optika_sem_dnev
.pdf
переходе электрона с третьей на вторую орбиту.
4.22.На сколько изменилась кинетическая энергия электрона в атоме водорода при излучении атомом фотона c длиной волны λ = 4860 Å?
4.23.Найти: 1) радиус первой боровской электронной орбиты для одно- кратно ионизированного гелия; 2) скорость электрона на ней.
4.24.В каких пределах должна лежать длина волн монохроматического света, чтобы при возбуждении атомов водорода квантами этого света радиус орбиты электрона увеличился в 9 раз?
4.25.Определить энергию, необходимую для перевода атома водорода во второе возбужденное состояние ( k = 1, n = 3).
5. Волновые свойства частиц.
5.1.Формула де Бройля, выражающая связь длины волны с импульсом движущейся частицы в классическом приближении (v<<c, p=mv):
λ = |
h |
, |
(1) |
|
|||
|
p |
|
|
где h-постоянная Планка, m-масса покоя частицы. 5.2.Импульс релятивистской частицы:
|
|
m0υ |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
p = mυ = |
|
|
|
, λ = |
1 − υ |
2 |
, |
(2) |
||||
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
m0υ |
|||||||
1 − υ |
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
c |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
c 2 |
|
|
|
|
|
|
||
где m0-масса покоя частицы.
5.3.Связь длины волны де Бройля с кинетической энергией Ек частицы в классическом приближении:
λ = |
|
h |
|
, гдеEk |
= |
p 2 |
. |
(3) |
|
|
|
|
|
||||||
2m0 Ek |
|||||||||
|
|
|
|
|
2m |
|
|||
5.4. В релятивистском случае кинетическая энергия связана с импульсом соотношением:
p 2 c 2 = Ek (Ek + 2m0 c 2 ) ,
длина волны де Бройля: λ = |
|
|
hc |
|
, |
(4) |
|
|
|
|
|
||||
Ek (Ek |
+ 2m0 c 2 ) |
||||||
|
|
|
|
|
где E0 = m0 c 2 -энергия покоя частицы.
5.5.Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты u им- пульса частицы:
DxDp ³ h , |
|
|
(5) |
|
где |
x |
-неопределенность |
координаты |
частицы, |
px -неопределенность проекции импульса частицы на |
ось х,для |
|||
энергии и времени DEDt ³ h , где DE -неопределенность энергии дан- ного квантового состояния, Dt -время пребывания системы в этом состоянии.
5.6.Временное уравнение Шредингера
− |
h2 |
ψ + Uψ = ih ∂ψ , |
(6) |
|||||||
2m |
||||||||||
|
|
∂ 2 |
|
∂ 2 |
∂t |
∂ 2 |
|
|||
где |
= |
+ |
|
+ |
-оператор Лапласа, |
|||||
∂x 2 |
∂y 2 |
|
∂z 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
41
ψ (x, y, z, t) -волновая функция, описывающая состояния частицы, u(x, y, z, t) -её потенциальная частица,
h = h = 1,06 10-34Дж с, i-мнимая единица.
2π
5.7.В одномерном случае уравнение Шредингера:
− |
h |
∂2ψ |
= ih ∂ψ . |
(7) |
|||
|
|||||||
|
2m ∂x2 |
∂t |
|
||||
5.8.Одномерное стационарное уравнение Шредингера: |
|
||||||
∂2ψ |
+ |
2m |
(E − U )ψ = 0 , |
(8) |
|||
∂x2 |
h2 |
||||||
|
|
|
|
||||
где ψ = ψ (x) , Е- полная энергия частицы, U(x) – потенциальная энер-
гия.
5.9.Вероятность dW обнаружить частицу в интервале от x до x+dx (в од- номерном случае) выражается формулой dW =|ψ (x) |2 dx ,
где |ψ (x) |2 -плотность вероятности.
