1185

Наибольшее растягивающее напряжение действует в точках 1 и 4:

1 4 N M x — 1,09 25,5 24,41 МПа.

A Ix

Эпюра нормальных напряжений показана на рис. 9.6, е.

П р и м е р 9.2. Стойка из двутавра № 18 нагружена сосредоточенной силой (рис. 9.7, а). Определить допускаемую нагрузку при = 200 МПа.

Рис. 9.7

Р е ш е н и е

Изприл. 1 выписываемгеометрическиехарактеристикидлядвутавра№18:

А = 23,4 см2, b = 9 см, h = 18 см, Iх = 1290 см4, Iу = 82,6 см4, хF = 4,5 см, уF = 9 см.

141

1.Построение эпюр внутренних усилий. Переносим внешнюю силу в

центр тяжести. Она создаёт изгибающие моменты: Mx = FуF, Mу = FхF. Расчётная схема показана на рис. 9.7, б. Величина внутренних усилий не изменяется по длине стержня. Их эпюры строятся со стороны сжатого волокна в аксонометрии и показаны на рис. 9.7, в, г, д.

2.Определение положения нейтральной оси. Устанавливаем знаки де-

формаций в каждой четверти координат. Момент Мх изгибает стойку в направлении оси у, вызывая растяжение в точках 2 и 3 (знак "плюс") и

сжатие в точках 1 и 4 (знак "минус"). От действия момента Му в точках 1 и 2 появляется растяжение (знак "плюс"), а в точках 3 и 4 – сжатие (знак "минус"). Продольная сила N вызывает сжатие во всех точках поперечного сечения (знак "минус"). Подставляя усилия из I четверти осей координат со своими знаками в формулу (9.3), получим уравнение нейтральной оси:

Отсюда при x = 0 у = 6,12 см, а при у = 0 х = 0,78 см. Следовательно, нейтральная ось проходит через точки А и В II-й четверти (рис. 9.7, ж).

3. Вычисление допускаемой нагрузки. Наибольшее напряжение по абсо-

лютной величине возникает в точке 4 как наиболее удалённой от нейтральной оси. Из формулы (9.2) с учётом знаков усилий находим:

142

Отметим, что при определении силы F координаты точек подставляются со своими знаками.

П р и м е р 9.3. Найти положение нейтральной оси и величины max иmin в опасном сечении стержня (рис. 9.8, а).

Ре ш е н и е

1.Определение геометрических характеристик полученного сечения.

Сечение разбиваем на три фигуры: полукруг, прямоугольник 40 26 см,

вырез в виде треугольника. Находим расстояние от вспомогательной оси x0 до центра тяжести (см. задачу №1) (рис. 9.8, б):

Через найденный центр тяжести проводим главные оси у и х. Заметим, что ось у является осью симметрии.

2. Вычисление главных центральных моментов инерции. Используя прил. 5, находим:

143

Рис. 9.8

144

Чтобы найти второй момент инерции, используем формулу (1.7) для параллельного переноса осей:

Ix Ix(1) Ix(2) Ix(3)

Ix(1)1 A(1) a12 Ix(2)2 A(2) a22 (Ix(3)3 A(3) a32 )

17600 628( 10,21)2 46080 960 10,292 (810 180 19,292 )

103951,87 см4 ,

Здесь

Ix(1)1 0,11R4 0,11 204 17600 см4;

3. Построение эпюр внутренних усилий. Переносим все силы в центр тяжести. В результате от силы Fz появляются изгибающие моменты относительно осей x и у:

M x Fz yF 100 0,0171 1,71 Н м,

M y Fz xF 100 0,2 20 H м, где yF 20 yC 20 21,71 1,71 см;

xF 20 см.

Заметим, что при переносе Fx и qу в центр тяжести изгибающие моменты не появляются.

