1160
.pdfII этап
Выделяем средства 2-му предприятию (с учетом и средств, выделенных 1-му). При этом k 2 .
Вычисляем f2 (x) – наибольший доход при использовании ресурса x
на 1-м и 2-м предприятиях; f2 (x) max f1(x x2 ) g2 |
(x2 ) , а именно |
||||||||||||||
Если на первые два предприятия выделяем всего x 20, то |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1-е |
2-е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
2 |
(20) |
max |
|
20 |
0 |
|
max f (20) g |
2 |
(0); |
f |
(0) g |
2 |
(20) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
max 8 0; 0 10 max 8; 10 10.
Если на первых два предприятия выделяем всего x 40, то
|
1-е 2-е |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f2 |
|
|
max 16 0; |
8 10; |
0 20 max 16; 18; |
20 20. |
|||||
(40) max |
20 |
20 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Если на первых два предприятия выделяем всего x 60 , то |
|
|||||||||
|
|
|
1-е |
2-е |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
40 |
20 |
|
max 25 0; |
16 10; 8 20; 0 28 |
|||
|
f2 (60) max |
|
|||||||||
|
|
|
|
20 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max 25; 26; 28; 28 28.
Если на первых два предприятия выделяем всего x 80 , то
|
1-е |
2-е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
20 |
|
|
|
|
|
|
f2 |
|
|
max 36 |
0; |
25 10; 16 20; |
8 28; |
0 40 |
||
(80) max |
40 |
40 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
20 |
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
max 36; 35; 36; |
36; 40 40. |
|
|
|
|
||||
101
Если на первых два предприятия выделяем всего x 100 , то
|
|
1-е |
2-е |
|
|
|
|
|
|
100 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f2 |
|
60 |
40 |
|
max 44 0; |
36 10; |
25 20; 16 28; 8 40; |
0 48 |
(100) max |
|
|||||||
|
|
40 |
60 |
|
|
|
|
|
|
|
20 |
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
||
max 44; 36; 45; 44; 48; 48 48.
Если на первых два предприятия выделяем всего x 120 , то
|
1-е |
2-е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
80 |
40 |
|
62 0; 44 |
10; |
36 20; |
25 28; |
|
|
f2 |
|
|
|
|||||||
(120) max |
60 |
60 |
|
max |
16 40; 8 |
48; |
0 62 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
40 |
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120 |
|
|
|
|
|
|
||
max 62; 54; 56; 63; 56; 56; 62 63.
III этап
Выделяем средства 3-му предприятию (с учетом средств, выделенных 1-му и 2-му). При этом k 3 .
Вычисляем f3 (x) – наибольший доход при использовании ресурса x на
1-м, 2-м и 3-ем предприятиях; |
f3 (x) max f2 (x x3 ) g3 (x3 ) , а именно |
|||||
|
Если на три первых предприятия всего выделяем x 20, то |
|
||||
|
II этап (1-е и 2-е) |
3-е предприятие |
|
|
||
f3 |
|
20 |
0 |
|
max f2 (20) g3 |
(0) |
(20) max |
|
|||||
|
|
0 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
max 10 0; |
0 12 12. |
|
|
|
|
|
102
|
Если на первых три предприятия выделяем всего x 40, то |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
II этап |
3-е пред. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
10 12; 0 21 |
|
|||||
|
f3 (40) max |
|
20 |
|
20 |
max 20 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
max 20; 22; |
|
21 22. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Если на первых три предприятия выделяем всего x 60 , то |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
II этап |
3-е пред. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
40 |
|
|
20 |
|
|
|
20 |
12; 10 21; 0 27 |
|
||
f3 (60) max |
|
|
max 28 0; |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
20 |
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
28; 32; 31; 27 |
32. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Если на первых три предприятия выделяем всего x 80 , то |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
II этап |
|
3-епред. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60 |
|
|
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
max |
40 0; 2812; |
20 21; 10 27; |
|
||||||
f |
(80) max |
|
|
|
|
0 38 |
||||||||||
|
|
|
|
40 |
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
|
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
max 40; 40; 41; 37; 38 41.
