5								4											20
			z	5												i 32e															i ;
			z	5										3		i 32e								3							i ;
				2
			4 z :
					1
																				7															7
		k 0; z 8 10e																					i		8 10e												i ;
		k 0; z 8 10e																		4 4			i		8 10e										16		i ;
																			7
																						2																15
																				4		2																15
		k 1; z 8 10e																								i					8 10e													i ;
		k 1; z 8 10e																			4					i					8 10e								16					i ;
																				7			4																		23
																					4		4																		23
		k 2; z 8 10e																									i				8 10e															i ;
		k 2; z 8 10e																					4				i				8 10e									16						i ;
																				7			6																		31
																					4		6																		31
		k 3; z 8 10e																									i				8 10e															i .
		k 3; z 8 10e																					4				i				8 10e										16					i .
		4.			Арифметическая																												форма															комплексного										числа			z3			имеет вид
z					2							2			i .
z	3														i .
	3			2							2
				2							2
		1			2z				3							5 5i																2												2										2
		1							3
			z								=																		2			2											2				i						5					2		5		i ;
																																2											2
				2		2z				3		= 1 3i																				2												2							1						3
				2						3
			z																									2				2										2					i								2					2			i ;
																																2										2
		1				3																							2							2													10						10		10			10
			z z =																										2							2													10						10		10			10			i2
															5					5i																						i														i			i					10 ;
															5					5i									2							2						i							2						2	i		2	i	2				10 ;
																													2							2													2						2			2		2

121

																				2		2						2			6				2		6
													1			3i									i							i				i		i	2
	z2	1				3i							1			3i				2		2			i														2
	z2	1				3i														2		2						2			2				2		2			=
																															2					2				=
	z3	2				2		i					2		2					2				2						2	2				2	2
																		i								i										i2
		2				2
													2		2					2
																														2					2
																						2								2					2
		2				6						2			6
=																	i .
=																	i .
		2		2							2				2
		2		2							2				2
Задача 17. Найти неопределенные интегралы:
а)		cos x							dx .
а)		9 sin				2	x		dx .
		9 sin					x
Сделаем подстановку																sin x t ,					тогда						cos xdx dt ,						следовательно,
d sin x cos xdx . Согласно формуле																										dU		arcsin				U		C , находим:
d sin x cos xdx . Согласно формуле																												arcsin						C , находим:
																									a2		U 2					a
							cos x							dx					d sin x								arcsin		sin x			C
							2							dx					32 sin x							2	arcsin					C
						9 sin							x						32 sin x											3					.
																																			.
б) cos			7x		cos					4x	dx .
б) cos					cos						dx .
				2					5
																						2
Применяя						формулу										cos cos							1		cos					cos						,	будем
Применяя						формулу										cos cos									cos					cos						,	будем

иметь:

12 cos 72x 45x cos 72x 45x dx

1 cos 43x cos 28 x dx 1 cos 43x dx 1 cos 28x dx 2 10 10 2 10 2 10

		1	10	sin	43x	1	10	sin	28x	C	5	sin	43x	5	sin	28x	C
	2		43		10	2	28		10		43		10	28		10
																	.
в)	x 1 sin2xdx .

Примем U x 1, dV sin2xdx , тогда dU dx ,V 12 cos2x .

122

Используя формулу интегрирования по частям UdV UV VdU , получим:

x 1 sin2xdx =

U x 1

dU dx

dV sin2xdx

cos2x

x 1

1 x

cos2x

cos2xdx

cos2x

sin2x C .

г) 1 2x e3 x dx .

Примем U 1 2x , dV e3 x dx , тогда dU 2dx ,V

e3 x .

Используя формулу интегрирования по частям UdV UV VdU ,

получим:

1 2x e3 x dx

U 1

dU 2dx

dV e

3 x

1 2x

e3 x

e3 x dx

e3 x

e3 x C .

д)

2x 1 dx

x 2x 3

Выделим в числителе производную подкоренного выражения и раз ложим полученный интеграл на разность двух интегралов. Применяя

формулы

U C и

U 2

C , получим:

U a

2x 1 dx

2x 2 3

2x 2 dx

x 2x 3

x 1

2 2x 3 3ln

x 1

x 2 2x 3

C .