Построение эпюр производим отдельно для каждой нагрузки (рис. 9.8, г–к). Изгибающий момент откладываем со стороны сжатого волокна в аксонометрии. Одноименные эпюры складываем алгебраически.

Определяемизгибающиймоментотраспределённойнагрузки(рис. 9.8, г):

M x qy 0,5qyl2 0,5 20 1 10 Н м.

От сосредоточенного момента Мx на свободном конце эпюра M x M 1,71 H м постоянна. Результирующиймоментвзаделке(рис.9.8, е)

M x M x qy M x M 10 1,71 8,29 Н м.

145

Эпюра продольных сил постоянна N = Fу = 100 Н (рис. 9.8, ж). От сосредоточенного момента Мy = 20 кH м эпюра Мy(M) постоянна (рис. 9.8, з).

M y M y Fx M y M 60 20 40 Н м.

Анализ эпюр Мx, Мy и N показывает, что опасное сечение находится в заделке (рис. 9.8, а). Определяем в этом сечении знаки усилий в каждой четверти координат (рис. 9.9, а). Напомним, что если от усилия возникают сжимающие деформации, например от Мx в I четверти осей координат, то ставим знак "минус". И, наоборот, при растяжении, например во II четверти от Мx, берем знак "плюс".

Рис. 9.9

4. Определение положения нейтральной оси. Уравнение нейтральной оси находим из формулы (9.3), подставляя знаки усилий из I четверти осей координат.

Имеем:

При x = 0 y = 8,9 см. Если y = 0, то x = 3,18 см.

146

Таким образом, нейтральная ось проходит через точки А и В и III четверть осей координат (рис. 9.9, б). Наиболее удаленной от неё, а следовательно, и наиболее напряжённой, является точка 1. С учётом знаков усилий по формуле (9.2) находим напряжения (рис. 9.9, б):

40 20 10 28 3900 H/м2 , 178800 10

где у1, x1 и у4, x4 – координаты точек 1 и 4 без учёта их знаков: y1 = 44 yC = 44 21,71 см = 22,29 см; x1 = 20 см;

y4 = yС 20 = 21,71 20 = 1,71 см; x4 = 20 см.

К о н т р о л ь н ы е в о п р о с ы

1.В чем заключается принцип независимости действия сил?

2.Как определить нормальное напряжение при совместном действии изгиба и продольной силы?

3.Как определить положение опасного сечения?

4.Как установить координаты наиболее напряжённой точки?

5.Как найти положение нейтральной оси при совместном действии изгиба и продольной силы?

6.Когда брус испытывает внецентренное сжатие (растяжение)?

7.Запишите условие прочности при внецентренном сжатии.

8.Какопределитьдопускаемуюнагрузкупривнецентренномсжатии?

9.Когда брус испытывает косой изгиб?

10.Как записывается условие прочности при косом изгибе?

11.Какопределитьположениенейтральнойосиприкосомизгибе?

12.Какиеосиназываютсяглавнымицентральнымиосямиинерции?

13.Как определить положение главных центральных осей?

147

14.Как определить величину осевых моментов инерции относительно центральных осей сложной фигуры, используя формулу параллельного переноса осей?

15.В какой точке бруса будут возникать наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения (рис. 9.10, 9.11, 9.12 и 9.13)?

148

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов [Текст] / В.И. Феодосьев. – М.: Высшая школа, 2000.

2.Черячукин, В.В. Лекции по технической механике для студентовстроителей[Текст] / В.В. Черячукин. – Пенза: ПГУАС, 2012.

3.Качурин, В.К. Сборник задач по сопротивлению материалов [Текст]

/В.К. Качурин [и др.]. – М.: Наука, 1970.

4.Ицкович, Г.М. Сопротивление материалов [Текст] / Г.М. Ицкович. – М.: Высшая школа, 1998.

5.Александров, А.В. Сопротивление материалов [Текст] / А.В. Александров. – М.: Высшая школа, 1995.

149

ПРИЛОЖЕНИЯ

150