1150

Расширенную неопределенность для уровня доверия Р вычисляют по формуле

где ko – коэффициент охвата (коэффициент, используемый как множитель суммарной неопределенности для получения расширенной неопределенности). Значение коэффициента охвата для доверительной вероятности Р = 0,95 считают равным 2, для доверительной вероятности Р = 0,99 – равным 3.

5. Форма представления результата измерения

Форма представления результатов однократных измерений должна соответствовать МИ 1317.

При симметричной доверительной погрешности результат однократного измеренияпредставляютвформеÃ; ± (Р); РилиÃ; ± (Р), илиÃ;U(Р).

Значение результата измерения должно оканчиваться цифрами того же разряда, что и значение погрешности или расширенной неопределенности для уровня доверия.

Пример Расчет погрешности измерения напряжения показывающим прибором

Однократное измерение напряжения на участке электрической цепи сопротивлением R = 4 Ом.

Априорные данные об исследуемом объекте

Участок электрической цепи представляет собой соединение нескольких резисторов, имеющих стабильное сопротивление. Ток в цепи – постоянный. Измерение выполняют в сухом отапливаемом помещении температурой до 30 °С при магнитном поле до 400 А/м. Предполагаемое падение напряжения на участке цепи, не превышающее 1,5 В, постоянно.

Для измерения выбирают вольтметр класса точности 0,5 по ГОСТ 8711 (приведенная погрешность 0,5 %) с верхним пределом диапазона измерений Uпp = 1,5 В. Вольтметр имеет магнитный экран. Некоторый запас по точности средства измерений необходим из-за возможного наличия дополнительных погрешностей, погрешности метода и т.д.

Инструментальная составляющая погрешности определяется основной и дополнительной погрешностями.

Основная погрешность прибора указана в приведенной форме. Следовательно, предел допускаемой основной погрешности вольтметра

71

Дополнительная погрешность из-за влияния магнитного поля не превышает 1,5 % нормирующего значения прибора и равна ±0,0225 В (0,015 · 1,5). Дополнительная температурная погрешность, обусловленная отклонением температуры от нормальной (20 °С) на 10 °С, не превышает 60 % предела допускаемой основной погрешности, эта дополнительная погрешность равна ±0,0045 В (0,0075 · 0,6).

Оценивание погрешности результата измерения

Погрешность метода определяется соотношением между сопротивлением участка цепи R и сопротивлением вольтметра RV. Сопротивление вольтметра известно: RV = 1000 Ом. При подсоединении вольтметра к цепи исходное напряжение Ux изменяется на

U Ux R RR .V

Отсюда методическая погрешность M в абсолютной форме

Методическая погрешность δМ в относительной форме

Оцененная методическая погрешность является систематической составляющей погрешности измерений и должна быть внесена в результат измерения в виде поправки 0,004 В. Тогда результат измерения Ã с

учетом поправки на систематическую погрешность

à = 0,90 + 0,004 = 0,904 В.

Находят границы погрешности результата измерения.

Поскольку основная погрешность применяемого средства измерений и его дополнительные погрешности заданы границами, следует рассматривать эти погрешности как неисключенные систематические. Воспользовавшись формулой (5), находят доверительную границу неисключенной систематической погрешности результата измерения при доверительной вероятности Р = 0,95:

0,95 1,1 0,00752 0,02252 0,00452 0,02655 B .

Результат измерения следует представить в форме

à = 0,904 В; (Р) = ±0,027 В; Р = 0,95 или (0,904 ± 0,027) В; Р = 0,95.

72

Список нормативной и справочной литературы

1.ГОСТ 8.207-76. Государственная система обеспечения единства измерений. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Основные положения.

2.ГОСТ 8711-93 (МЭК 51-2-84). Приборы аналоговые показывающие электроизмерительные прямого действия и вспомогательные части к ним. Часть 2. Особые требования к амперметрам и вольтметрам.

3.ГОСТ Р 8.563-2009. Государственная система обеспечения единства измерений. Методики (методы) измерений.

4.РМГ 43-2001. Государственная система обеспечения единства измерений. Применение «Руководства по выражению неопределенности измерений».

5.РД 50-453-84. Характеристики погрешности средств измерений в реальных условиях эксплуатации. Методы расчета.

