ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Свойства передаточных функций четырехполюсников. Свойства Z-параметров четырехполюсников. Нули передачи и свойства K12XX. Условия Фиалкова − Герста. Синтез передаточных функций четырехполюсников.

Свойствапередаточныхфункцийчетырехполюсников.

Определение передаточных функций четырехполюсников

Рис. 40.1

UГ =U1 + I1 ZГ, U2 = −I2′ ZH .

Передаточная функция по напряжению (рис. 40.1)

ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Свойства передаточных функций четырехполюсников

3. При ZГ = 0 и ZH = 0 передаточной функцией является

I2′ ((p)) = −Y12 (p).

U1 p

4. Учитывая связь |Z|- и |Y|-параметров, получим

Y12 (p)= Y12((p))+YH ((p)) − передаточная проводимость.

Y22 p YH p

При сопротивлении нагрузки R = 1 Oм

СвойстваZ-параметровчетырехполюсников.

Для четырехполюсника (рис. 40.2) справедливы выражения:

U = a1Z11I1 + a1Z12I2′ + a2Z21I1 + a2Z22I2′.

При Z21 = Z12 , U = a12Z11I + 2a1a2Z12I + a22Z22I .

ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Свойства Z-параметров четырехполюсников

Z (p)= UI = a12Z11 + 2a1a2Z12 + a22Z22 − квадратичная форма.

Z(p) – положительная вещественная функция (Z(p) ≥ 0) при Re P ≥ 0.

Рис. 40.2

Поскольку Z11(p) и Z22(p) – входные функции цепи, то они не имеют полюсов в правой полуплоскости и вычеты на оси jω должны быть простыми. Следовательно, Z(p) не имеет полюсов в правой полуплоскости.

Пусть k11, k12 и k22 – вычеты функций Z11(p), Z12(p) и Z22(p) в полюсе jω. Известно, что вычеты Z11(p) и Z22(p) в полюсах на мнимой оси вещественные

и положительные, тогда вычет функции Z(p) в этом полюсе также k > 0.

k = a12k11 + 2a1a2k12 + a22k22 > 0 .

Отсюда очевидно, что при k11 ≥ 0, k22 ≥ 0 k12 – вещественная величина. Из анализа квадратичной формы получается условие вычетов

k11k22 − k122 ≥ 0 .

Аналогично для вещественных составляющих Z(p)

Re Z ( jω) = a12r11 + 2a1a2r12 + a22r22 ≥ 0 .

Таким образом, на вещественную составляющую r12 накладывается ограничение, если Z(p) – положительная вещественная функция.

ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

НулипередачиисвойстваK12XX.

1.K12XX − рациональная функция с вещественными коэффициентами.

2.Нулями передачи являются те нули Z12(p), которые не являются ну-

лями Z11 (p). Полюсы Z11 (p) (частные, которых нет у Z12(p) являются нулями K12XX. Так как расположение нулей Z12(p) не ограничено левой полуплоско-

стью, то K12XX может иметь нули любой кратности по всей плоскости комплексного переменного Р. (Z12(p) не является функцией двухполюсника, по-

этому на расположение ее нулей не накладывается ограничений.)

3.Полюсы K12XX могут быть только в левой полуплоскости, так как они являются нулями Z11(p), или на оси jω (Z12(p) не имеет полюсов в правой полуплоскости).

4.Вычет K12XX в полюсе на оси jω является мнимым.

Действительно, при Z11(jω) = 0, r11 = 0 и если r22 ≠ ∞, то из условия вещественных составляющих получаем r12 = 0 и следовательно, Z12(jω) − чисто

мнимая величина.

Поскольку Z12(jω) − чисто мнимая величина, то вычет K12XX − чисто мнимая величина.

ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Нули передачи и свойства K12XX

5. K12XX не имеет полюса при Р = 0 и Р = ∞. Действительно, если Z11(0) = 0, а Z12(0) ≠ 0, то Z12(0) должна быть постоянной. Однако, если Z12(0) постоянная величина, то при r11 = 0 нарушается условие для вещественных

составляющих ( r11r22 − r122 ≥ 0 ).

УсловияФиалкова−Герста.

Неуравновешенный четырехполюсник (рис. 40.3) может быть заменен схемой замещения (рис. 40.4).

Если (Z11 – Z12), (Z22 – Z12) и Z12 − положительные вещественные функции, то в полиномах их описывающих не могут появляться знаки «минус».

Тогда

Z12 (p)= am pm + am−1 pm(−1 +)…+ a1 p + a0 , q p

Z11 (p)= bn pn +bn−1 pn−(1 +)…+b1 p +b0 ,

q p

Z22 (p)= ck pk + ck−1 pk−(1 +)…+ c1 p + c0 ,

q p

все Z − параметры имеют одни и те же полюсы. И так как (Z11 – Z12),

(Z22 – Z12) и Z12 не могут содержать отрицательных членов, то ai ≥ 0; bi ≥ai; ci ≥ai − условия Фиалкова − Герста. m ≤ n или m ≤ k в зависимости от того,

что меньше n или k.

Поскольку K12XX (p)= ZZ1211 ((pp)) , то все коэффициенты не отрицательны,

коэффициенты при соответствующих степенях Р в числителе меньше (или по крайней мере, равны) соответствующим коэффициентам знаменателя.

Следует отметить, что на вещественной оси выполняется соотношение

ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Синтез передаточных функций четырехполюсников

Za

Рис. 40.6

Теорема. Если существует реализация в виде симметричной четырехполюсной цепи, то для нее всегда можно использовать симметричную скрещенную цепь (мостовой четырехполюсник).

Иными словами, если заданы Z11, Z12 и Z11 = Z22, удовлетворяющие условиям реализуемости, то всегда существует реализация в виде мостового четырехполюсника.

Из матрицы [Z]

Za = Z11 – Z12 = Z22 – Z12,

Zb = Z11 + Z12 = Z22 + Z12.

Так как Z(p) − входная функция, положительная вещественная функция, то для вещественных составляющих rik = ReZik(jω) справедливо соотно-

шение r11r22 − r122 ≥ 0 при Rep ≥ 0.

Если r11 = r22, то r112 − r122 ≥ 0 , (r11 – r12)(r11 – r12) ≥ 0 или (ReZa)(ReZb) ≥ 0 при Rep ≥ 0.

Так как r11 > 0, то последнее выражение можно удовлетворить лишь одним образом, ReZa ≥ 0 и ReZb ≥ 0 при Rep ≥ 0. Это означает, что Za и Zb − положительные вещественные функции.

Отсюда следует, что симметричная цепь всегда может быть скрещенной цепью (мостовой).

Пример 1. Пусть имеем

ЛЕКЦИЯ 40. СИНТЕЗ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

Синтез передаточных функций четырехполюсников