1049
.pdf
возникших квантов, принимая, что кинетическая энергия нейтрона и антинейтрона до их столкновения пренебрежимо мала.
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|||
mn 1,675 10 27 кг |
|
|
Запишем уравнение аннигиляции нейтрона |
|||||
|
|
и антинейтрона |
01n 01n 2 . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Суммарная энергия нейтрона и антиней- |
|||||
|
|
|
||||||
|
|
трона до столкновения |
||||||
|
|
|
|
W 2m c2. |
||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
Согласно закону сохранения энергии, энергия каждого из двух воз- |
||||||||
никших -квантов |
|
W |
|
2mc2 |
|
|||
|
|
W |
|
|
mc2. |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
W 1,675 10 27 3 108 2 942 МэВ
Ответ: W 942 МэВ
Пример 5. Определите красную границу фотоэффекта, если энергия фотона 5 эВ, а кинетическая энергия электрона равна работе выхода.
Дано: |
Решение |
|
5 эВ 5 1,6 10 19 Дж 8 10 19 Дж |
||
Eк A |
Красной границей фотоэффекта |
|
называют наибольшую длину волны |
||
|
||
|
света, с которой начинает наблю- |
|
к ? |
||
даться фотоэффект. |
Энергия фотона, падающего на поверхность металла, hv A Eк ,
где – энергия фотона; A работа выхода электрона из металла; Eк ки-
нетическая энергия электрона. Так как
c , то h c A Eк ,
где – длина волны падающего света.
Фотоэффект начинается при условии, если энергия падающего фотона становится равной работе выхода
hc A,
к
где к – красная граница фотоэффекта.
121
По условию задачи Eк A, поэтому
2A 2h c ,
к
откуда
к 2hc .
к |
2 6,63 10 34 3 108 |
4,97 10 7 |
м. |
|
8 10 19 |
|
|
Ответ: к 4,97 10 7 м.
Пример 6. Определите длину волны де Бройля для электрона, движущегося по первой боровской орбите в атоме водорода.
Дано: |
|
|
Решение |
|
|
e 1,6 10 19 Кл |
Согласно теории де Бройля, движущейся частице |
||||
m 9,1 10 31 кг |
соответствует длина волны |
|
|||
e |
|
h |
(1) |
||
|
|
||||
0 8,85 10 12 Ф/м |
|
|
|||
p |
|||||
h 6,62 10 34 Дж·с |
где p импульс частицы, |
|
|||
n 1 |
p mc . |
(2) |
|||
? |
|||||
|
|
|
|
||
Зависимость скорости электрона от порядкового номера орбиты выражается формулой
e2 , 2n 0h
Подставив (2) и (3) в выражение (1), получим
|
|
|
h 2n |
h |
|
2n |
h2 |
. |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
m e2 |
|
|
m e2 |
|
|
|
|
10 12 6,622 10 68 |
e |
|
|
e |
|
|
|
|
2 8,85 |
3,3 10 10 м. |
|
|
|||||
|
9,1 10 31 1,62 10 38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 7. Атом испустил фотон с длиной волны
(3)
Ответ: 3,3 10 10 м.
0,55 мкм. Про-
должительность излучения t 10 нс. Определите наименьшую погрешность, с которой может быть измерена длина волны излучения.
Дано: |
|
Решение |
|
|
|
|
|
||
0,55 мкм 0,55 10 6 м |
|
Энергия фотона |
c |
|
t 10 нс |
|
E h v h |
, |
|
|
|
|
||
? |
|
122
dE hc d |
или |
E hc , откуда E 2 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
hc |
|
|
Соотношение неопределенностей Гейзенберга для энергии и времени |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E t |
|
h |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
Отсюда |
|
|
|
|
E |
|
h |
. |
|
|
||||||
|
|
|
t |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||
Подставляя |
E в формулу для , получим |
. |
||||||||||||||
t2 c |
||||||||||||||||
|
|
|
0,55 10 6 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
1,6 10 14 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10 |
8 |
2 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
3,14 3 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1,6 10 14 м |
|||
|
|
|
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ |
|||||||||||||
1. Определите, |
какую часть массы нейтрального атома C 12 |
|||||||||||||||
( m 19,9272 10 27 |
кг) составляет масса его электронной оболочки. |
|||||||||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: mоб 2,74 10 4 . ma
2.Определите число протонов и нейтронов, входящих в состав трех изотопов бора 95 B ; 105 B; 115 B .
