Методические_указания_ЗАДАЧИ_И_МЕТОДЫ_РЕШЕНИЯ

Рис.12

Задача 4. Построить линию пересечения плоскостей (рис. 13)

Рис.13

Плоскость АВС частного положения (ΔАВС π1), плоскость MNK – общего положения (рис. 13)

Поскольку АВС π1, горизонтальная проекция А'В'С' обладает собирающими свойствами, т.е. горизонтальная проекция линии пересечения лежит на горизонтальной проекции А'В'С'.

11

Ход решения:

1.Отметим общие горизонтальные проекции Q' и T' на пересечении горизонтальных проекций треугольников АВС и MNK(рис.14).

2.Фронтальные проекции Q'' и T'' ищем на линиях проекционной связи в

M''N''K''.

3.Линия пересечения QT определена QT (Q''T'' и Q'T').

4.Определим видимость плоских фигур, т.к. плоскости считаются непрозрачными. Видимость горизонтальной проекции фигур определять не надо, т.к.

АВС проецируется в прямую линию, проекция M'N'K' видима. Определим видимость

плоских фигур относительно плоскости проекций π2. Для этого рассмотрим конкурирующие точки 1 и 2, лежащие на скрещивающихся прямых ВС и МK. Фронтальные проекции 1" и 2" совпадают, а горизонтальная проекция 2' находится перед горизонтальной проекцией 1'. Точка 1'' не видима относительно плоскости

проекций π2. Далее рассуждаем так: точка 2 лежит на АВС, следовательно фронтальная проекция А''В''С'' видима на π2 с той стороны, где находятся точки 1'' и 2''. После фронтальной проекции линии пересечения Q" и T" видимость А''В''С'' меняется на противоположную, т.е. он становится невидимым (рис.14).

Рис. 14»2

Задача 5. Построить точку пересечения прямой l с плоскостью α. Определить видимость прямой l.

«Пример 1. Плоскость задана плоской фигурой (рис. 15).

Крылов Н.Н. Начертательная геометрия

12

Рис. 15

Ход решения:

1. Через прямую l проводим вспомогательную плоскость частного положения, например, горизонтально-проецирующую β π1. l' hоβ, hоβ – собирающий след, fоβ х (рис.16).

Рис. 16 Рис.17

2. Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскостей.

М'=А'С'∩ hоβ М'' А''С'' и N'=В'С'∩ hоβ N'' В''С''( рис.17 ).

13

3. Строим точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения МN. К''= М''N''∩ l''. К' находится в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К'' и

М'N'.

4. Определяем видимость прямой относительно АВС с помощью конкурирующих точек.

Определяем видимость относительно плоскости π2 .Отметим фронтальную проекцию 1''совпадающую с 2'' Горизонтальную проекцию 2' отметим на А'С', а 1' на l'. Горизонтальная проекция 1' лежит перед 2', следовательно, фронтальная проекция 2'' не видима относительно π2. Точка 1 лежит на прямой l, она видима на π2, следовательно фронтальная проекция l " от 1" 2'' до К'' видима, в точке К'' видимость меняется на противоположную.

Определим видимость прямой l относительно плоскость π1. Отметим

горизонтальную проекцию 3' совпадающую с горизонтальной проекцией М'. М'' А''С'' уже отмечена, 3'' l''. Фронтальная проекция М'' лежит выше фронтальной проекции 3'', следовательно, точка М видима относительно π1. Точка 3 лежит на l, следовательно от М'≡3' до К', горизонтальная проекция l' невидима. В горизонтальной проекции К'

видимость меняется на противоположную. За границами АВС прямая l везде видима.»3

3 Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии

14

«Пример 2. Плоскость задана следами (рис. 18).

Рис.18

Ход решения:

1. Для построения точки пересечения прямой l с плоскостью необходимо через

прямую провести вспомогательную плоскость частного положения, например фронтально-проецирующую β π2, l'' fоβ, fоβ – собирающий след, hоβ х (рис. 19).

