ЭМРТ

S = k ( 1 - e-TR/T1 )

Спин-эхо последовательность

Другая, часто используемая импульсная последовательность, называется импульсной спин-эхо последовательностью. Здесь представлен 90o-импульс, применяемый к спиновой системе первым.

90o-импульс поворачивает намагниченность на плоскость X'Y'. Поперечная намагниченность начинает расфазировываться.

В какой-то момент времени после 90o-импульса, применяется 180o-импульс. Этот импульс поворачивает намагниченность на 180oвокруг оси

X'.

180o-импульс по крайней мере частично восстанавливает намагниченность по фазе и заставляет ее испускать сигнал, называемый эхом.

Временная диаграмма показывает положения двух радиочастотных импульсов и сигнала относительно друг друга.

Сигнальное уравнение для повторяющейся спин-эхо последовательности, как функции от времени повторения (TR - time repetition) и времени эхо (TE - echo time), определяемое, как время между 90o-импульсом и максимальной амплитудой в эхо, выглядит следующим образом

S = k ( 1 - e-TR/T1 ) e-TE/T2

Последовательность инверсия-восстановление

Последовательность инверсия-восстановления также используется для отображения ЯМР-спектра. В начале этой последовательности применяется 180o-импульс. Он поворачивает суммарную намагниченность в отрицательное направление оси Z.

Намагниченность подвергается спин-решеточной релаксации и возвращается к состоянию равновесия вдоль положительного направления оси Z.

Перед тем, как она достигнет равновесия, применяется 90o-импульс, который поворачивает продольную намагниченность на плоскость XY. В этом примере 90o-импульс применяется сразу за 180o-импульсом.

Как только вектор намагниченности приходит в плоскость XY, он начинает вращаться вокруг оси Z и расфазировываться, создавая спад свободной индукции (FID).

Повторяясь, заметим, что временная диаграмма показывает относительное расположение двух радиочастотных импульсов и сигнала.

Сигнал, как функция от TI, без повторения последовательности выглядит следующим образом:

S = k ( 1 - 2e-TI/T1 )

Необходимо заметить, что функция пересекает ноль в TI = T1ln2.

Когда, в целях усреднения или формирования изображения, последовательность инверсия-восстановление повторяется каждые TR секунд, сигнальное уравнение принимает вид:

S = k ( 1 - 2e-TI/T1 + e-TR/T1) .

Доказательство:

Уравнение для повторяющихся последовательностей восстановления инверсия

где

TI = инверсии времени

TR = время повторения

T 1 = спин-решеточной релаксации

Т 2 = спин-спиновой релаксации

? = спиновой плотности

k = коэффициент пропорциональности

Начнем с уравнения Блоха, введенные в главе 3 . Сигнал в последовательность импульсов пропорциональна сумме продольных поворачивается к намагниченности в плоскости ху. По этой причине нам нужно только изучить компонент, который описывает в дифференциальной форме времени (т) эволюции Mz намагничивания до насыщения М ZO с постоянной времени T 1 после возмущения импульса RF.

Группировка подобных членов и создание интегралов между временем пределах от 0 до ТI, Mz пределах -Mzo (1-е - (TR-TI) / T1 ) и Mz (пожалуйста, простите за запутанной символики ), мы иметь

Интеграция дает

и оценки в пределах дает следующие уравнения.

Какие после перестройки дает IR уравнения.

Химический сдвиг

Если поместить атом в магнитное поле, его электроны начинают вращаться вокруг направления примененного магнитного поля. Это вращение создает небольшое магнитное поле вокруг ядра, которое противостоит внешнему магнитному полю.

Электронные плотности вокруг каждого ядра в молекуле различаются в соответствии с типами ядер и связей в молекуле. Противостоящее поле, а, следовательно, и эффективное поле у каждого ядра будут различаться. Это явление называется химическим сдвигом.

Представим молекулу метанола.

Резонансные частоты двух типов ядер в этом примере различаются. Разница зависит от силы магнитного поля, Bo, используемого для проведения ЯМР-спектроскопии. Чем больше значение Bo, тем больше разница частот. Эта зависимость может создавать определенные трудности при сравнении ЯМР-спектров, полученных на спектрометрах, использующих разные по силе поля. Для избежания этой проблемы было введено понятие химического сдвига.