6.МИ 1317-2004. Государственная система обеспечения единства измерений. Результаты и характеристики погрешности измерений. Формы представления. Способы использования при испытаниях образцов продукции и контроле их параметров.

Вопросы для контроля знаний студентов

1.Что такое суммарная стандартная неопределенность?

2.КаквычисляютрасширеннуюнеопределенностьдляуровнядоверияР?

3.Что является составляющими погрешности результата однократного измерения?

4.Как оценивается неисключенная систематическая погрешность?

5.Как вычисляют суммарную стандартную неопределенность, оцениваемую по типу В?

Задания для студентов

По заданию преподавателя рассчитать погрешности измерения показывающим прибором.

73

Практическое занятие 4 ПРЯМЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

С МНОГОКРАТНЫМИ НАБЛЮДЕНИЯМИ. МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ НАБЛЮДЕНИЙ

Цель работы – ознакомить студентов с методами обработки результатов наблюдений.

Общие положения

При статистической обработке группы результатов наблюдений следует выполнить следующие операции:

исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений;

вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения;

вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата наблюдения;

вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения;

проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению;

вычислить доверительные границы случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения;

вычислить границы неисключенной систематической погрешности (неисключенных остатков систематической погрешности) результата измерения;

вычислить доверительные границы погрешности результата измерения. Проверку гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, следует проводить с уровнем значимости q от 10 до 2 %. Конкретные значения уровней значимости должны быть ука-

заны в конкретной методике выполнения измерений.

Для определения доверительных границ погрешности результата измерения доверительную вероятность Р принимают равной 0,95.

Втех случаях, когда измерение нельзя повторить, помимо границ, соответствующих доверительной вероятности Р = 0,95, допускается указывать границы для доверительной вероятности Р = 0,99.

Вособых случаях, например при измерениях, результаты которых имеют значение для здоровья людей, допускается вместо Р = 0,99 принимать более высокую доверительную вероятность.

74

Термины и определения

Неисправленный результат наблюдения – результат наблюдения до введения поправок с целью устранения систематических погрешностей.

Исправленный результат наблюдения – результат наблюдения,

получаемый после внесения поправок в неисправленный результат наблюдения.

Неисправленный результат измерения – среднее арифметическое результатов наблюдений до введения поправок с целью устранения систематических погрешностей.

Исправленный результат измерений – результат измерения, полу-

чаемый после внесения поправок в неисправленный результат измерения.

Группа результатов наблюдений – совокупность результатов наблюдений, полученная при условиях, которые в соответствии с целью измерения необходимы для получения результата измерения с заданной точностью.

Исключенная систематическая погрешность результата измерения –

систематическая погрешность, которая остается неустраненной из результата измерения.

1. Результат измерения и оценка его среднего квадратического отклонения

Способы обнаружения грубых погрешностей должны быть указаны в методике выполнения измерений.

Если результаты наблюдений можно считать принадлежащими к нормальному распределению, грубые погрешности исключают в соответствии с указаниями НТД.

За результат измерения принимают среднее арифметическое результатов наблюдений, в которые предварительно введены поправки для исключения систематических погрешностей.

Если во всех результатах наблюдений содержится постоянная систематическая погрешность, допускается исключать ее после вычисления среднего арифметического неисправленных результатов наблюдений.

Среднее квадратическое отклонение σ результата наблюдения оценивают согласно НТД.

75

Среднее квадратическое отклонение A результата измерения оценивают по формуле

2. Доверительные границы случайной погрешности результата измерения

Доверительные границы случайной погрешности результата измерения в соответствии с настоящим стандартом устанавливают для результатов наблюдений, принадлежащих нормальному распределению.

Если это условие не выполняется, методы вычисления доверительных границ случайной погрешности должны быть указаны в методике выполнения конкретных измерений.

При числе результатов наблюдений n > 50 для проверки принадлежности их к нормальному распределению по НТД предпочтительным является один из критериев: χ2 Пирсона или ω2 Мизеса-Смирнова.

При числе результатов наблюдений 50>n>15 для проверки принадлежности их к нормальному распределению предпочтительным является составной критерий, вычисляемый следующим образом.

