1017

Окончание табл. 4

Контрольные вопросы

1.Из каких этапов состоит алгоритм исследования функции?

2.Как определить интервалы монотонности функции?

3.Что такое точка перегиба и как ее вычислить?

4.Как определить интервалы выпуклости – вогнутости функции?

5.Какназываетсяфункция, котораянеявляетсячетнойинеявляетсянечетной?

6.Графиккакойфункциисимметриченотносительноначалакоординат? Приведите примеры.

7.Какая асимптота является частным случаем наклонной асимптоты?

12

Лабораторная работа 2. Исследование функции градиентным методом

Целью проведения студентом лабораторной работы является:

– формирование умения и навыков градиентного исследования функций.

Теоретические основы

Рассмотрим некоторую точку X 0 из области определения функции и вектор D d1 , d2 , , dn , задающий направление в пространстве Rn :

D 1, di 0 .

Совокупность точек X X 0 D (τ – некоторый одномерный параметр) образует прямую, если , и луч, если 0 .

Градиентом функции x1 , x2 , , xn называют вектор частных производных

тиградиентом функции.

Точка, в которой градиентфункции f x(k ) 0 , называется стационар-

ной.

Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функциивокрестностиM0, тоестьчастотулинийуровня. Модульградиента равен наибольшей производной по направлению в данной точке.

Теоремы о функции, имеющей производную по заданному направлению

Пусть D d1 , d2 , , dn – некоторое заданное направление. ВеличинаT X 0 D T (X ), D – скалярное произведение, показывающее

мгновенную скорость изменения функции Φ вдоль направления D и равное производной от функции Φ в направлении D:

13

Теорема 1.

Производная по направлению D равна произведению градиента на вектор D:

D T X 0 D .

Теорема 2.

Если T X 0 D 0, то существует такая величина σ, при которойX 0 D X 0 для любого 0, .

Теорема 3.

Градиент X 0 показывает направление наискорейшего возрастания

функции Φ в точке X 0 . Теорема 4.

В точке максимума X* функции (X) градиент равен нулю:

X * 0 .

Пример 2.

Задана функция x1, x2 x1 0,5x22 и вектор D 1; 0,5 .

1.Определить единичное направление e , совпадающее с направлением вектора D.

2.Из точки X 0 1;1 провести прямую в направлении D и написать

уравнение этой прямой.

3.Вычислить градиент функции X 0 .

4.Определить производную функции Φ по направлению e : e X 0 .

5.Найти точки, в которых X 0, т.е. точки, подозрительные на

экстремум. Решение.

1. Определим единичный вектор:

2. Для построения прямой в направлении вектора D найдем еще одну точку на искомой прямой, например точку X 1 X 0 D, т.е. X 1 x10 d1; x20 d2 , изапишемуравнениепрямой, проходящейчерездве точки в виде:

14

3. Градиент функции в точке X x1 , x2 находим по формуле (1.1):

зрительных на экстремум. Область изменения функции , .

Порядок выполнения работы

В процессе проведения лабораторной работы студент должен выполнить следующие задания:

1.Ознакомиться с теоретическим материалом.

2.Для функции x1, x2 x1 10m x22 выполнить следующее2:

определить ed d – единичное направление, совпадающее с направле-

нием d n, m ;

10

из точки x0 x10 , x20 , где x10 x20 0,01, провести прямую в направле-

2 Здесь и далее n – номер группы, m – номер по списку в журнале.

15

выявить точки, подозрительные на экстремум, т.е. точки, в которых

0;

найти T d .

3.Составить отчет.

4.Защитить работу.

Контрольные вопросы

1.Что такое градиент функции, антиградиент?

2.Чему перпендикулярен градиент функции?

3.Чему равен модуль градиента?

2.Как определить производную по направлению D?

3.Как найти точку экстремума с помощью градиента функции?

16

Раздел 2. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Лабораторная работа 3.

Решение задачи линейного программирования

Целью проведения студентом лабораторной работы является:

–формирование умения и навыков математической формулировки задачи линейного программирования (ЗЛП);

–формированиеуменияинавыковпостроениядопустимойобластиЗЛП

илинии уровня;

–формирование умения и навыков решения ЗЛП графическим и аналитическим методами.

