ГИА 2024 Ответы УТС (НЕ ВСЕ)

5. Математическое описание типовых звеньев САУ.

Для решения задач САУ (анализ системы или синтез системы) нужно получить математическое описание системы (математическую модель системы).

Получение модели начинается с разбиения системы на звенья по математическому описанию, причем звенья направленного действия передают сигнал в одном направлении и изменение состояния этого звена не влияет на состояние предшествующего звена, работающего на его вход. Типовые звенья САУ различают по виду их передаточной функции и виду дифференициалного уравнения. Различают 3 основных группы:

1)позиционные;

2)дифференцирующие;

3)интегрирующие.

Позиционными звеньями называются такие звенья, в передаточной функции которых многочлены N(S) и M(S) имеют свободный член, равный 1, т.е. эти звенья обладают статической характеристикой.

W (S) kN(S) M (S)

У дифферициальных звеньев в передаточной ф-ции отсутствует свободный член числителя.

W (S) kSN(S) M (S)

У интегрирующих звеньев в передаточной функции отсутствует свободный член знаменателя.

W (S) kN(S) SM (S)

6. Соединения звеньев САУ. Математическое описание соединений линейных звеньев САУ.

При исследовании САУ можно разбить систему на комбинацию динамических звеньев с известными передаточными функциями. Будем считать динамические звенья направленными и независимыми, т.е. такими, сигналы которых проходят от входа к выходу, а подключение последующих звеньев не влияет на характер переходных и установившихся процессов предыдущих звеньев. В САУ существует три способа соединения звеньев: последовательное, параллельное и с обратной связью (ОС).

Рис. 2.19

Последовательное соединение изображено на рис. 2.19. При последовательном соединении звеньев выходной сигнал предыдущего звена является входным сигналом для последующего звена, а результирующая передаточная функция равна произведению передаточных функций отдельных звеньев.

При параллельном соединении (рис. 2.20) на вход всех звеньев подается общий сигнал, а на выходе образуется сигнал, являющийся суммой выходных сигналов звеньев.

Рис. 2.20

Результирующая передаточная функция является суммой передаточных функций звеньев.

При соединении с ОС выходной сигнал первого звена является входным для второго, причем входной сигнал первого

звена образуется в результате сложения или вычитания входного сигнала и выходного сигнала второго звена.

Рис. 2.21

Передаточная функция системы при соединении с обратной связью рассчитывается по формуле

где знак минус в (2.29) ставится при положительной обратной связи, а плюс - при отрицательной обратной связи.

Если второе звено в цепи обратной связи отсутствует, то

1 W1(р)

Таким образом, имея структурную схему САУ и зная передаточные функции звеньев, можно найти передаточную функцию САУ и проводить с её помощью исследование САУ на точность, быстродействие и устойчивость.

7. Многомерные САУ. Модели вход-выход многомерных линейных САУ.

Особенности многомерных САУ. Многомерными или много связанными системами называют такие системы которые имеют 2 или несколько входных задающих воздействий. При этом может быть любое количество возмущающих воздействий.

Математическая модель «вход-выход» – это описание связи входных и выходных сигналов динамической системы. Необходимость в таком описании появляется при рассмотрении поведения как отдельных блоков и, в частности, объекта управления, так и всей системы управления в целом. Многомерные системы могут включать один управляющий объект с несколькими регулирующими органами.

Взаимосвязи, образующие многомерные системы могут быть различными по своей природе, их делят на 2 категории:

1.Внутренние (естественные) связи,

2.Внешние (искусственные) связи по отношению к объекту.

Внутренние – связи, которые физически существуют в самом объекте между выходными величинами. Математически эти связи заложены в уравнение динамики объекта.

Внешние – связи организуемые в системе управления (напрямую между регуляторами), на входе, на выходе и междукаскадные.(Добиться сепаратного либо связанного управления). Задача внеш-х связей м.б. двоякой:

1.Требуется организовать определённые взаимосвязи между регулируемыми величинами.

2.Требуется при помощи внешних связей м/ду регул-ми величинами вне сущ-их объектов. Если путем введения внеш. связей удается разорвать физ-ки сущ=ие связи, то в этом случае мы переходим к автономному регулированию каждого из параметров.

Если система многомерна то –

Можно записать передаточную функцию разомкнутой системы в отдельности для каждой регулируемой величины yi по каждому входному воздействию xk.

Для возмущающего воздействия –

Совокупность этих передаточных функций можно выписать в одной передаточной матрице.

Для передаточной матрицы по возмущению Фв(S) будет записано в m – столбцов; таким образом динамика многомерной системы в отношение от одномерной определяется либо сложной системой уравнений вида (1) либо передаточной матрицей вида (3).