Вероятность обнаружить частицу в интервале от х1 до х2:
x2 |
|
W = ∫|ψ (x) |2 dx . |
(9) |
x1 |
|
5.10.Значение энергии частицы Еn, находящейся на n-ом энергетическом уровне в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике:
En |
= π 2 h2 |
n2 ,(n=1,2,3,…), |
(10) |
|
2ml 2 |
|
|
l-ширина потенциального ящика.
5.11.Соответствующая этой энергии волновая функция имеет вид:
ψ (x) = |
|
2 |
|
sin πn x . |
(11) |
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
l |
l |
|
|||||
5.12.Вероятность |
просачивания частиц |
сквозь потенциальный барьер |
|||||||||
(прозрачность) выражается формулой: |
|
||||||||||
|
− |
4πd |
|
|
|
|
|
|
|||
W ≈ e |
|
|
|
2m(U −E ) |
(12) |
||||||
|
h |
|
|
|
|
|
, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где d-ширина барьера,U-высота барьера, E-полная энергия частицы. 5.13.Условие нормировки волновой функции для одномерной задачи:
+∞ |
|
∫|ψ (x) |2 dx = 1 . |
(13) |
−∞
Примеры решения задач.
Задача1. Параллельный пучок электронов падает нормально на диафрагму с узкой прямоугольной щелью, ширина которой a=2 мкм. Определить скорость электронов, если известно, что на экране, отстоящем от щели на расстоянии l=50 см, ширина центрального дифракционного максимума b=80 мкм.
Решение.
Дифракция электронов является следствием волновой природы Длину волны де Бройля для электрона определим, применив формулу:
42
λ = h . mυ
Центральный дифракционный максимум заключен между двумя миниму- мами первого порядка. Запишем условие минимума для узкой щели:
a sin ϕ = kλ .
При к=1 asinϕ=λ, или asinϕ=h/mυ. Отсюда υ=h/(a m sinϕ).
При малых углах j sinj»tgj»b/2l. Подставив последнее выражение в предыдущее, получим:
υ = 2hl . mab
Предположив, что u<<c и m=m0=9,11*10-31 кг, в результате расчета полу-
чим u=4,5*106 м/с. Ответ: u=4,5*106 м/с.
Задача2. Кинетическая энергия Wk электрона в атоме водорода составляет порядка 10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить ми- нимальные размеры атома.
Решение.
Из соотношения неопределенностей DхDр³ h следует, что чем точнее определяется импульс частицы, а значит и её энергия, тем более неопре- деленным становится положение и наоборот.
Пусть атом имеет линейный размер l , тогда электрон атома будет нахо-
диться где-то в пределах области с неопределенностью Dх= l . 2
В этом случае соотношение неопределенностей имеет вид ( l )* px ³ h , 2
откуда l ³ 2h . px
Неопределенность импульса значения частицы не должна превышать зна-
чения самого импульса px ≤ px . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Импульс частицы связан |
с |
кинетической |
энергией соотношением |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
2h |
|
||
p = 2mWk0 . Отсюда следует, |
что l min = |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
. |
После подстановки |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2meWk |
|
|||
числовых значений получаем |
l min =0,12*10-9м. |
|
|
|
|
|||||
Ответ: l min =0,12*10-9м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача3. Воспользовавшись соотношением неопределенностей оцените ширину энергетического уровня в атоме водорода:
1)для основного уровня состояния; 2)для возбужденного состояния (время его жизни равно 10-8с).
Решение.
Из соотношения неопределенностей DEDt ³ h следует, что чем меньше
43
время жизни частицы в некотором состоянии, тем более неопределенной становится энергия этого состояния.
В основном состоянии (n=1) электрон может существовать бесконечно
долго, т.е. t = ∞ , поэтому |
E = |
h |
= 0 . Энергия имеет строго определенное |
|||
|
||||||
|
|
t |
|
|||
значение. |
|
|
|
|
|
t =10-8с. ширина |
В возбужденном состоянии (n>1) время жизни электрона |
||||||
энергетического уровня |
(размытость) равна E = |
h |
. |
Получаем, что |
||
|
||||||
t
E =4*10-7эВ.
Ответ: E =4*10-7эВ.