Если на первых три предприятия выделяем всего x 100 , то
|
|
II этап |
3-е пред. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
0 |
|
|
|
|
80 |
20 |
|
|
|
|
|
|
||
f3 |
|
60 |
40 |
|
|
(100) max |
|
||||
|
|
40 |
60 |
|
|
|
|
20 |
80 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
100 |
|
|
|
|
|
|
||
max 48 0; 40 12; 28 21; 20 27; 10 38; 0 50
max 48; 52; 49; 47; 48; 50 52.
103
Если на первых три предприятия выделяем всего x 120 , то
|
II этап |
3-е пред. |
|
|
|
|
|
||
|
|
120 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
80 |
40 |
|
63 0; |
48 12; 40 21; |
28 27; |
|
|
f3 |
|
|
|
||||||
(120) max |
60 |
60 |
|
max |
20 38; 10 50; 0 63 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
40 |
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
max 63; 60; 61; 55; |
58; 60; 63 63. |
|
|
|
|
||||
IV этап
Финансируем 4-е предприятие (с учетом средств, выделенных всем предыдущим). Возможная сумма к распределению только x 120 (должны распределить всю исходную сумму на четыре предприятия).
|
III этап |
4-епред. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
120 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 |
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
80 |
40 |
|
63 0; |
52 11; 41 |
23; |
32 30; |
|
|
f4 |
|
|
|
|||||||
(120) max |
60 |
60 |
|
max |
22 37; 12 51; 0 |
63 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
40 |
80 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
max 63; 63; 64; 62; 59; 63; 63 64.
Выводы
Просматриваем расчеты назад и выделяем жирным шрифтом наиболее выгодные размеры инвестиций:
|
III этап |
4-епредприятие |
|
смотрим |
f3 |
|
II этап |
3-епредприятие |
|
|
|
80 |
40 |
|
(80) |
40 |
40 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
1-е предприятие |
2-епредприятие |
|
|
смотрим f2 |
|
|
|
|
(40) |
0 |
40 |
|
|
|
|
|
||
104
Таким образом, оптимальное распределение 120 млн у.е., обеспечивающее максимум эффективности следующее:
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
40 |
40 |
40 |
Показатель эффективности 0+20+21+23=64.
5.3. Задача о замене оборудования
Рассчитать оптимальные сроки замены оборудования, исходя из следующих условий:
1. Известна стоимость нового оборудования S0 . Она может быть
постоянной величиной или меняться с каждым годом, например, с учетом инфляции.
2.Оборудование приносит доход, возможно, величина дохода может быть больше, если оборудование новее. Кроме дохода, полезность оборудования можно охарактеризовать его производительностью.
3.Затраты на содержание и ремонт эксплуатируемого оборудования зависят от срока эксплуатации (возраста оборудования) и задаются как функция от времени.
4.Характеристики дохода и издержек могут быть объединены в общую функцию прибыли, зависящую от возраста оборудования.
5.Остаточная стоимость (стоимость оборудования, бывшего в употреблении, ликвидная стоимость) также напрямую зависит от его возраста: S(t) .
6.Обычно оговаривается период рассмотрения ситуации: например, независимо от текущего возраста оборудования, оно обновляется каждые n лет.
7.В начале каждого года принимается решение: сохранить оборудование или заменить его новым.
8.Суммарные затраты на эксплуатацию оборудования в течение n лет с учетом начальной покупки и заключительной продажи должны быть минимальными.
9.Суммарная прибыль от эксплуатации оборудования в течение n лет должна быть максимальной.
