1017

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет Архитектуры и Строительства

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Начальное приближение взять из интервала

0,1m x1 0,1m;

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.06.2024

Размер:

1.05 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Порядок выполнения работы

В процессе проведения лабораторной работы студент должен выполнить следующие задания:

1.Ознакомиться с теоретическим материалом.

2.Выполнить по 3 шага минимизации функции:

Решить методами покоординатного спуска, Хука и Дживса, градиентного спуска, сопряженного градиента, Ньютона и с помощью системы

Mathcad.

3.Составить отчет.

4.Защитить работу.

Контрольные вопросы

1. Чем принципиально различаются методы минимизации нулевого, первого и второго порядков?

8.Почему для функций «овражного типа» методы первого порядка не являются эффективными?

9.В чем преимущество методов минимизации, использующих производные функции, перед методами, не использующими производные?

11.Для чего в методе Хука и Дживса проводится исследующий поиск вокруг базовой точки?

12.В каких случаях минимизация функции методом Ньютона может быть выполнена за один шаг?

Раздел 5. ЭЛЕМЕНТЫ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Лабораторная работа 7. Задача нелинейного программирования

Целью проведения студентом лабораторной работы 7 является:

– формирование умения и навыков решения задач нелинейного программирования.

Теоретические основы

Задача нелинейного программирования (ЗНП): найти оптимум (минимум или максимум) некоторой целевой функции

f (x1 , ..., xn ) min
					x1 , ..., xn
при заданных ограничениях на переменные x1, x2 , , xn в виде равенств и
неравенств:		(x	, ..., x			i I;
	i			n	) 0,
		1	, ..., x		) 0,	l L .
	l	(x		n
		1

Здесь f, Φi, Φl – в общем случае нелинейные функции.

Метод множителей Лагранжа

Это один из немногих аналитических методов решения ЗНП, позволяющий в ряде случаев найти точное решение задачи с ограничениями типа равенств. Рассмотрим его на примере решения ЗНП с двумя переменными x, y и одним ограничением, заданным в виде равенства:

z f (x, y) min;
	x, y
	x, y

(x, y) 0.
Может возникнуть три случая решения:
1)	Пусть равенство (x, y) 0 можно преобразовать к виду	y (x) .

Тогда z f x, (x) , и задача сводится к задаче на нахождение минимума функции одной переменной.

2) (x, y) 0 можно преобразовать к параметрическому заданию: y n(t), x m(t) . Тогда z f m(t), n(t) – также задача на нахождение минимума функции одной переменной.

3) (x, y) 0 не преобразуется ни к первому, ни ко второму виду. Вычислим полную производную функции z по переменной x (считая y завися-

щей от x):

dz fx f y yx .

Так как

x y yx , а

0, то

fx fy

В точке экстремума

dz 0 ,

следовательно,

f y

или

f y

где – некоторая константа.

Получили систему уравнений:

fx x, y

x x, y 0,

f y x, y y x, y 0,

x, y 0,

откуда находим искомые значения x, y, т.е. точку, подозрительную на экстремум.

Если ввести следующее обозначение:

x, y f x, y x, y ,

то систему можно записать в более удобной форме:

x 0,0 ,y 0.

Заметим, что после определения точки, подозрительной на экстремум, выяснить, является ли эта точка точкой минимума, максимума или стационарной точкой, можно, как правило, после дополнительного анализа поведения целевой функции в окрестности найденной точки.

Решение.

Построим функцию x, y :

											2		y	2
x, y xy										x			y		1 .
x, y xy															1 .
												2
								8				2
Для решения ЗНП запишем систему
			x					0,
y				4				0,
				4
		y 0,
x		y 0,
		2			y		2
	x				y				1			0.
8						2			1			0.
Одно из решений этой системы:							x 2, y 1, 2. Определим, явля-
ется ли эта точка точкой максимума.

Кривая	x2	y2	1 0	описывает эллипс на плоскости xOy, причем
	8	2

f (x, y) 0 в точках пересечения эллипса с осями Ox и Oy. В точке P(2,1) f (x, y) 0; следовательно, P(2,1) – точка максимума.