Химическим сдвигом ядра является разность резонансной частоты ядра и стандартной, отнесенная к стандартной. Это значение выражается

В ЯМР спектроскопии стандартом часто является тетраметилсилан, сокращенно TMS. В человеческом организме TMS отсутствует, но существуют два содержащие преимущественно водород вещества: вода и жир. Химический сдвиг между этими двумя типами водородными атомами приблизительно составляет 3.5 ppm.

Основы МРТ

Глава 5 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ

Введение

Проблема с положительными и отрицательными частотами

Преобразование Фурье

Фазовая коррекция

Пары Фурье

Теорема о свертке

Цифровое преобразование Фурье

Ошибка дискретизации

Двумерное преобразование Фурье Контрольные вопросы

Введение

До этого момента, преобразование Фурье (Fourier transform - FT) подробно не разбиралось по той причине, чтобы стала ясна его необходимость. Преобразование Фурье - это математическая операция, которая преобразует функцию от времени в частотные компоненты. Обратное преобразование Фурье (inverse Fourier transform - IFT) преобразует частотные компоненты во временные компоненты.

Возвращаясь к главе 2, преобразование Фурье есть математический метод перевода временных характеристик данных в частотные и обратно.

Проблема с положительными и отрицательными частотами

Перед началом подробного описания преобразования Фурье рассмотрим следующее. Вектор намагниченности, исходно направленный вдоль положительного луча оси X, вращается вокруг оси Z по часовой стрелке. График Mx, как функции от времени есть косинусоида.

График My, как функции от времени есть синусоида.

Решением является подача на вход преобразования Фурье как Mx , так и My. Преобразование Фурье обрабатывает две поданные на вход ортогональные функции, называемыми действительной и мнимой компонентами.

Регистрация либо Mx, либо My (и только) компонент для последующего преобразования Фурье называется линейной детекцией. Этот алгоритм детекции применялся во многих устаревших ЯМР-спектрометрах и некоторых магнитно-резонансных томографах. Он заставлял компьютер отбрасывать половину частотных компонент данных.

Регистрация как Mx, так и My называется фазочувствительной детекцией (quadrature detection) и является методом детекции, применяемым на современных спектрометрах и томографах. Этот метод был выбран, так как благодаря ему преобразование Фурье может теперь

Преобразование Фурье

Преобразование Фурье определяется интегралом

складывая значения результатов между 1 и 10 секундами. Сумма рассматривается только для временных значений между 0 и 10 секундой.

=1

=2

=3

=4

=5

=6

=7

=8

=9

=10

f( )

Фазовая коррекция

Фактически, преобразование Фурье использует информацию на вводе, состоящую из действительной и мнимой частей. Представим Mx, как поданную на вход действительную часть и My, как поданную на вход мнимую часть. Следовательно, на выходе, результат преобразования Фурье будет иметь действительную и мнимую части.

Рассмотрим следующую функцию:

MX (реальный)

MY (нереальный)

В ЯМР спектроскопии действительная часть, полученная на выходе преобразования Фурье принимается за частотную компоненту спектра. Для того чтобы получить эстетически правильную (абсорбционную) частотную компоненту спектра надо подать на вход преобразования Фурье функцию косинуса, как действительную часть и функцию синуса, как мнимую часть. Вот, что получится, если подать на вход косинус, как мнимую и синус, как действительную часть.

MX (реальный)

MY (нереальный)

Чтобы получить спектр поглощения, как действительную часть на выходе преобразования Фурье, либо к временной, либо к частотной компоненте спектра необходимо применить фазовую коррекцию. Этот процесс аналогичен описанному в главе 2 преобразованию координат.

Если упоминаемый ранее спад свободной индукции (FID) записан так, что его действительная и мнимые части имеют фазовый сдвиг,

MX (действительный)

MY ( мнимый)

составляющий 40o, матрица преобразования координат может быть использована с = - 45o. Действительные части скорректированных спадов свободных индукций будут выглядеть как функции косинуса, а мнимые части, как функции синуса.

MX (действительный)

MY ( мнимый)

Преобразование Фурье над скорректированными по фазе спадами свободных индукций дает спектр поглощения для действительной части получающейся из преобразования Фурье.

MX (действительный)

MY ( мнимый)

Эта коррекция может быть реализована в частотной области также как и во временной области.

ЯМР-спектр требует проведения как константной так и линейной коррекций фазы сигнала после преобразования Фурье.