При числе результатов наблюдений n < 50 нормальность их распределения проверяют при помощи составного критерия.

Критерий 1. Вычисляют отношение d

76

Результаты наблюдений группы можно считать распределенными нормально, если

Критерий 2. Можно считать, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, если не более m разностей xi A превзошли

значение zp/2 S, где S – оценка среднего квадратического отклонения, вычисляемая по формуле

77

При уровне значимости, отличном от предусмотренных в табл. 2, значение Р находят путем линейной интерполяции.

В случае, если при проверке нормальности распределения результатов наблюдений группы для критерия 1 выбран уровень значимости q1, а для критерия 2 – q2, то результирующий уровень значимости составного

критерия q ≤ q1 + q2.

В случае, если хотя бы один из критериев не соблюдается, то считают, что распределение результатов наблюдений группы не соответствует нормальному.

При числе результатов наблюдений n ≤ 15 принадлежность их к нормальному распределению не проверяют. При этом нахождение доверительных границ случайной погрешности результата измерения по настоящей методике возможно в том случае, если заранее известно, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению.

Доверительные границы ε (без учета знака) случайной погрешности результата измерения находят по формуле

t S A ,

где t – коэффициент Стьюдента, который в зависимости от доверительной вероятностиРичисларезультатовнаблюденийn находятпотабл. 3.

Таблица 3 Значения коэффициента t для случайной величины, имеющей

распределение Стьюдента с n-1 степенями свободы

3. Доверительные границы неисключенной систематической

погрешности результата измерения

Неисключенная систематическая погрешность результата образуется из составляющих, в качестве которых могут быть неисключенные систематические погрешности: метода; средств измерений; вызванные другими источниками.

78

В качестве границ составляющих неисключенной систематической погрешности принимают, например, пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если случайные составляющие погрешности пренебрежимо малы.

При суммировании составляющих неисключенной систематической погрешности результата измерения неисключенные систематические погрешности средств измерении каждого типа и погрешности поправок рассматривают как случайные величины. При отсутствии данных о виде распределения случайных величин их распределения принимают за равномерные.

Границы неисключенной систематической погрешности Θ результата измерения вычисляют путем построения композиции неисключенных систематических погрешностей средств измерений, метода и погрешностей, вызванных другими источниками. При равномерном распределении неисключенных систематических погрешностей эти границы (без учета знака) можно вычислить по формуле

m

k i2 ,

i 1

где Θi – граница i-й неисключенной систематической погрешности;

k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью. Коэффициент k принимают равным 1,1 при доверительной вероятности Р = 0,95.

При доверительной вероятности Р = 0,99 коэффициент k принимают равным 1,4, если число суммируемых неисключенных систематических погрешностей более четырех (m>4). Если же число суммируемых погрешностей равно четырем или менее четырех (m ≤ 4), то коэффициент k определяют по графику зависимости (рис. 1).

Рис. 1. График зависимости k =f (m, l):

m – число суммируемых погрешностей; l 1 ; кривая 1 – m = 2; кривая 2 –

2 m = 3; кривая 3 – m = 4

79

При трех или четырех слагаемых в качестве Θ1 принимают составляющую, по числовому значению наиболее отличающуюся от других, в качестве Θ2 следует принять ближайшую к Θ1 составляющую.

Доверительную вероятность для вычисления границ неисключенной систематической погрешности принимают той же, что при вычислении доверительных границ случайной погрешности результата измерения.

4. Граница погрешности результата измерения

погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата = ε.

Если S A > 8, то случайной погрешностью по сравнению с система-

тическими пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата = Θ. Погрешность, возникающая из-за пренебрежения одной из составляющих погрешности результата измерения при выполнении указанных неравенств, не превышает 15 %. В случае, если вышеуказанные неравенства не выполняются, границу погрешности результата измерения находят путем построения композиции распределений случайных и неисключенных систематических погрешностей, рассматриваемых как случайные величины в соответствии с п. 3. Если доверительные границы случайных погрешностей найдены в соответствиисп. 2, допускаетсяграницыпогрешностирезультатаизмерения (безучетазнака) вычислитьпоформуле

KS ,

где K – коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей;

SΣ – оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.

Оценку суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения вычисляют по формуле

i 1

80