3.Определите зарядовые числа ядер, массовые числа и символы ядер,
которые получаются, если в ядрах 94 Be, 137 N и 2311 Na нейтроны заменить протонами, а протоны нейтронами.
4.Определите плотность ядерного вещества, выражаемую числом нуклонов в 1 см3, если в ядре с массовым числом A все нуклоны плотно упакованы в пределах его радиуса.
Ответ: 8,7 1037 кг/м3.
5.Ядро состоит из 92 протонов и 144 нейтронов. Сколько протонов и нейтронов будет содержать ядро после испускания двух альфа-частиц и одной бета-частицы?
6.Ядро тория 23090Th превратилось в ядро радия 22688 Ra . Какую частицу при этом ядро тория испустило?
123
7. Сколько альфа-распадов и бета-распадов должно произойти при радиоактивном распаде ядра урана 23892 U и конечном превращении его в ста-
бильное ядро свинца 19882 Pb ?
8.Какая часть исходных радиоактивных ядер распадается за время, равное двум периодам полураспада?
9.Начальное число ядер радиоактивного изотопа 1010 , его период полураспада равен 20 мин. Сколько ядер останется нераспавшимися через 40 минут?
10.Постоянная распада изотопа радия 21988 Ra равна 700 c 1 . За какое время число радиоактивных ядер уменьшится в e2 ( e 2,7 ) раз?
11.Масса покоя ядра дейтерия 21H на 3,9 10 30 кг меньше суммы масс покоя нейтрона и протона. Какая энергия выделяется в ядерной реакции
11 p 01n 21H ?
12. |
Выделяется |
или поглощается энергия |
в ядерной реакции: |
|
239 Pu 106 Tc 133Sb ? |
Чему равен энергетический выход этой реакции? |
|||
94 |
43 |
51 |
|
|
Атомные массы участвующих в ней частиц: 239 Pu |
– 239,05 а.е.м., 106 Tc – |
|||
|
|
|
94 |
43 |
105,91 а.е.м., 13351Sb – 132,92 а.е.м.
13. Чему равно отношение длин волн де Бройля протона и нейтрона, если они двигаются с одинаковыми скоростями?
14. Найдите отношение скоростей протона и альфа-частицы, длины волн де Бройля которых одинаковы.
15. Отношение скоростей двух микрочастиц 1 4. Чему равно отно-
2
шение масс этих частиц m1 , если их длины волн де Бройля удовлетворяют m2
соотношению 2 2 1 ?
16. Электрон локализован в пространстве в пределах x 1,0 мкм. Учитывая, что постоянная Планка 1,05 10 34 Дж с, а масса электрона
124
m 9,1 10 31 кг, найдите наименьшее значение неопределенности скорости
x (в м/с).
17. Положение пылинки массой m 10 9 кг можно установить с неопределенностью x 0,1 мкм. Учитывая, что постоянная Планка
1,05 10 34 Дж с, найдите наименьшее значение неопределенности скорости x (в м/с).
18.Катод вакуумного фотоэлемента освещается светом с энергией квантов 10 эВ. Фототок прекращается при подаче на фотоэлемент задерживающего напряжения 4 В. Чему равна работа выхода электронов из катода (в эВ)?