= m + b

Необходимость в константных фазовых коррекциях, b, возникает из-за невозможности спектрометра измерять точные значения Mx и My. Необходимость в линейных фазовых коррекциях, m, возникает из-за невозможности спектрометра измерять поперечную намагниченность сразу же после РЧ импульса.

В магнитно-резонансной томографии сигналы Mx или Myотображаются редко. Вместо этого используется модуль сигнала. Модуль сигнала равняется квадратному корню из суммы квадратов Mx и My.

Пары Фурье

Для более полного понимания преобразования Фурье над ЯМР функциями, необходимо знать несколько общих пар Фурье. Парой Фурье являются две функции - частотная характеристика и соответствующая временная характеристика. Вот несколько пар Фурье, используемых в МРТ. Амплитуда пар Фурье опущена, так как она не существенна в МРТ.

Постоянное значение на всем отрезке времени.

DC смещения по постоянному току или константу.

Дельта-функция в нуле.

Щеточная функция (Серии дельта-функций, разделенных T).

Расческа функции (серии дельта-функций, разделенных Т.)

Расческа с разделением функций 1 / T.

Экспоненциальное затухание: e-at для t > 0.

e-at при t > 0

Лоренцевой

RE: a/(a2 + 4?2?2) IM: -2??/(a2 + 4?2?2)

Мнимой части показано увеличенное в 10 раз по амплитуде. Стоит отметить, что ширина (?) действительной пик лоренцевой связано с по

? = a/? .

Прямоугольный импульс, начинающийся в 0 и длящийся T секунд.

Гауссиан: exp(-at2).

Гауссиан: exp(- 2 2/a)

Теорема о свертке

Для ученого, занимающегося магнитным резонансом, наболее важной теоремой касающейся преобразовании Фурье является теорема свертки. Теорема свертки гласит о том, что преобразование Фурье над двумя свернутыми функциями пропорционально результатам преобразований Фурье над каждой функцией в отдельности, и наоборот.

Станет понятнее, если посмотреть на представленные рисунки. В окошке для анимации мы попытаемся провести преобразование Фурье над синусоидой, которая то включается, то выключается.

По теореме о свертке получается функция sinc с частотой исходной синусоиды.

Другим применением теоремы о свертке является подавление шума. При помощи теоремы о свертке можно увидеть, что свертывание ЯМРспектра с функцией Лоренца есть то же, что умножение временной компоненты сигнала на экпоненциально-затухающую функцию.

Числовое преобразование Фурье

В магнитно-резонансных томографах компьютер регистрирует не непрерывный спад свободной индукции, а спад разбитый на равные интервалы (дискретно). Каждый отрезок имеет дискретные амплитуду и временные значения. Компьютер производит преобразование Фурье над сериями дельта-функций, различающимися по интенсивности.

Оригинал непрерывного FID.

Дискретную FID смотреть FT алгоритм в компьютере.

Ошибка дискретизации

Проблема (или артефакт) наложения в магнитно-резонансной томографии есть изображение одной половины отображаемого объекта на противоположной стороне. С точки зрения одномерных частотных компонент спектра, наложение является следствием наличия низкочастотных вершин на противоположной (неверной) стороне спектра.

Теорема о свертке может объяснить эту проблему, которая возникает при регистрации поперечной намагниченности на слишком медленной скорости. Вначале посмотрим, как выглядит подвергнутый преобразованию Фурье должным образом регистрируемый спад свободной индукции.

При фазочувствительной детекции ширина изображения равняется инвертированной частоте дискретизации (ширина зеленой рамки на иллюстрации).

Если частота дискретизации меньше, чем ширина спектра, происходит наложение.

Двумерное преобразование Фурье

Методом двумерного преобразования Фурье (two-dimensional Fourier transform - 2-DFT) является преобразование Фурье, произведенное над двумерным массивом данных. Рассмотрим двумерный массив данных, показанный на рисунке.

Эти данные имеют два измерения: t' и t". Преобразование Фурье над данными производится сначала в одном, а затем в другом направлениях. Первая часть преобразований Фурье проводится в t' измерении для получения f' на t" множества данных.

Вторая часть преобразований Фурье производится в t" измерении для получения f' на f" множества данных.

Двумерное преобразование Фурье необходимо для проведения МРТ на современном уровне. В МРТ, данные собираются в эквиваленте t' и t" измерениям, называемом К-пространстве. Эти исходные данные преобразуются для получения изображения, которое эквивалентно описанным ранее f' на f" данным.