Динамический процесс использования оборудования разбивается на n шагов. Управление на каждом шаге характеризуется качественными признаками и, как правило, состоит из двух возможных решений:
продолжить эксплуатацию оборудования, с учетом издержек на поддержание его в рабочем состоянии;
105
продать оборудование, бывшее в употреблении, и приобрести новое, которое уже в течение первого года эксплуатации потребует некоторых издержек на поддержание его в рабочем состоянии.
Решение задачи удобно проводить на графе, размещенном в системе координат. На оси абсцисс откладывают номер шага (количество прошедших лет), на оси ординат – возраст оборудования на данный момент времени.
Пример решения задачи на максимум получаемой прибыли от эксплуатации оборудования.
Найти оптимальный план замены оборудования на 6-летний период, если известны:
прибыль от эксплуатации оборудования r(t) в зависимости от возраста;
остаточная стоимость s(t) оборудования в зависимости от возраста;
стоимость нового оборудования S0 20 .
Возраст |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
новое |
|
|
|
|
|
|
Прибыль r(t) |
11 |
10 |
9 |
9 |
8 |
8 |
|
Остаточная стоимость s(t) |
|
18 |
15 |
14 |
10 |
5 |
1 |
Перемещение на графе начинается из начала координат, что соответствует началу нового календарного года и началу эксплуатации нового оборудования. Каждый узел графа в данном примере маркирован как ij ,
где i – текущий год, j – возраст оборудования, эксплуатируемого в текущем году.
Переход по стрелке вверх означает решение о продолжении эксплуатации «старого» оборудования.
Переход по стрелке вниз или горизонтально вправо означает решение о продаже «старого» оборудования, приобретении нового с последующей эксплуатацией в течение года нового оборудования.
сохраняем |
сохраняем |
продаем,
покупаем новое продаем,
покупаем
новое
106
Над каждым соединением в графе записывают его характеристику, в данной задаче суммарную величину полученной прибыли.
Если стрелка идет вверх, то на прибыль влияют:
доходы от эксплуатации оборудования в зависимости от его возраста на данный момент; его производительность.
издержки на эксплуатацию оборудования в зависимости от его возраста на данный момент.
В данной задаче доходы и издержки уже согласованы и в исходной таблице указана прибыль, зависящая от возраста оборудования.
Если стрелка идет вниз или вправо, то на прибыль могут влиять:
остаточная стоимость продаваемого «старого» оборудования;
расходы на покупку нового оборудования;
доходы от эксплуатации нового оборудования;
издержки на эксплуатацию нового оборудования в течение первого года его эксплуатации.
Первый переход (рис. 5.1) от начала координат к узлу 11 означает, что
мы потратили 20 ед. на покупку нового оборудования;
мы за первый год заработаем на нем 11 ед.
тем самым, текущее состояние прибыли равно (-9).
От узла 11 (прошел 1 календарный год, возраст оборудования также
1год) возможны два перехода (рис. 5.2):
стрелка вверх, к узлу 22, будет означать, что «старое» оборудование продолжаем эксплуатировать, возраст оборудования 1 год, оно принесет
10ед. прибыли (см. в таблице);
стрелка вправо, к узлу 21, означает решение о продаже оборудования возраста 1 год по остаточной стоимости 18 ед., покупке нового оборудования за 20 ед., которое принесет прибыль 11 ед.; таким образом, прибыль характеризуем числом 18–20+11=9 ед.
От узла 21 (прошло 2 календарных года, возраст оборудования 1 год) возможны два перехода (рис. 5.3):
стрелка вверх, к узлу 32, будет означать, что «старое» оборудование продолжаем эксплуатировать, возраст оборудования 1 год, оно принесет 10 ед. прибыли (см. в таблице);
стрелка вправо, к узлу 31, означает решение о продаже оборудования возраста 1 год по остаточной стоимости 18 ед., покупке нового оборудования за 20 ед., которое принесет прибыль 11 ед.; таким образом, прибыль характеризуем числом 18–20+11=9 ед.