Метод штрафных функций		f (X ) min,
Рассмотримзадачунелинейногопрограммированияввиде		f (X ) min,
X x1, x2 , ..., xn при ограничениях		X
X x1, x2 , ..., xn при ограничениях
i X 0, i 1, 2, ..., m.
Введем в рассмотрение функцию t (рис. 10), удовлетворяющую сле-
дующим условиям:
t 0	при t 0,
t 0	при t 0,
t2 t1	при t2 t1 0,
lim t .
t

Рис. 10. Функция (t)

	m	R r1 , r2 , ..., rm ,
Функция	X , R ri i (x) , где	R r1 , r2 , ..., rm ,	ri 0 , называ-
	i 1

ется штрафной функцией.

Нетрудно заметить, что X , R 0 при выполнении ограничений иX,R 0 при их невыполнении.

Идея метода штрафных функций заключается в преобразовании задачинелинейногопрограммированияпоминимизациифункциисограничениями к решению последовательности задач безусловного минимума вспомогательной функции

X f X X , R .

Очевидно, что при достаточно больших значениях величины ri min X достигается тогда, когда выполнены все ограничения i 0 и функция f X принимает возможно минимальное значение.

Методыштрафнойфункцииделятсянаметодывнутреннейивнешней точки.

Методы внутренней точки используются тогда, когда заранее известна точка X(0), для которой выполняются все ограничения i 0. В этом

случае в качестве X,R можно выбрать одну из функций:

	m
1 X , R r(k ) ln i X ,
	i 1	(5.1)
2	X , R r(k ) 1 .	(5.1)
	m

i 1 i X

Алгоритм метода внутренней точки

1.Задать начальную точку x(0) из области допустимых значений целевой функции и малое число > 0 – точность решения.

2.Выбрать начальное значение вектора R(0) r1(0) , r2(0) , ..., rm0 так, чтобы

компоненты его были сравнимы со значением функции f x(0) . Принять

k0.

3.Составить вспомогательную функцию X f X X , R .

4.Найти точку x* (r(k ) ) безусловного минимума функции ( X ) с помощью какого-либо метода минимизации нулевого, первого или второго по-

рядка. В качестве начальной точки взять x(k ) . Вычислить штрафную функ-

цию x* (r (k ) ), r (k ) .

5.Проверить условие окончания: если достигнута требуемая точностьx* (r(k ) ), r(k ) , процесс поиска закончить:

fx* f x* (r(k ) ) .

Впротивном случае изменить значения вектора R: r ( k 1) cr ( k ) , где c 1; принять x(k 1) x* (r(k ) ), k k 1 и перейти к шагу 3.

	Метод внешней точки необходимо использовать, когда начальные при-
ближения		x(0)			, x(0) , для которых ограничения выполняются, неизвестны. В
		1						2
качестве Χ,R								в этом случае можно принять, например, функцию
																				m
																	X,R r(k ) i (X )										i (X )				2 .		(5.2)
																	X,R r(k ) i (X )										i (X )				2 .		(5.2)
																				i 1
	Алгоритмметодавнешнейточкианалогиченалгоритмуметодавнутрен-
ней точки.
	Пример 25.													F X x 2					10 x 2 2 2 min
	Решить				ЗНП									F X x 2					10 x 2 2 2 min											при			ограничениях
																		1		2						X
	Χ x																									X
	Χ x	x			2	0,							2		Χ x2 x2 0 с известным начальным приближе-
1	1				2								2					1	2
нием X (0)		(2, 1) .
	Решаем методом внутренней точки. Составим штрафные функции по
формулам (5.1):												Χ, R r							ln x	x		r	ln	x			2	x2		,
												Χ, R r							ln x	x	2	r	ln	x			2	x2		,
										1								1	1		2	2				1			2
																	Χ, R r			1		r		1					.
																	Χ, R r			x		r	x2	x2					.
																2			1 x	x	2	2	x2	x2
																			1		2		1					2
	Теперь для решения задачи необходимо минимизировать одну из функ-
ций:				x , x						x2							10 x2		2 2	r ln x x							r ln x2					x2
			1	x , x					2	x2							10 x2		2 2	r ln x x					2		r ln x2					x2
			1			1,			2						1			2		1		1			2				2	1			2
или																		10 x2		2 2 r			1							1
							x			, x				x2									1					r		1			.
						2	x			, x	2			x2									x					r					.
						2		1,			2						1		2			1 x	x			2			2 x2 x2
					1										2							1				2				1		2
	Функция				1				или						2			минимизируется					из			начального							приближения
x(0)	, x(0) приразличныхзначениях r такимобразом, чтобы F Χ быломи-
1	2																			i