Задача4. Частица находится в основном состоянии (n=1) в одномерном потенциальном ящике шириной l с абсолютно непроницаемыми стенками
(0<x<1). Найти вероятность пребывания частицы в области 0<x< 1 l .
3
Решение.
Вероятность обнаружить частицу в интервале от х1=0 до х2= |
1 |
l в одно- |
||||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||
мерном случае: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
|
2 |
|
|
πn = |
2 |
|
sin πx , т.к. n=1. |
||||||
W = ∫|ψ n (x) |2 dx , где ψ (x) = |
|
sin |
|
|||||||||||
|
l |
|||||||||||||
0 |
|
l |
l |
|
n |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Подставив ψn в интеграл, получим:
W = |
2 |
l / 3 |
πx |
dx . |
|
∫ sin 2 |
|||||
l |
|
||||
|
0 |
l |
|||
|
|
|
|
||
Используя соотношение sinα=0,5(1-cos 2α), вычислим интеграл:
|
|
|
|
|
l |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
3 |
3 |
2πx |
|
1 l |
|
l |
|||||||||
W = |
|
|
|
∫dx − ∫cos |
|
|
= |
|
|
|
|
− |
|
||||
|
l |
l |
|
|
2π |
||||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
l 3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2πx |
l |
|
1 |
|
1 |
|
2πx |
l |
|
1 |
|
2π |
|
1 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
sin |
|
|3 = |
|
− |
|
sin |
|
|3 = |
|
− sin |
|
|
|
= |
|
− |
|
|
|
= 0,195. |
||||
|
|
2π |
|
|
|
|
|
4π |
|
|||||||||||||||
|
l |
0 |
|
3 |
|
|
l 0 |
3 |
|
3 2π |
|
3 |
|
|
|
|||||||||
Ответ: W=0,195.
Задачи.
5.1.Найти волну де Бройля для электрона, обладающего кинетической энергией:
1)Ек=100эВ; 2) Ек=3,0эВ.
5.2.Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел
ускоряющую разность потенциалов U0. Найти длину волны де Бройля λ для двух случаев:
1) U1=51В; 2) U1=510кВ.
5.3.Определить длину волны де Бройля для электрона, движущегося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии.
5.4.Электрон движется по окружности радиусом r=0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией В=8мТл. Определить длину волны де Бройля электрона.
44
5.5.Определить длину волны де Бройля электрона, движущегося по второй орбите атома водорода.
5.6.На узкую щель шириной a=1 мкм падает параллельный пучок элек-
тронов, имеющих скорость u=3,65*108 м/с. Определить расстояние х между двумя максимумами интенсивности первого порядка в дифрак- ционной картине, полученной на экране, отстоящем от щели на рас- стоянии L=10см.
5.7.Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10эВ. Используя соотношения неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.
5.8.Определить неточность Dх в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью u=1,5*106 м/с, если допус- каемая неточность Du в определении скорости составляет 10% от её ве- личины. Сравнить полученную неточность с диаметром d атома водоро- да, вычисленным по теории Бора для основного состояния и указать, применимо ли понятие траектории в данном случае.
5.9.Длительность возбужденного состояния атома водорода соответствует
примерно Dt=10-7с. Какова неопределенность энергии в данном со- стоянии?
5.10.Наименьшая неточность, с которой можно найти координату элек- трона в атоме водорода, порядка 10-10м. Найти неопределенность средней кинетической энергии электрона в невозбужденном атоме водорода.
5.11.Электрон находится в одномерной бесконечно глубокой потенциаль- ной яме шириной l=10-9м с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти его наименьшее значение энергии.
5.12.Нейтрон находится в одномерной бесконечно глубокой яме шириной l=10-14м с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти наименьшую разность двух соседних энергетических уровней нейтрона. Ответ выра- зить в электрон-вольтах.
5.13.Электрон с кинетической энергией 15эВ находится на металлической
пластине диаметром 1 мкм. Оценить относительную неточность Du, с которой может быть определена скорость электрона.