19.При освещении металла излучением с длиной волны 0 фототок прекращается при задерживающем напряжении U0 . Если изменить длину
волны излучения в 1,5 раза, то задерживающее напряжение увеличится в 2 раза. Работа выхода электронов из металла 4 эВ. Чему равно задерживающее напряжение U0 в вольтах для излучения с длиной волны 0 ?
20. На рисунке дана схема энергетических уровней атома водорода, а также условно изображены переходы электрона с одного уровня на другой, сопровождающиеся излучением кванта энергии. Чему равно отношение максимальной частоты линии серии Пашена к минимальной частоте линии серии Бальмера?
Ответ: 4 / 5 .
3.6. ЗАКОНЫ ТЕРМОДИНАМИКИ
Задачи этого раздела посвящены применению первого начала термодинамики к процессам, происходящим в идеальном газе. При этом предполагается, что эти процессы являются квазистатическими (все промежуточные состояния равновесны). Это позволяет записывать уравнение первого начала термодинамики сразу в интегральной форме.
Анализ задач целесообразно начинать с графического изображения процессов. Для лучшего понимания рассматриваемых явлений важно использовать молекулярно-кинетические представления.
125
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Кислород занимает объем V1 1 м3 и находится под давлением p1 200 кПа. Газ нагрели сначала при постоянном давлении до объема V2 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления p2 500 кПа. По-
стройте график процесса и найдите: 1) изменение U внутренней энергии газа; 2) совершенную им работуA; 3) количество теплоты Q , пере-
данное газу.
Дано: |
Решение: |
|
||
V 1 м3 |
Построим график |
процесса (см. |
рисунок). |
|
1 |
На графике точками 1, 2, 3 обозначены состояния |
|||
p1 200 кПа |
||||
3 |
газа, характеризуемые |
параметрами |
( p1,V1,T1), |
|
V2 3 м |
( p1,V2 ,T2 ), ( p2 ,V2 ,T3 ) . |
|
|
|
p2 500 кПа |
|
|
||
1. Изменение внутренней энергии газа при пе- |
||||
1) U ? ; 2) А = ?; |
||||
реходе его из состояния 1 в состояние 3 выражает- |
||||
3) Q = ? |
ся формулой |
|
|
|
|
|
|
||
U cV m T ,
где cv удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; m масса га-
за; T разность температур, соответствующих конечному 3 и начальному 1 состояниям, т.е. T T3 T1 .
|
Так как cv |
i R |
|
; где M |
молярная масса газа, |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
M |
|
|||||||||||||
|
то U |
i |
|
m |
R(T |
T ) . |
(1) |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 M |
3 |
1 |
|
|
||||||
|
Температуры Т1 и Т3 выразим из уравнения |
||||||||||||||||
|
Клапейрона-Менделеева ( pV |
|
m |
RT ) : |
|
||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|||
|
|
T |
|
Mp1V1 |
; T |
Mp2V2 |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
mR |
3 |
|
|
|
mR |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
С учетом этого равенство (1) перепишем в виде
U (i
2)( p2V2 p1V1) .
Подставив в эту формулу значения величин (учтем, что для кислорода, как двухатомного газа, i 5 ) и выполнив вычисления, получим
U 3,25МДж.
2. Полная работа, совершаемая газом, равна A A1 A2 , где A1 работа на участке 1 – 2; A2 работа на участке 2 – 3.
На участке 1 – 2 давление постоянно ( p const) . Работа в этом случае выражается по формуле A1 p1 V p1(V2 V1) . На участке 2 – 3 объем газа
126
не изменяется и, следовательно, работа газа на этом участке равна нулю (A2 0) . Таким образом,
А A1 p1(V2 V1) .
Подставив в эту формулу значения физических величин, получим
A 0,4 МДж.
3. Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q ,
переданное газу, равно сумме работы A , совершенной газом, |
и изменению |
U внутренней энергии: |
|
Q U A, или Q 3,65 МДж. |
|
Ответ: 1) U = 2080 Дж; 2) А = 830 Дж; 3) |
Q = 2910 Дж. |
Пример 2. Азот, занимающий при давлении p 105 Па объем V1 10 л,
расширяется вдвое. Определите конечное давление и работу, совершённую газом при следующих процессах: а) изобарном, б) изотермическом, в) адиабатном (см. рис.).
Дано: |
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
Заданное начальное давление позволяет считать газ иде- |
||||||
p 10 Па |
альным. Рассмотрим графики всех процессов в координатах |
||||||
V1 10 л |
p , V . Очевидно, что работа будет тем больше, чем выше |
||||||
A ? p ? |
|||||||
пройдет кривая, т.е. чем больше давление в течение процес- |
|||||||
|
са. Исходя из молекулярно-кинетической теории давление |
||||||
|
определяется силой ударов молекул о стенки и частотой |
||||||
|
ударов. |
|
|
|
|||
Согласно |
основному уравнению моле- |
||||||
кулярно-кинетической теории, |
|||||||
|
|
2 |
|
m |
2 |
|
|
|
p |
n |
0 |
|
. |
||
|
3 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|||
Это уравнение |
есть |
следствие того, |
|||||
что сила, действующая на стенку сосуда, определяется (по абсолютному значению) числом ударов, испытываемых стенкой за некоторое время, и силой этих ударов.
При изобарном 1-2 процессе расширение происходит при непрерывном увеличении температуры, что соответ-
ствует увеличению силы отдельных ударов, испытываемых стенками сосуда. Частота ударов уменьшается вследствие увеличения объема так, что давление остается постоянным.
При изотермическом 1-3 процессе кинетическая энергия молекул не изменяется, и давление уменьшается только в результате уменьшения числа ударов, испытываемых стенкой.
127
При адиабатном 1-4 процессе кинетическая энергия молекул, отдаваемая движущемуся поршню, не пополняется извне. Поэтому адиабатное расширение происходит при более резком, чем при постоянной температуре, падении давления (уменьшается и частота ударов, и сила ударов).
Работа при изобарном процессе
A12 p1(V2 V1) 1000 Дж.
При изотермическом процессе конечное давление
p p V |
/ V 0,5 105 |
Па. |
|
|||||
3 |
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Работа газа |
|
|
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
|
V2 dV |
|
|
V |
|
|
A13 pdV p1V1 |
V |
|
|
2 |
|
|
||
p1V1 ln |
|
690 |
Дж. |
|||||
V |
||||||||
V1 |
|
|
V1 |
|
|
1 |
|
|
При адиабатном процессе конечное давление |
|
|
||||||
|
p |
p (V / V ) . |
|
|
|
|||
|
4 |
|
1 |
1 |
2 |
(i 2) / i 1,4 . Тогда |
||
Азот – двухатомный |
газ, |
поэтому |
||||||
p4 0,38 105 Па.
Работа, совершаемая газом при адиабатном расширении, равна убыли внутренней энергии газа:
A14 U14 Mm 2i R(T1 T4 ) .
Из уравнения Клапейрона-Менделеева, записанного для начального и конечного состояний, получим:
m |
RT p V , |
m |
RT p V . |
||||
|
|
||||||
M |
1 |
1 |
1 |
M |
4 |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
Подставляя эти выражения в формулу для работы, находим
A14 2i ( p1V1 p4V2 ) 600 Дж.
Ответ: A12 1000 Дж; p3 0,5 105 Па; A13 690 Дж; p4 0,38 105 Па; A14 600 Дж.
Пример 3. Температура нагревателя тепловой машины 500 K. Температура холодильника 400 K. Определите КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно, и полную мощность машины, если нагреватель ежесекундно передает ей 1675 Дж теплоты.