Может быть составлена матрица весовых функций k(t) и матрица переходных функций Н(t).

На базе этих уравнений и передаточных матриц можно исследовать точность системы, качество переходных процессов, устойчивость системы, а так же проводить синтез корректирующих

устройств. разработаны различные приёмы с применением структурных преобразований. Эти приёмы позволяют прийти к упрощённым эквивалентным схемам.

В некоторых случаях удаётся разбить общую систему на ряд более простых систем.

Этот процесс называется декомпозиция. И оп поведению отдельных сепаратных систем можно судить о поведении систем в целом.

Перекрёстные связи могут содержаться либо в самом объекте, либо в схемах регулятора.

8. Математическое описание САУ в пространстве состояний.

а

9. Постановка задач анализа и синтеза САУ.

а

10. Понятие устойчивости САУ. Условие устойчивости линейных САУ.

Устойчивость – свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия. Это свойство затухания переходного процесса с течением времени.

Для тех объектов, которые работают в условиях непрерывно меняющихся воздействий, т.е. когда установившийся режим вообще отсутствует, дается общее определение устойчивости:

Система устойчива, если её выходная величина остаётся ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений.

Yсв →0 при t→∞ , если все корни характеристического уравнения λ обладают отрицательной вещественной частью.

Если хотя бы один вещественный корень λi будет положительным или хотя бы одна пара комплексносопряженных корней будет иметь положительную вещественную часть, то в этом случае процесс будет расходящийся.

Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень или хотя бы одна пара чисто мнимых корней λi,i+1 = +jβ , то система будет находиться на границе устойчивости.

12. Устойчивость линейных САУ. Частотные критерии устойчивости.

Устойчивость – свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия. Это свойство затухания переходного процесса с течением времени.

Для тех объектов, которые работают в условиях непрерывно меняющихся воздействий, т.е. когда установившийся режим вообще отсутствует, дается общее определение устойчивости:

Система устойчива, если её выходная величина остаётся ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений.

Yсв →0 при t→∞ , если все корни характеристического уравнения λ обладают отрицательной вещественной частью.

Если хотя бы один вещественный корень λi будет положительным или хотя бы одна пара комплексно-сопряженных корней будет иметь положительную вещественную часть, то в этом случае процесс будет расходящийся.

Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень или хотя бы одна пара чисто мнимых корней λi,i+1 = +jβ , то система будет находиться на границе устойчивости.

Критерий Михайлова. Это частотный критерий и он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы.

D(λ) = a0*λn + a1*λn -1 +…+ an -1*λ + an . Считать все коэффициенты характеристического уравнения положительными.

Если вместо λ подставить jω, то D(jω) = X(ω) + jY(ω)

Если изменять ω от 0 до ∞, то D(jω) будет описывать некоторую траекторию, которая будет называться годографом Михайлова.

Для устойчивости линейной системы n-порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента функции D(jω) изменении ω от 0 до ∞ = n*π/2

arg D( j ) n * 2

Другими словами требуется, чтобы кривая Михайлова проходила последовательно n-квадрантов против часовой стрелки, все время огибая начало координат.

Если годограф проходит через начало координат, то система находится на границе устойчивости. Если нарушается процесс обхода, то система не устойчива.

Для того чтобы система была устойчивой необходимо, чтобы нули X и Y чередовались с ростом ω, начиная с ω=0.

Для того, чтобы определить границы устойчивости, необходимо решить системы: X(ω)=0

Y(ω)=0

Критерий устойчивости Найквиста.

W (S) kN(S) Он базируется на частотных характеристиках разомкнутой цепи САУ. Он дает

L(S)

правило, согласно которым по виду частотной характеристики разомкнутой цепи можно судить об устойчивости замкнутой системы. W(jω) → Ф(jω)

Формулировка критерия в зависимости от исходного состояния системы может быть различной. 1.Система устойчива в разомкнутом состоянии.

Критерий Найквиста: Если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкнутой системы н. и д. чтобы АФЧХ разомкнутой цепи не охватывала точку с координатами (-1; j0).

2.Система нейтральна в разомкнутом состоянии.

Т. е. характер. многочлен разомкнутой цепи L(S) имеет один нулевой корень, а все остальные корни имеют отрицательные вещественные части.

Формулировка критерия остается прежней, но при этом в число переходов надо включать пунктирный переход окружности бесконечного радиуса, дополняющий годограф до положительного направления вещественной оси.

3.Система не устойчива в разомкнутом состоянии.

Для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы АФЧХ разомкнутой системы охватывала т. с координатами (-1; j0)против часовой стрелки на угол lπ.(Другими словами требуется, чтобы левее т. (-1) разность отрицательных переходов АФЧХ через ось абсцисс = l/2, l – число правых корней характеристического многочлена).