е)

4 x

Применяя подстановку x 2tgt , dx

2dt

cos2 t

sin t

sin2 t

x 2

tgt

cost

sin2 t

1 sin2 t

123

sin

t sin

sin

t 1

sin2 t

x 2

sin t

x 2

получим:

x 2

4 x 2

2dt

x 2

4 x 2

cos2 t 4tg2t

4 4tg2t

sin2 t

1 tg2t

cosdt

d sin t

sin t

cos

t sin

sin2 t

cos2 t

C .

x 2

4sin t

4 x 2

ж)

16xdx

Разложим знаменатель на произведение линейных множителей и представим рациональную дробь в виде суммы простейших дробей:

16x

2x 1 x 1

2x 1

x 1

Должны иметь 16 Ax A 2Bx B или 16 A 2B x A B . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим

систему уравнений:
A 2B 0	A 2B
		16.
A B 16	2B B	16.

Решив систему, найдем A 323 и B 163 .

Интеграл представляется разностью двух интегралов:

16xdx

2x 1

x 1

323 12 ln 2x 1 163 ln x 1 C

16 ln 2x 1 ln x 1 C 16 ln 2x 1 C . 3 3 x 1

124

Задача 18. Вычислить определенные интегралы:

а) 2a x 3 sin axdx .

U x 3

2a x 3 sin axdx

dV sin axdx

x 3

2a cosaxdx

x 3

cosax

du dx

V a1 cos ax

		1


cosax	2a		sin ax	2a
cosax	2a	a2	sin ax	2a
	0	a2		0
	0			0

					3												0			3							1												1
		2a			3												0			3							1												1
		2a							cos a															cos0						sin a										sin0
			a						cos a											a				cos0			a	2		sin a									a	sin0
			a								2a									a							a								2a				a
																	3						1			3a 1			.
																		a											.
																		a				a2				a2
5	xdx
б)	xdx					.
б)						.
0	1 3x
0
Примем					1 3x t . Найдем пределы интегрирования для t:
если x=0, то t=1;
если x=5, то t=4.
Выразим x: 1 3x t 2,															x						t 2 1					и найдем дифференциал обеих
Выразим x: 1 3x t 2,															x									3		и найдем дифференциал обеих
													2tdt											3
частей выражения										dx			2tdt			.				Подставив x, dx и найденные пределы
частей выражения										dx						.				Подставив x, dx и найденные пределы
											3
интегрирования в интеграл, получим:
																				1 3x t,							dx							2tdt
																																		2tdt
								5		xdx																								3
								5																										3
																		x 0, t 1
										1 3x								x 0, t 1
										1 3x								x 5, t 4
								0

				4					(t 2 1) 2t										2		4							2					4
				4					(t 2 1) 2t										2		4							2					4
														dt									t 2 1 dt										t 2 1 dt
									3 t			3		dt					9				t 2 1 dt									9	t 2 1 dt
				1																	1												1
		2 t 3								4	2 64													1			2 63									2				2
							t			1									4						1									3				18			4.
		9			3		t			1	9			3					4					3	1		9				3			3			9	18			4.

125

Задача 19. Вычислить несобственный интеграл или установить его

расходимость

Рассмотрим предел:

lim

arctgx

lim arctgx

= arctg

arctg

. Несобственный инте

грал

сходится.

Задача

20.

Изменить

порядок

интегрирования в

интеграле

2 y

dy f x, y dx.

Решение:

Область интегрирования D ограничена линиями: у = 0, x y , x 2 y .

B(1;1)

х+y=2

y=х2

0	С(1;0)	А(2;0) x

Если же сначала интегрировать по y, затем по х, то область D сна

чала надо разбить на две области ОВС и СВА. Получим:

1	2 y	1	x 2	2	2 x
dy f x, y dx dx f x, y dy dx f x, y dy.
0	y	0	0	1	0

126

	Задача 21.
	а)		Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y		x 1 2 , y 5		x и осью OX (рис.8).

Решение:

По уравнениям границы области D построим данную фигуру. Линии, ограничивающие ее, пересекаются в точке M (1; 4). Должны иметь y x 1 2 и y 5 x .

Откуда x 1 2 5 x;

x 2 3x 4 0, M1 4;9 D,

x1 4, x2 1; y1 9, y2 4, M2 1;4 D.