Дано: |
|
Решение: |
|
|
|
|
|||
T1 500 K |
|
|
КПД тепловой машины |
|
T 400 K |
|
|
(T1 T2 ) / T1, |
(1) |
2 |
|
|
A / Q1 . |
(2) |
Q 1675 Дж |
|
|||
1 |
|
|
|
|
1) ? 2) |
N ? |
|
|
|
128
Из выражений (2) и (1) находим
A Q1 T1 T2 / T1 Q1. 500 400 0,2; 500
A 0,2 1675 335 Дж.
Эта работа совершается за 1 с, следовательно, полная мощность машины N 335 Вт.
Ответ: 1) 0,2 ; 2) N 335Вт.
Пример 4. Горячая вода некоторой массы отдает теплоту холодной воде такой же массы, и температуры их становятся одинаковыми. Покажите, что энтропия при этом увеличивается.
Решение:
Пусть температура горячей воды T1 , холодной T2 , а температура смеси
. Определим температуру смеси, исходя из уравнения теплового баланса |
||||||||||||||||
mc T1 mc T2 |
или |
T1 T2 , |
|
|
||||||||||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 T2 / 2 . |
|
|
|
|
|
|
(1) |
||||||
Изменение энтропии, происходящее при охлаждении горячей воды, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S1 cmdTT |
cmln |
|
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
T |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
T1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
Изменение энтропии, происходящее при нагревании холодной воды, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
cmdT |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
S2 |
T |
|
cmln |
|
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
Изменение энтропии системы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
S S |
S |
|
cmln( / T ) cmln( |
|
/ T ) cmln |
|||||||||||
|
|
TT |
||||||||||||||
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|||||||
или с учетом соотношения (1) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
S cmln |
(T T )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4TT |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как T1
ln (T1 T2 )2 >0 4TT
1 2
Тогда S >0
>T , то |
T T |
|
2 |
> 4TT , следовательно |
(T T )2 |
>1 и |
|||
|
1 |
2 |
|||||||
2 |
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
4TT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
т.е. энтропия возрастает.
Ответ: энтропия смеси возрастает.
129
ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Азот массой m 280 г расширяется в результате изобарного процесса при давлении p 1 МПа. Определите: 1) работу расширения; 2) конеч-
ный объем газа, если на расширение затрачена теплота Q 5 кДж, а начальная температура газа Т1 290 K.
Ответ: 1) A 1,43 кДж; 2) V2 0,026 м3.
2. Какое количество теплоты нужно сообщить 1000 моль кислорода, чтобы он совершил работу 1000 Дж 1) при изотермическом процессе; 2) при изобарном?
Ответ: QT 1 103 Дж; Qp 3,5 103 Дж.
3. Определите количество теплоты, сообщенное 20 г азота, если он был нагрет от 27 до 177˚C. Какую работу при этом совершил газ и как изменилась его внутренняя энергия?
Ответ: Q 3,1·103 Дж; A 8,9·102 Дж; U 2,2·103 Дж.
4. При изобарическом сжатии азота была совершена работа, равная 12 кДж. Определить затраченное количество теплоты и изменение внутренней энергии газа.
Ответ: Q 42кДж; U 30кДж.
5. Определите работу расширения 7 кг водорода при постоянном давлении, а также количество теплоты, переданное этому водороду, при условии, что в процессе нагревания температура повысилась на 200°С.
Ответ: A 5,82 103 Дж; Q 20,4 103 кДж.
6. Определите количество теплоты, сообщенное газу, если в процессе изохорного нагревания кислорода объемом V 20 л его давление изменилось на p 100 кПа.
Ответ: Q 5 кДж.
7.Определите работу идеальной тепловой машины за один цикл, если она в течение цикла получает от нагревателя количество теплоты 2095 Дж. Температура нагревателя 500 K, температура холодильника 300 K.
Ответ: А 838 Дж
8.Тепловая машина работает по циклу Карно. Температура нагревателя 127°С, холодильника 15°С. На сколько надо изменить температуру нагревате-
130