2.Строим линию пересечения MN заданной и вспомогательной плоскости М'=hоα∩ hоβ, N''= fоβ∩ fоα(рис.20)

3.Определяем точку пересечения К заданной прямой l с линией пересечения MN.

К'=М'N'∩ l ', К'' – в пересечении линии проекционной связи, проведенной из К' и l

''.

4. Видимость прямой l в случае задания плоскости следами не определяем.»4

4 4« Начертательная геометрия» , Н.А.Белоногова ,Е.И.Швец, Е.В.Ефимова, Н.Н.Вернер, О.Н.Леонова

15

««Задача 6. Построить линию пересечения пирамиды (призмы, цилиндра) с плоскостью частного положения.

Пример1.Построить линию пересечения призмы с плоскостью (рис.21).

Рис.21

При пересечении многогранников секущей плоскостью в сечении получаем многоугольник. Вершинами этого многоугольника являются точки пересечения ребер с секущей плоскостью.

Ход решения:

1.Отметим фронтальные проекции точек пересечения ребер с фронтальнопроецирующей плоскостью 1,2,3 (рис.21)

2.Горизонтальные проекции точек 1,2,3 совпадают с горизонтальной проекцией ребер, т.к. ребра призмы являются горизонтально-проецирующими прямыми.

3.Строим профильные проекции точек 1.2,3 и соединяем их с учетом видимости. Прямая 2-3 на профильной проекции невидима т.к. принадлежит невидимой грани относительно профильной плоскости проекций (рис.21).

4« Начертательная геометрия» , Н.А.Белоногова ,Е.И.Швец, Е.В.Ефимова, Н.Н.Вернер, О.Н.Леонова

16

Пример2. Построить линию пересечения пирамиды с

плоскостью(рис.22).

Рис.22

Ход решения:

1.Обозначим вершину и ребра пирамиды. Так же отметим точки пересечения ребер с фронтальным собирающим следом фронтально-проецирующей плоскости

1,2,3,4(рис23).

Рис.23

17

2.Построим горизонтальную проекцию пирамиды и отметим горизонтальные проекции точек 1.2,3,4 на соответствующих ребрах. Полученные точки соединяем с учетом видимости граней относительно горизонтальной плоскости проекций (рис.24).

Рис. 24

3.Строим профильную проекцию точек 1,2,3,4.Соединяем с учетом видимости. На профильной плоскости проекций все грани пирамиды видимы (рис.25).

Рис.25.

18

Пример 3.Построить линию пересечения цилиндра с плоскостью (рис.26).

Рис.26

Задача 7. Построить линию пересечения поверхности конуса с плоскостью

(рис.27).

Конус пересекает плоскость частного положения, в данной задаче плоскость фронтально-проецирующая.

Рис.27

α π2, fоα – собирающий след. Линия пересечения поверхности конуса с фронтально-проецирующей плоскостью представляет собой эллипс. Эллипс – это лекальная кривая, которая строится минимум по 8 точкам. Фронтальная проекция эллипса совпадает с фронтальным следом fоα.

Ход решения:

1. Возьмем ряд точек на fоα и найдем их горизонтальные проекции. Отметим характерные фронтальные проекции A'' и B'' , C'' и D''. Остальные точки можно выбрать произвольно. Точка лежит на поверхности, если она принадлежит линии, лежащей на этой поверхности (рис.28). Горизонтальные проекции A' и B' получим на образующих, совпадающих с осью симметрии.

19

2.Для получения горизонтальных проекций C' и D' проведем параллельно основанию линию, горизонтальная проекция которой является окружностью, и на ней отметим C'и D'.

3.Фронтальные проекции M''и N'' выбрали произвольно на собирающем следе fоα. Для нахождения горизонтальных проекций M', N' проведем линию параллельно основанию, горизонтальная проекция которой является также окружностью.

4. Полученные горизонтальные проекции точек надо соединить плавной кривой от руки, а затем обвести по лекалу (рис. 29).

Задача 8. Построить точки пересечения прямой l с поверхностью геометрического тела. Определить видимость прямой.

Пример 1. Конус (рис.30)

Рис.30

20