Основы МРТ

Глава 6 ПРИНЦИПЫ ОТОБРАЖЕНИЯ

Введение

Градиент магнитного поля

Частотное кодирование

Метод обратного проецирования

Выбор среза Контрольные вопросы

Введение

Из главы 1 мы узнали, что магнитно-резонансная томография является технологией формирования изображения, которая в основном используется для отображения ЯМР-сигнала атомов водорода исследуемого объекта. В медицинской МРТ радиологов больше всего интересует ЯМР-сигналы воды и липидов, которые являются основными водород содержащими компонентами человеческого организма.

Основой всей магнитно-резонансной томографии является резонансное соотношение, которое показывает, что резонансная частота спина

пропорциональна магнитному полю Bo, воздействующему на него.

=Bo

Например, представим, что в человеческой голове существуют лишь три небольших, четко ограниченных области с водородными спиновыми плотностями.

На самом же деле, вся голова дает сигнал. Когда эти области спинов испытывают одну и ту же силу магнитного поля, ЯМР-спектр имеет лишь один пик.

Градиент магнитного поля

Если бы каждая из трех спиновых областей испытывала разное магнитное поле, можно было бы отобразить их положения. Градиент магнитного поля - это именно то, что позволяет сделать это. Градиентом магнитного поля является изменение магнитного поля в зависимости от положения. Одномерный градиент магнитного поля - это изменение относительно одного направления, тогда как двумерный градиент - изменение относительно двух. Наиболее используемым видом градиентом в магнитно-резонансной томографии является одномерный линейный градиент магнитного поля. Одномерный градиент магнитного поля вдоль оси x магнитного поля Bo означает, что магнитное поле увеличивается по направлению x. Длина вектора показывает величину магнитного поля.

Градиенты магнитного поля по направлениям x, y и z обозначаются символами Gx, Gy и Gz, соответственно.

Частотное кодирование

Точка в центре магнита, где (x,y,z) =0,0,0 называется изоцентром магнита. В изоцентре магнитное поле имеет напряженность Bo и

Если линейный градиент магнитного поля применить к гипотетической голове с тремя спин содержащими областями, эти области будут испытывать разные магнитные поля.

Следствием этого будет являться ЯМР-спектр с более, чем одним сигналом. Амплитуда сигнала пропорциональна числу спинов в плоскости, перпендикулярной градиенту. Этот процесс называется частотным кодированием и делает резонансную частоту пропорциональной положению спина.

Этот принцип является основой всей магнитно-резонансной томографии. Для того чтобы понять как из ЯМР-спектра создается изображение, рассмотрим метод обратного проецирования.

Метод обратного проецирования

Метод обратного проецирования является формой магнитно-резонансной томографией. Она была одной из первых продемонстрированных форм магнитной томографии. Метод обратного проецирования есть дополненная описанная только что процедура частотного кодирования. При этом методе вначале объект помещается в магнитное поле.

С нескольких углов применяется одномерный градиент поля и для каждого градиента регистрируется ЯМР-спектр. К примеру, допустим, что нам необходимо изображение плоскости YZ объекта. Градиент магнитного поля по направлению +Y применяется к объекту и

регистрируется ЯМР-спектр.

После того, как получены все данные, они могут быть восстановлены по проекциям пространства в компьютерной памяти.

Изображение можно увидеть после нивелирования фоновой интенсивности.

Вообще, схема обратного отображения называется обратным преобразованием Радона.

В стандартной 90-FID отображающей последовательности этот процесс может применяться с помощью последующей импульсной последовательности.

Для применения метода обратного проецирования необходима возможность получать изображения спинов в тонких срезах. Это выполняется при помощи градиента Gz на последнем графике. В следующей части описано как выполняется выбор среза.

Выбор среза

Выбором слоя в МРТ является выбор спинов на плоскости, проходящей через объект. Принцип, стоящий за выбором слоя, объясняется резонансным уравнением. Выбор слоя достигается применением одномерного линейного градиента магнитного поля во время действия РЧимпульса. 90o-импульс, примененный вместе с градиентом магнитного поля будет вращать спины, расположенные в срезе или на плоскости, проходящей через объект. Это выглядит так, как если бы у нас был куб из маленьких векторов суммарной намагниченности.