107
От узла 22 (прошло 2 календарных года, возраст оборудования 2 года) возможны два перехода (рис. 5.4):
стрелка вверх, к узлу 33, будет означать, что «старое» оборудование продолжаем эксплуатировать, возраст оборудования 2 года, оно принесет 9 ед. прибыли (см. в таблице);
стрелка вниз, к узлу 31, означает решение о продаже оборудования возраста 2 года по остаточной стоимости 15 ед., покупке нового оборудования за 20 ед., которое принесет прибыль 11 ед.; таким образом, прибыль характеризуем числом 15–20+11=6 ед.
От узла 31 (прошло 3 календарных года, возраст оборудования 1 год) возможны два перехода (рис. 5.5):
стрелка вверх, к узлу 42, будет означать, что «старое» оборудование продолжаем эксплуатировать, возраст оборудования 1 год, оно принесет 10 ед. прибыли (см. в таблице);
стрелка вправо, к узлу 41, означает решение о продаже оборудования возраста 1 год по остаточной стоимости 18 ед., покупке нового оборудования за 20 ед., которое принесет прибыль 11 ед.; таким образом, прибыль характеризуем числом 18–20+11=9 ед.
От узла 32 (прошло 3 календарных года, возраст оборудования 2 года) возможны два перехода (рис. 5.6):
стрелка вверх, к узлу 43, будет означать, что «старое» оборудование продолжаем эксплуатировать, возраст оборудования 2 года, оно принесет 9 ед. прибыли (см. в таблице);
стрелка вниз, к узлу 41, означает решение о продаже оборудования возраста 2 года по остаточной стоимости 15 ед., покупке нового оборудования за 20 ед., которое принесет прибыль 11 ед.; таким образом, прибыль характеризуем числом 15–20+11=6 ед.
От узла 33 (прошло 3 календарных года, возраст оборудования 3 года) возможны два перехода (рис. 5.7):
стрелка вверх, к узлу 44, будет означать, что «старое» оборудование продолжаем эксплуатировать, возраст оборудования 3 года, оно принесет 9 ед. прибыли (см. в таблице);
стрелка вниз, к узлу 41, означает решение о продаже оборудования возраста 3 года по остаточной стоимости 14 ед., покупке нового оборудования за 20 ед., которое принесет прибыль 11 ед.; таким образом, прибыль характеризуем числом 14–20+11=5 ед.
108
От узла 41 (прошло 4 календарных года, возраст оборудования 1 год) возможны два перехода (рис. 5.8):
стрелка вверх, к узлу 52, будет означать, что «старое» оборудование продолжаем эксплуатировать, возраст оборудования 1 год, оно принесет 10 ед. прибыли (см. в таблице);
стрелка вправо, к узлу 51, означает решение о продаже оборудования возраста 1 год по остаточной стоимости 18 ед., покупке нового оборудования за 20 ед., которое принесет прибыль 11 ед.; таким образом, прибыль характеризуем числом 18–20+11=9 ед.
От узла 42 (прошло 4 календарных года, возраст оборудования 2 года) возможны два перехода (рис. 5.9):
стрелка вверх, к узлу 53, будет означать, что «старое» оборудование продолжаем эксплуатировать, возраст оборудования 2 года, оно принесет 9 ед. прибыли (см. в таблице);
стрелка вниз, к узлу 51, означает решение о продаже оборудования возраста 2 года по остаточной стоимости 15 ед., покупке нового оборудования за 20 ед., которое принесет прибыль 11 ед.; таким образом, прибыль характеризуем числом 15–20+11=6 ед.
От узла 43 (прошло 4 календарных года, возраст оборудования 3 года) возможны два перехода (рис. 5.10):
стрелка вверх, к узлу 54, будет означать, что «старое» оборудование продолжаем эксплуатировать, возраст оборудования 3 года, оно принесет 9 ед. прибыли (см. в таблице);
стрелка вниз, к узлу 51, означает решение о продаже оборудования возраста 3 года по остаточной стоимости 14 ед., покупке нового оборудования за 20 ед., которое принесет прибыль 11 ед.; таким образом, прибыль характеризуем числом 14–20+11=5 ед.
