Методические_указания_ЗАДАЧИ_И_МЕТОДЫ_РЕШЕНИЯ

Задача 10. Построить линию пересечения поверхностей геометрических тел.

Пример 1. Пересечение сферы с цилиндром. Цилиндр занимает фронтальнопроецирующее положение (рис. 45).

Рис. 45

Ход решения:

1.Поскольку цилиндр занимает фронтально проецирующее положение, фронтальные проекция линии пересечения совпадает с фронтальным очерком цилиндра. Остается построить горизонтальную проекцию окружности, принадлежащую поверхности сферы. Отметим характерные точки - фронтальные проекции точек, лежащих на экваторе сферы- G", H",F",P".Отметим фронтальные проекции M",N",K",L" ,в которых будет меняться видимость линии пересечения. Горизонтальные проекции точек, принадлежащих поверхности сферы, находим при помощи окружностей соответствующего радиуса (рис.46).

31

Рис. 46 Рис.47 2. Соединим полученные точки плавной линией с учетом видимости. Точки,

принадлежащие видимой части поверхности цилиндра относительно горизонтальной плоскости проекций соединяем сплошной линией. В точках М,N,K,L происходит изменение видимости. Определим видимость горизонтальных очерков цилиндра и сферы (рис. 47).

Пример 2. Пересечение сферы с конусом (рис. 48).

Рис. 48

32

Обе поверхности общего вида. У этих поверхностей имеется общая плоскость симметрии, поэтому линия пересечения будет симметрична относительно этой плоскости. Обе поверхности второго порядка, следовательно, линия их пересечения пространственная кривая четвертого порядка.

Ход решения:

1.Отметим характерные точки линии пересечения. Точки А и В лежат на пересечении фронтальных очерков. Точки С и D найдем на пересечении экватора сферы a и окружности b поверхности конуса, лежащих в одной горизонтальной плоскости α. Аналогично могут быть найдены и другие точки линии пересечения. Так точки М и N строим как пересечение окружностей c и d,принадлежащих одной горизонтальной плоскости β (рис.49).

3. Полученные точки соединяем плавной кривой с учетом видимости. При установлении видимости следует помнить, что эта линия будет видима, если она принадлежит как поверхности сферы, так и конуса. Точки А и В отделяют видимую относительно фронтальной плоскости часть линии пересечения (она проходит через точки А,С,М,В) от невидимой. В данной задаче фронтальные проекции видимой и невидимой части линии пересечения совпадают.

Точки С и D отделяют видимую относительно горизонтальной плоскости часть линии пересечения от невидимой. Точка А видима относительно горизонтальной плоскости проекций, так как лежит выше экватора сферы. Следовательно, линия, проходящая через точки А, С, D - видима, остальная часть линии невидима. Определим видимость очерков поверхности конуса и сферы (рис.50).»5

5 Фролов С.А. Начертательная геометрия.

33

Задача 11.

«Пример 1. Определить расстояния от точки А до прямой l (рис.51)

Рис.51

Расстояние от точки до прямой определяется длиной отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Ход решения:

«1. На эпюре проекции перпендикуляра к прямой можно построить, если прямая параллельна плоскости проекций. Поэтому сначала строим дополнительную ортогональную проекцию прямой и точки А на плоскости π4, параллельной прямой l и

перпендикулярной к π1. При этом ось х1 параллельна l′. Для построения дополнительной проекции прямой l на ней отмечены точки 1 и 2 (рис. 52).

2. Проводим дополнительную проекцию АIVKIV перпендикуляра (АIVKIV lIV), а

затем строим горизонтальную проекцию А′К′. Построена также и фронтальная А′′К′′ проекция перпендикуляра АК.

34

3. По двум данным проекциям отрезка АК (А′К′ и АIVKIV) находим его длину, построив дополнительную ортогональную проекцию отрезка на плоскости π5, параллельной АК и перпендикулярной к π4 (рис. 53).

Аналогично можно определить расстояние между двумя параллельными прямыми.

Пример 2. Найти расстояние между параллельными прямыми (рис.54).

Рис.54

Кратчайшее расстояние между параллельными прямыми это перпендикуляр, опущенный из точки, взятой на одной прямой на вторую прямую.

35

Ход решения:

1.Отметим точку А на прямой а (рис. 55)

2.Опустим перпендикуляр на прямую «в» по теореме о проекциях прямого угла(прямые являются горизонталями, поэтому прямой угол на горизонтальную плоскость спроецируется в натуральную величину) (рис.56.)

3.Отрезок АК является отрезком общего положения. Найдем его натуральную величину методом прямоугольного треугольника. Для этого отложим под прямым

углом разницу координат Z (рис.57)

Рис. 57»6

6 Локтев О.В. Краткий курс начертательной геометрии

36

«Задача 12. Определить расстояние от точки А до плоскости α(ΔВСD) (рис. 58)

Рис.58

Расстоянием от точки до плоскости является длина отрезка перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Если плоскость является проецирующей, то перпендикуляр к ней параллелен плоскости проекций и длина проекции его отрезка на этой плоскости проекций равна искомому расстоянию. Исходя из этого построим дополнительную ортогональную проекцию плоскости α и точки А на плоскости π4, перпендикулярной к плоскости α и к плоскости π1.

Ход решения:

1.Плоскость π4 будет перпендикулярна к плоскости α, если она перпендикулярна к горизонтали этой плоскости. При этом ось х1 перпендикулярна к горизонтальной проекции h′ горизонтали h плоскости α. Дополнительной ортогональной проекцией плоскости α на плоскость π4 является прямая BIVCIVDIV (рис. 59).

Рис. 59

37

Рис.60

2. Из точки АIV опускаем перпендикуляр АIVKIV на прямую BIVCIVDIV. Длина отрезка АIVKIV равна расстоянию от точки А до плоскости α (ΔBCD) (рис. 60).

Построим проекции отрезка АК. Горизонтальная проекция А′К′ параллельна оси х1, так как отрезок АК параллелен плоскости π4, и перпендикулярна к горизонтальной проекции h′ горизонтали h плоскости α. Фронтальную проекцию К′′ точки К строим по двум ее проекциям К′ и KIV.»7

7 Леонова О.Н., Ефимова Е.В., Начертательная геометрия. Сборник задач по начертательной геометрии и примеры их решения

38

Библиографический список

1.Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. –

М.: Наука, 2000 – 272с.

2.Крылов Н.Н. Начертательная геометрия. – М.: Высшая школа, 2007 – 224с.

3.Локтев О.В. Краткий курс начертательной геометрии. – М.: Высшая школа,

2001 – 130с.

4.Фролов С.А. Начертательная геометрия. М.: Машиностроение, 1983 – 240с.

5.Леонова О.Н., Ефимова Е.В., Начертательная геометрия. Сборник задач по начертательной геометрии и примеры их решения. Учебное пособие. СПб, СПбГЛТУ, 2014-38с

39

Оглавление

40