Для понимания этого нам необходимо знать частоты, содержащиеся в 90o-импульсе. 90o-импульс содержит диапазон частот. Это можно увидеть, применив теорему свертки. Частоты прямоугольного 90o-импульса имеют вид sinc импульса. На рисунке представлены действительные части этого импульса.

Амплитуда sinc функции имеет максимум при частоте радиочастоты, включенной и затем выключенной. Эта частота повернется на 90o, тогда как другие меньшие и большие частоты повернутся на меньшие углы.

Применение этого 90o-импульса с градиентом магнитного поля по направлению x повернет некоторые спины из плоскости, перпендикулярной оси х, на 90o градусов. Слово "некоторые" было использовано, так как B1 некоторых частот меньше, чем это необходимо для поворота на 90o. Вследствие этого, выбранные спины, фактически, не входят в состав слоя.

Решением для плохого профиля слоя является формирование 90o-импульса в виде sinc импульса. Sinc импульс, как это было видно в главе 5, имеет квадратное распределение частот. На рисунке показаны действительные части этой функции.

Метод обратного отображения может быть достигнут применением следующих импульсов.

Предшествующий 90o-импульс вида sinc функции применяется вместе со срез-селектирующим градиентом. Градиент частотного кодирования включается в тот момент, когда выключается срез-селектирующий импульс. В этом примере, градиент частотного кодирования состоит из градиентов Gx и Gy. Спады свободных индукций подвергнуты преобразованию Фурье для получения частотной компоненты спектра, которая затем, для получения изображения, подвергается восстановлению по проекциям.

Метод обратного проецирования необычайно полезен для обучения, но никогда не используется в современной МРТ. Вместо него используется метод отображения с применением преобразованием Фурье. Эти методы описаны в следующей главе.

Основы МРТ

Глава 7 ОСНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ В ТОМОГРАФИИ

Введение

Градиент фазового кодирования

Томография с применением преобразования Фурье

Преобразование сигнала

Разрешение изображения Контрольные вопросы

Введение

В предыдущей главе можно было увидеть, как обычная методика получения двумерного изображения может быть произведена с использованием метода обратного проецирования. Для того, чтобы увидеть как в настоящее время проводится МРТ преобразование Фурье, в этой главе будет представлена концепция третьего типа градиентного магнитного поля, называемая фазо-кодирующим градиентом дополненным срез-селектирующим и частотно-кодирующим градиентами.

Градиент фазового кодирования

Градиентом фазового кодирования является градиент магнитного поля Bo. Градиент фазового кодирования используется для передачи определенного фазового угла вектору поперечной намагниченнгости. Определенный угол зависит от того, где расположен вектор поперечной намагниченности.

Например, представим, что существует три области со спинами. Вектор поперечной намагниченности от каждого спина поворачивается вдоль оси X.

Три вектора имеют одинаковый химический сдвиг и, следовательно, в одинаковом магнитном поле, Ларморова частота у них одинакова.

Если градиентное магнитное поле применяется вдоль оси X, все три вектора будут прецессировать вокруг направления примененного магнитного поля с частотой, определяемой из резонансного уравнения:

Во время действия фазо-кодирующего градиента каждый вектор поперечной намагниченности имеет собственную, отличную от других, Ларморову частоту. До сих пор описание фазо-кодирующего градиента не отличалось от частотно-кодирующего. С этого момента они будут отличаться. Если градиент в направлении X выключается, внешнее магнитное поле, испытываемое каждым спиновым вектором для всех практических целей, остается одинаковым. Поэтому частота Лармора каждого вектора поперечной намагниченности одинакова.

Фазовый угол, , каждого вектора, с другой стороны не одинаков. Фазовый угол, является угол между опорной осью, к примеру Y, и вектором намагниченности в момент выключения фазо-кодирующего градиента. В этом примере рассмотрены три различных фазовых угла.

Как и в примере частотно-кодирующего градиента, если бы существовал какой-либо способ измерения (в данном случае фазы) векторов спина, можно было бы установить их положение вдоль оси X. Теперь можно перейти к описанию простой отображающей последовательности преобразования Фурье.

Томография с применением преобразования Фурье

Наилучшим путем для понимания новой отображающей последовательности является изучение временной диаграммы последовательности. Временная диаграмма для отображающей последовательности показывает радиочастотные импульсы, градиенты магнитного поля и сигнал, как функцию от времени.