От узла 44 (прошло 4 календарных года, возраст оборудования 4 года) возможны два перехода (рис. 5.11):
стрелка вверх, к узлу 55, будет означать, что «старое» оборудование продолжаем эксплуатировать, возраст оборудования 4 года, оно принесет 8 ед. прибыли (см. в таблице);
стрелка вниз, к узлу 51, означает решение о продаже оборудования возраста 4 года по остаточной стоимости 10 ед., покупке нового оборудования за 20 ед., которое принесет прибыль 11 ед.; таким образом, прибыль характеризуем числом 10–20+11=1 ед.
От узла 51 (прошло 5 календарных лет, возраст оборудования 1 год) возможны два перехода (рис. 5.12):
стрелка вверх, к узлу 62, будет означать, что «старое» оборудование продолжаем эксплуатировать, возраст оборудования 1 год, оно принесет 10 ед. прибыли (см. в таблице);
109
стрелка вправо, к узлу 61, означает решение о продаже оборудования возраста 1 год по остаточной стоимости 18 ед., покупке нового оборудования за 20 ед., которое принесет прибыль 11 ед.; таким образом, прибыль характеризуем числом 18–20+11=9 ед.
От узла 52 (прошло 5 календарных лет, возраст оборудования 2 года) возможны два перехода (рис. 5.13):
стрелка вверх, к узлу 63, будет означать, что «старое» оборудование продолжаем эксплуатировать, возраст оборудования 2 года, оно принесет 9 ед. прибыли (см. в таблице);
стрелка вниз, к узлу 61, означает решение о продаже оборудования возраста 2 года по остаточной стоимости 15 ед., покупке нового оборудования за 20 ед., которое принесет прибыль 11 ед.; таким образом, прибыль характеризуем числом 15–20+11=6 ед.
От узла 53 (прошло 5 календарных лет, возраст оборудования 3 года) возможны два перехода (рис. 5.14):
стрелка вверх, к узлу 64, будет означать, что «старое» оборудование продолжаем эксплуатировать, возраст оборудования 3 года, оно принесет 9 ед. прибыли (см. в таблице);
стрелка вниз, к узлу 61, означает решение о продаже оборудования возраста 3 года по остаточной стоимости 14 ед., покупке нового оборудования за 20 ед., которое принесет прибыль 11 ед.; таким образом, прибыль характеризуем числом 14–20+11=5 ед.
От узла 54 (прошло 5 календарных лет, возраст оборудования 4 года) возможны два перехода (рис. 5.15):
стрелка вверх, к узлу 65, будет означать, что «старое» оборудование продолжаем эксплуатировать, возраст оборудования 4 года, оно принесет 8 ед. прибыли (см. в таблице);
стрелка вниз, к узлу 61, означает решение о продаже оборудования возраста 4 года по остаточной стоимости 10 ед., покупке нового оборудования за 20 ед., которое принесет прибыль 11 ед.; таким образом, прибыль характеризуем числом 10–20+11=1 ед.
От узла 55 (прошло 5 календарных лет, возраст оборудования 5 лет) возможны два перехода (рис. 5.16):
стрелка вверх, к узлу 66, будет означать, что «старое» оборудование продолжаем эксплуатировать, возраст оборудования 5 лет, оно принесет 8 ед. прибыли (см. в таблице);
стрелка вниз, к узлу 61, означает решение о продаже оборудования возраста 5 лет по остаточной стоимости 5 ед., покупке нового оборудования за 20 ед., которое принесет прибыль 11 ед.; таким образом, прибыль характеризуем числом 5–20+11= (–4) ед.
110