5.14.Во сколько раз дебройлевская длина волны l частицы меньше неопределенности Dх её координаты, которая соответствует относительной неопределенности импульса в 1%?
5.15.Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна дебройлевской длине волны, определить относительную неточ-
ность Dр/р импульса этой частицы.
5.16.Приняв, что минимальная энергия Е нуклона в ядре равна 10МэВ, оценить, исходя из соотношения неопределенностей, линейные размеры ядра.
5.17.Используя соотношение неопределенностей DхDрх³ h , оценить низ- ший энергетический уровень в атоме водорода. Принять линейные раз- меры атома l~0,1мм.
5.18.Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной l. Вычислить вероятность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии45
что электрон, находящийся в возбужденном состоянии (n=2), будет об- наружен в средней трети ящика.
5.19.Электрон с энергией Е=4,9эВ движется в положительном направлении оси х. Высота потенциального барьера равна 5эВ. При какой ширине d барьера вероятность прохождения электрона через него будет равна 0,2?
5.20.Электрон находится в потенциальном ящике шириной l=0,5нм. Оп- ределить наименьшую разность Е энергетических уровней электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах.
5.21.Собственная функция, описывающая состояние частицы в потенци-
альном ящике, имеет вид ψ (x) = C sin πn x . Используя условие нормировки, l
определить постоянную С.
5.22. Частица в потенциальном ящике шириной l находится в возбужденном состоянии (n=2). Определить, в каких точках интервала (0<x<l) плотность вероятности |ψ2(x)|2 нахождения частицы максимальна и минимальна.
5.23.Частица в потенциальном ящике шириной l находится в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность W нахождения частицы в интервале ¼,равноудаленном от стенок ящика.
5.24.Электрон с энергией Е=9эВ движется в положительном направлении оси х. Оценить вероятность того, что электрон пройдет через потенци- альный барьер, если высота U=10эВ и ширина d=0,1нм.
5.25.Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину l=0,1нм. При какой разности энергий (U-Е) вероятность W прохождения электрона через барьер равна 0,99?
46
6. Физика атомного ядра. Радиоактивность
Основные формулы 6.1. Массы атомов принято измерять в атомных единицах массы (а.е.м.). За а.е.м. принята 1/12 массы изотопа углерода 6С12.
1а.е.м. = 1,65976 · 1 0-27 кг.
6.2.Заряд электрона е = 1,6·10-19 Кл. Масса покоя электрона mе = 9,1·10-31 кг
= =5,486· 10-4 а.е.м. |
(1) |
6.3.Массовое число
А= Z + N,
где Z - зарядовое число, равное числу протонов в ядре, N - число нейтронов.
6.4. Масса ядра
Мя = Мат - Z · me , |
(2) |
Мат - масса атома, Z - число электронов в атоме.(порядковый номер |
|
элементов в периодической таблице). |
|
6.5. Дефект массы ядра |
|
DM = Zmp + Nmn - M я = Z × mн + Zmn |
- M am |
где mн - масса атома водорода, mн = 1,6735 · 10-27 кг = 1,007825 а.е.м.; mp - масса протона; mр = 1,6726 · 10 -27 кг = 1,007276 а.е.м.; mn - масса нейтрона, mn = 1,675 · 10-27 кг = 1,008665 а.е.м.
6.6. Энергия связи ядра
DW = DM ×c2 |
(4) |
св |
|
где с - скорость света в вакууме (с = З ·108 м/с). Если [?M] = кг, [?υ] = м/с, то [?Wсв] = Дж.
В ядерной физике широко применяется внесистемная единица энергии МэВ (мегаэлектрон - вольт):
1МэВ = 106 эВ = 106 и 1,6 · 10-19 Дж= 1,6 · 10-13Дж.