нимальным и выполнялись ограничения i 0 .

Если начальные приближения, для которых ограничения выполняются, неизвестны, используем метод внешней точки. В этом случае, в соответствии с формулой (5.2), функция x1, , x2 примет вид:

x1, , x2 x12 10 x22 2 2 r1 x1 x2 x1 x2 r2 x12 x22 x12 x22 .

Седловая точка для задачи нелинейного программирования Рассмотрим задачу на отыскание минимума функции F x1, x2 , , xn

при заданных ограничениях:

min		F(x1 , ..., xn );
x1 , ..., xn
			j 1, , m;
j (x1 , ..., xn ) 0,			j 1, , m;
x		0, k 1, 2, ..., l .
	ik

Построим функцию Лагранжа аналогично функции Лагранжа для решения задач выпуклого программирования. Для этого введем в рассмотрение

вектор
Υ y1 , y2 , ..., ym ,		y j 0, j 1, 2, ..., m
и определим функцию
		m
	L(X ,Y ) F(X ) y j j (x).		(5.3)
		j 1
Точка X * (x, x, ..., x* ) называется точкой Куна – Таккера для задачи
1 2	n

нелинейного программирования, если существует точка Y * ( y1*, y2* , ..., ym* )

,y*j 0, для которой выполняются следующие условия:

1)L (X *, Y * ) 0 для xi 0;

2)L (X *, Y * ) 0 для xi 0;

3) x*	L	(X , Y ) 0 для x		0;
3) x*		(X , Y ) 0 для x		0;
j x			i
	i


4)	L		(X , Y ) 0 для		j 1, 2, ..., m;

	y j
5)	y*j	L		(X , Y ) 0 для		j 1, 2, ..., m.

		y j

Теорема.

Если точка X * является оптимальным решением задачи нелинейного программирования, а функции Fj и j дифференцируемы, то точка X * яв-

ляется точкой Куна – Таккера задачи нелинейного программирования.

Пример 26.

Решить ЗНП методом, основанным на теореме Куна – Таккера:

f (x1 , x2 ) x1 x2 minx1 , x2

при ограничениях

x2	x2		x 0;	x
1	2	1;			2	0.

4	9		1

Решение.

Составим функцию Лагранжа по формуле (5.3):

		2	2
L(x1 , x2 , y1 ) x1 x2		x1	x2

	y1	4	9	1 .
		4	9

Запишем условия теоремы Куна – Таккера:

1)		L			x				2 x						y 0;							x	2	0	;
1)	x2				x				2 x						y 0;							x		0	;
	x2					1			9					2		1
2)		L			x		2			x1 y1							0;				x 0;
2)					x												0;				x 0;
		x1										2										1
		x1										2
	x		L			x			x									2		x y					x		0
3)																						0;						;
3)																						0;						;
		2 x						2				1						9 2 1								2
				2
		L						2						2
4)		L					x1						x2								0;
4)																					0;
		y					4					9
			1
			L											2						2
			L			y1					x1								x2
5) y1 y																		9					0;		y1 0.
5) y1 y												4						9			1		0;		y1 0.
				1

Получим систему уравнений и неравенств.

					2
	x1				2		x2 y1 0;							x2 0;
1)	x1				9		x2 y1 0;							x2 0;
					9
						x1 y1
2)	x					x1 y1					0;		x 0;
2)	x										0;		x 0;
		2					2							1
		2												1
									2
	x2		x1						2		x2 y1			0;
3)	x2		x1						9		x2 y1			0;
									9
				2					2
4)		x1						x2					0;

			4				9				1
			4				9
				x12						x22
				x12						x22
														0.