Теоретические основы

Говорят, что в пространстве Rn поставлена задача линейного программирования, если определена линейная целевая функция f (x), подлежащая мини-

мизации, а также задана система линейных ограниченийна компоненты векторов X x1, x2 , , xn в виде равенств и неравенств, определяющая некоторую

Здесь I, K, L – заданные целочисленные множества индексов. Канонической формой записи ЗЛП называют задачу

То есть в канонической форме ЗЛП все ограничения системы (2.2) (кроме неравенств, выражающих условие неотрицательности переменных) представлены в виде равенств и требуется найти максимум целевой функции.

17

Приведение задачи к стандартной или канонической форме легко осу-

2) Ограничения типа равенств и неравенств можно привести к необходимой форме, используя следующие приемы:

а) ограничение типа можно привести к ограничению путем умножения обеих частей неравенства на –1;

б) ограничениетипа= приводитсякдвумограничениямтипанеравенстви , если потребовать их одновременного выполнения. Например, равенство x1 x2 1 эквивалентно системе двух неравенств

x1 x2 1;x1 x2 1;

в) ограничение типа неравенства можно всегда привести к ограничению типа равенства путем добавления еще одной переменной xn 1 в левую часть

неравенства. Так, например, ограничение ai1 x1 ai2 x2 ... ain xn bi

можно привести к ограничению типа равенства добавлением положитель-

ной переменной xn 1 : ai1 x1 ai 2 x2 ... ain xn xn 1 bi , xn 1 0. При этом нужно помнить, что размерность задачи (число переменных хi) станет

на единицу больше, а неизвестная xn 1 войдет в качестве слагаемого в целевую функцию f(x) с коэффициентом cn 1 , равным нулю ( cn 1 0 );

г) если не задано ограничение вида xi 0 на некоторую переменную, а оно необходимо для канонической формы, то вместо одной переменной xi можно рассмотреть две переменные xi и xi , такие, что xi 0 и xi 0 , а

xi xi xi .

Используя перечисленные приемы, произвольную задачу линейного программирования можно привести к основной канонической форме: мак-

18

В матричной форме задача записывается следующим образом:

(C, X ) max;

A X T B; (2.5)

X 0.

Всякое решение системы (2.4) называется допустимым решением. Допустимое решение, при котором линейная функция f(x) принимает оптимальное (в данном случае максимальное) значение, называется оптималь-

ным решением или оптимальным планом.

Пример 3.

Привести к канонической форме задачу минимизации функции f 3x1 4x2 при ограничениях:

2x1 x2 5;

x1 x2 3;x1 0.

Чтобы привести задачу к канонической форме, выполним следующее. 1) Задачу минимизации функции f заменим задачей максимизации пу-

тем смены знака:

minx1 , x2 3x1 4x2 maxx1 , x2 3x1 4x2 .

2)Ограничение типа неравенства 2x1 x2 5 приведем к ограничению типа равенства путем добавления переменной x3 0 : 2x1 x2 x3 5 .

3)Вместо переменной x2, для которой не задано ограничение x2 0 , введем в рассмотрение две переменные x2 0 и x2 0 : x2 x2 x2 .

Для удобства записи задачи переименуем все переменные в соответствии с порядком их вхождения в целевую функцию:

x1 x1 , x2 x2 , x3 x2 , x4 x3 .

Рассмотрим некоторые типичные задачи линейного программирования.

19

Задача о раскрое

Пусть имеется n вариантов раскроя листа жести на заготовки m типов. Заготовок i-го типа требуется в количестве bi (i 1, .., m) . При j-м способе

раскроя j 1, , n получаются заготовки i-го вида в количестве aij , а отходы (по весу, по площади и др.) равны c j . Обозначим как x j количество листов, раскраиваемых по варианту j. Вектор X (x1 , x2 ,..., xn ) представляет

собой общий план раскроя. Тогда задача по отысканию оптимального плана раскроя может быть записана следующим образом.

Пример 4.

Имеется четыре варианта раскроя j 1, 2, 3, 4 на заготовки двух типов A, B (i 1, 2 ) при заданных потребностях b1 180 , b2 480 и образующихся отходах c1 12, c2 5, c3 3, c4 0 .

Количество заготовок i-го типа при использовании j-го способа произ-

Для решения задачи минимизации отходов удобно применять следующую таблицу (табл. 5).

20