5y x 1 2

												y 5 x
			1				1					5		x
					Рис. 8
Для области D справедливы неравенства
		0 y 4,				y 1 x 5 y.
Искомая площадь
	d	2 y		4			5 y					4	y 1 dy
S dxdy dy			dx dy							dx		5 y	y 1 dy
D	c	1 y		0				y 1				0
4					y	2		2			4		2 8	32
											4

6 y y		dy	6y						y3 2			24 8			.
6 y y		dy	6y						y3 2			24 8			.
0				2			3				0		3	3
0											0

б) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией 2 a2 sin2 (рис.9).

127

2 a2 sin2

Рис. 9

Решение:

Построив кривую и замечая, что она симметрична относительно полюса и что при изменении от 0 до 2 текущая точка ( , ) отсечет половину кривой, расположенную выше полярной оси, будем иметь:

		sin 2
	a			a2
S d d 22 d			d a2 2 sin2 d		cos2	02	a2.

				2

D	0	0	0

Задача 22. Найти объем тела, ограниченного данными поверх ностями x y z 4, x 3, y 2, x o, y 0, z 0 (рис.10, 11).

x 3

x y 4

y 2

3 Рис. 10

128

x y z 4

		2		y
				4



x	3
x	4
	4
			Рис.11

			1	3				4 x y			2			4 y				4 x y
V dy dx									dz dy dx													dz
			0	0				0			1				0				0
	1		3								2				4 y
dy				4 x y					dx dy								4 x y dx
	0		0								1				0
	1					x	2						2							x	2
		4x				x		yx \|03 dy							4x					x		yx		\|04 y dy
		4x						yx \|03 dy							4x							yx		\|04 y dy
	0			2							2		1						2
	1				9						2								4 y					2
																								2
		(12						3y)dy				4		4 y												y	4 y				dy
		(12						3y)dy				4		4 y												y	4 y				dy
				2																		2
	0										1
	1	15							2														y2						2
				3y				dy		16		4y 8							4y						4y y					dy
				3y				dy		16		4y 8							4y				2		4y y					dy
	0	2							1														2
	1		15						2							y2						15				3y2		1				2	y3	2	55
				3y dy					8 4y								dy						y					\|0 8y 2y						\|1		кв.ед.
			2	3y dy					8 4y						2		dy					2	y			2		\|0 8y 2y					6	\|1	6	кв.ед.
	0		2						1						2							2				2							6		6

129

Задача 23. Найти центр тяжести однородного тела, ограни

ченного конической поверхностью z

x 2 y2

и плоскостью z 3

(рис.12, 13).

z 3

x, p y

												Рис.12																			Рис.13
M yz M xz													0
																3						2	3		3			2		3		z2
M xy dxdy																				z dz		d d z dz						d				z2	\|3 d
M xy dxdy																				z dz		d d z dz						d				2	\|3 d
								D								2		y		2		0	0					0		0
																	x	y
		1		2						3								3	d		1	2		9 2	4	3			1	2 81				81
					d								9													\|0	d								d
		2			d								9								2		2			\|0	d		2					4	d
		2		0						0											2	0	2		4				2	9	2			4
			81			\|2								81
						\|2
		8						0					4
		8											4														2	3 2			3
					2					3						3				2		3					2	3 2			3
m d d dz d																							3 d									\|03 d
m d d dz d																							3 d					2				\|03 d
				0						0										0		0					0	2			3
		2 27										27
															d 9
															d 9
		0			2								3
					81		/ 9										9
	z				81												9
	z			4												4
				4					9							4
С (0,0,									9		).
С (0,0,								4			).
								4

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2613 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.20241.35 Mб01214.pdf
#
16.06.20241.35 Mб01215.pdf
#
16.06.20241.35 Mб01216.pdf
#
16.06.20241.35 Mб31217.pdf
#
16.06.20241.35 Mб01218.pdf
#
16.06.20241.35 Mб01219.pdf
#
16.06.2024197.55 Кб0122.pdf
#
16.06.20241.35 Mб01220.pdf
#
16.06.20241.35 Mб01221.pdf
#
16.06.20241.36 Mб11222.pdf
#
16.06.20241.36 Mб01223.pdf