5) y1												1
				4							9
				4							9

Рассмотрим возможные варианты решения этой системы уравнений и неравенств.

x2 0;

1)x1 0;y1 0.

Это решение удовлетворяет всем соотношениям (1)–(5). Значение целевой функции f (0, 0) 0.

					x y
	x2				1 1		0;
	x2						0;
				2
				2 x
2)	x			2 x		y 0;
			1	9		2	1
			0.	9
	y		0.
		1

	Из этой системы следует также
	x2			0;
				0;					f (0, 0) 0.
	x1			0;					f (0, 0) 0.
	y			0.
			1
								x y
	x2								1 1	0;
	x2								2	0;
							2		2
							2		x2 y1 0;
	3) x1						9		x2 y1 0;
							9
			2				2
		x1			x2				1 0.
									1 0.
	4					9
	Решим эту систему:
y	2x2		x								2 x			2x2						0;	x2			4 x2	x					2
1	x								1		9		2 x									1		9 2			1			3	; т.к.			x2 0 , то,
	1															1															; т.к.			x2 0 , то,
	1															1
следовательно,									x	2 x						. Подставив это выражение в последнее уравнение
									1		3			2						2
системы,			получим:								1						2	x		2		x2		x	2	3		;	x				2	3		2.
системы,			получим:															x				2	1;	x				;	x				3			2.
											4						3		2			9			2	2			1				3	2
Значение целевой функции в найденной точке																														3
																									f		2,					3, следова-
																									f		2,			2		3, следова-
																														2
тельно, точка										2,		3			– точка минимума функции														f (x , x ) x x .
тельно, точка										2,					– точка минимума функции														f (x , x ) x x .
													2																	1		2			1		2
													2

Пример 27.

Решить ЗНП методами множителей Лагранжа и штрафных функций: f x1, x2 0,02ex1 x2 min

при ограничении

40x12 5x22 2.

Решение.

Метод множителей Лагранжа

Запишем ограничение в виде

40x12 5x22 2.

Ограничение в виде неравенства преобразуем в ограничение в виде равенства, добавив неотрицательную переменную u2:

40x12 5x22 2 u2 0.

Сформируем функцию Лагранжа x, y :

x1 , x2 , u, 0,02ex1 x2 40x12 5x22 2 u2 .

Необходимыми условиями, которые должны выполняться в стационарной точке, являются следующие:

	0,02ex1 x2	80 x	0;
x		1
1
	0,02ex1 x2	10 x2	0;

x2
x2
	40x2 5x2 2 u2 0;
	1	2

	2 u 0.

u
u

Перебрав все возможные решения системы

0,02ex1 x2			80 x	0;
			1
			10 x2	0;
0,02ex1		x2
			5x2 2 u2 0;
40x2
	1		2
	0,
2 u

найдем среди них точку минимума (0,75; 0,596). Значение целевой функции

f x	, x	2	0,02ex1 x2 в этой точке					f 0,075;	0,596 0,039.
1		2
Приведем это решение в системе MathCAD:
	x1 0			x2 1 0	u 0
	Given
	0.02ex1 x2 80 x1					0


	0.02ex1 x2 10 x2					0


	40x12 5x22 2 u2						0


	2 u			0

			0.075
			0.596
Find x1 x2 u			0.596	3
		6.56 10		3
		6.56 10
			0
			0
f (x1 x2)	0.02 ex1 x2		f1(x1 x2)		40x12 5x22 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 119 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.06.20241.05 Mб01012.pdf
#
16.06.20241.05 Mб01013.pdf
#
16.06.20241.05 Mб01014.pdf
#
16.06.20241.05 Mб11015.pdf
#
16.06.20241.05 Mб01016.pdf
#
16.06.20241.05 Mб01017.pdf
#
16.06.20241.05 Mб11018.pdf
#
16.06.20241.05 Mб01019.pdf
#
16.06.2024187.96 Кб0102.pdf
#
16.06.20241.05 Mб01020.pdf
#
16.06.20241.05 Mб01021.pdf