1075

Задание 19

Числитель общего члена последовательности 32 , 59 , 278 ,... является

членом арифметической прогрессии с разностью d=3, а знаменатель – членом геометрической прогрессии со знаменателем q=3. Указать общий член заданной последовательности

11

Решение

Общий член числителя

an a1 d n 1 2 3 n 1 3n 1

Все три ряда – знакоположительные. Для выяснения их сходи4 мости воспользуемся признаками сходимости знакоположительных рядов.

Необходимое условие сходимости не выполняется; ряд расходится.

сходится, если p 1, так что по первому признаку сравнения ряд б) сходится (p=3>1)

Третий ряд, составленный из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии, так же сходящийся.

Ответ: 3) только б) и в) .

12

Задание 21

Решение

Для отыскания радиуса сходимости степенного ряда воспользуемся

Решение

Данное уравнение является дифференциальным уравнением I4го порядка с разделяющимися переменными. Действительно, с учетом

y dxdy получим

13

Задание 23

Общее решение дифференциального уравнения y sin 3x имеет вид…

1)y 271 cos3x C1x C3 ;

2)y 1 cos3x C1 x 2 C2 x C3 ; 27 2

Решение

Заданное уравнение – третьего порядка. Будем постепенно понижать порядок, интегрируя обе части уравнения по х.

y sin 3xdx 13 cos3x C1 ;

где С1, C2, C3 R .

Задание 24

Общее решение линейного однородного дифференциального урав4 нения второго порядка y 6y 5y 0 имеет вид…

14

Для дискретной случайной величины сумма вероятностей всех возможных значений равна единице. Поэтому

0,3 p2 0,1 0,2 1.

Откуда p2 0,4 . Ответ: 4) 0,4.

Задание 26

Случайная величина X задана рядом распределения

Математическое ожидание

n

MХ xi pi 1 0,2 0 0,3 1 0,5 0,3 .

i 1

Математическое ожидание случайной величины Х 2 определится в виде:

Тогда искомая дисперсия равна D Х 0,7 0,32 0,7 0,09 0,61. Ответ: 3) 0,61.

15

Задание 27

В магазине формируются подарочные наборы из конфет 5 видов в коробках, по три разных коробки в каждом наборе. Сколькими спосо4 бами это можно сделать?

Решение

Здесь одна комбинация будет отличаться от другой только соста4 вом элементов, порядок расположения безразличен. Количество всех возможных комбинаций – это число сочетаний из пяти элементов по 3.

Ответ: 1) 10.

Задание 28

Определить значение а, если данная гистограмма частот построена по выборке объемом n=50?

ni

h

Решение

Так как шаг h 1, то на вертикальной оси гистограммы фактически отмечены частоты значений. Их сумма, как известно, должна быть равна объему выборки: 4 12 16 a 50. Значит, а=18.

Ответ: 2) 18.

Задание 29

Мода вариационного ряда 2, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 9, 12, 13 равна … 1) 13 ; 2) 5; 3) 7 ; 4) 9 .

Решение

Мода – варианта с наибольшей частотой. Из всех вариант чаще всего в выборке встречается число 5.

Ответ: 2) 5.

16

x cos , y sin . Тогда исходное уравнение примет вид: 2 2 cos2 2 2 sin2 72 ;

2 2 cos2 sin2 72; 2 2 72 ;

2 36 .

Так как 0 , то уравнение примет вид 6 . Ответ: 3) 6 .

Задание 31

Имеются две урны, в первой – 5 белых и 5 черных шаров, во вто4 рой – 3 белых и 7 черных шаров. Из наудачу взятой урны выта4

Решение

Обозначим события:

А – извлечение белого шара; В1 – выбор первой урны В2 – выбор второй урны

Найдем условные вероятности P A / B1 105 , P A / B2 103 . Вы4 бор урн равновозможен, то есть P B1 P B2 12 . Тогда по формуле полной вероятности:

P A P A / B1 P B1 P A / B2 P B2 105 12 103 12 0,4 . Ответ: 4) 0,4.

17

Задание 32

f i 3i2 3 .

Ответ: 1) 3 .

Задание 33

1. Выберите из трех сложных высказываний только истинные: А) 45 делится на 15 тогда и только тогда, когда 121 делится на 11; Б) 25 64 или Москва – столица России; В) Если 4 – четное число, то 12 делится на 5.

Решение

Высказывание А представляет собой эквивалентность двух простых высказываний: «45 делится на 15» и «121 делится на 11». Эквивалент4 ность двух выражений истинна только тогда, когда оба высказывания одновременно истинны или одновременно ложны. Оба высказывания истинны, значит и сложное высказывание А – истинно.

Высказывание Б представляет собой дизъюнкцию двух простых высказываний: « 25 64 » и «Москва – столица России». Дизъюнкция двух высказываний ложна только тогда, когда ложны оба входящих в неё высказывания. Первое из простых высказываний – ложно, а вто4 рое – истинно, следовательно, их дизъюнкция – истинна.

Высказывание В представляет собой импликацию двух простых высказываний: «4 – четное число» и «12 делится на 5». Импликация ложна только в том случае, если условие истинно, а следствие – ложно. Первое из простых высказываний (условие) – истинно, а второе (следствие) – ложно. Значит, высказывание В – ложно.

Ответ: 1) А и Б.

18

Задача 34

Матрица смежности для графа имеет вид:

Решение

В матрице смежности А орграфа элемент aij 1, если есть дуга,

которая ведет от вершины i к вершине j, и равен нулю в противном случае. Граф имеет четыре вершины, значит его матрица смежности содержит четыре строки и четыре столбца. Вершина 1 является нача4 лом только одной дуги: от 1 к 3 , значит в первой строке матрицы только один элемент a13 1, а остальные равны нулю. Аналогично

заполняются остальные три строки матрицы. Матрица смежности графа имеет вид:

19

Задача 35

Списком дуг ориентированного графа является… 1) 1,1, 2, 3 ;

3)(1,1), (1, 2), (2,3), (3,1), (3,3) ;

4)(1,1), (1,2), (1,3), (3,2) .

Дуга – это ориентированное ребро. Дуга (1, 2) свидетельствует о том, что в орграфе есть путь от вершины 1 (начало) до вершины 2 (ко4 нец). В данном графе есть дуги, ведущие от вершины 1 к вершине 2 – дуга (1, 2), от вершины 1 к вершине 3 – дуга (1, 3), от вершины 3 к вершине 2 – дуга (3, 2), а также дуга, соединяющая вершину 1 саму с собой – дуга (1, 1). Значит список дуг орграфа имеет вид:(1,1), (1,2), (1,3), (3,2) .

Ответ: 4). (1,1), (1,2), (1,3), (3,2)

20