Если дефект масс ?W выразить в а.е.м., то - энергия связи, соответст- вующая 1 а.е.м. будет равна
|
2 |
|
|
-27 |
|
16 |
м2 |
1,65976 ×10-27 × 9 ×1016 Дж |
|
(5) |
||||
DWсв = 1 а.е.м. × с |
|
=1,65976 |
×10 |
|
× 9 |
×10 |
|
|
= |
|
|
|
= 931МэВ. |
|
|
|
c |
2 |
1,6 ×10 |
−13 |
Дж |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, формулу (4) можно записать в виде
DWсв = DM ×931МэВ |
(6) |
где дефект масс ?M выражен в а.е.м. |
|
6.7. Закон радиоактивного распада |
|
Ν = Ν0e−λt |
(7) |
где λ - постоянная распада, N0 - исходное количество ядер, N - число не распавшихся ядер к моменту времени t.
6.8. Период полураспада
T = |
0.693 |
= |
ln 2 |
(8) |
λ |
λ |
6.9. Среднее время жизни τ радиоактивного ядра - промежуток времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в е раз:
τ = |
1 |
(9) |
|
λ |
|||
|
|
47
6.10. Активность радиоактивного препарата
a = − |
dN |
= a0e−λt = λN , |
(10) |
|
|||
|
dt |
|
|
где α0 = λN0 - начальная активность.
6.11.Единицы активности радиоактивного вещества:
1расп/с = 1 Бк (беккерель),
1Кюри = 3,7 · 1010 Бк,
1ГБк = 109 Бк,
1ТБк = 1012 Бк.
6.12.Число атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе массой m ,
Ν = mμ Ν A
где NA - число Авогадро ( NA = 6,023 · 1023 моль-1 масса изотопа ( µ = 10-3 · М кг/моль), М - атомная выраженная в а.е.м., находится из таблицы).
6.13. В природном уране содержится изотопов урана:
), µ - молярная масса изотопа,
U238 |
................................................. 0,9927, |
U235 ................................................. |
0,00721, |
U234 ................................................ |
0,00005. |
6.14. Периоды полураспада некоторых изотопов:
1. |
6С14............................................................................ |
5570лет |
2. |
20Сa45 ............................................................. |
…… . 164суток |
3. |
27Со60 ……………………………………..5,3 |
года |
4. |
38Sr90 ................................................. |
27 лет |
5. |
58Се144 ................................................. |
285 суток |
6. |
77Ir192 ................................................... |
75 суток |
7. |
84Ро210 .................................................. |
.138суток |
8. |
86Rn222..................................................... |
3,82 суток |
9. |
88Ra228 ................................................ |
1590 лет |
10. 92 U235 ................................................ |
7,1·108 лет |
|
11. 92U238 ....................................................... |
4,5·109лет |
|
12.94Pu239 ..................................................... |
24410 лет |
|
6.15. Энергия ядерной реакции (тепловой эффект реакции) |
||
|
Q = c2 (∑mi − ∑mi| ) |
(12) |
где ∑mi и ∑m΄j - сумма масс покоя частиц до и после реакции соот- ветственно. Если Q>0 реакция экзотермическая, если Q <0., эндо- термическая.
Примеры решения задач
Задача1. Найти массу m изотопа 27Со60, которая необходима для получения активности α = 1 кКюри. Во сколько раз уменьшится эта активность через t
= 10,5 лет? |
|
||
Дано: |
Решение |
||
α = 103 Кюри = 3,7·1013 |
расп |
Активность радиоактивного изотопа |
|
с |
|||
|
|
||
48
µ = 60 · 10-3 кг/моль |
|
|
|
|
a = - |
dN |
= λ × N |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
NA =6.023 · 1023 1/моль |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Т=5,26 лет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
гдеλ = |
|
постоянная распада, |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t =10,5 лет = 5,26 · 3,2 · 10 с |
n = |
|
|
N A |
- число не распавшихся атомов в |
||||||||||||||||||||||||||||
|
μ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
данный момент t , |
µ - молярная масса радиоактивного элемента, NA - число |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Авогадро, m - масса элемента. Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
α = |
0.693 |
× |
m |
N A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
T |
|
μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда |
m = |
|
α ×T × μ |
= |
|
α ×T × M ×10−3 |
|
= |
0,882 ×10 |
−3 |
кг = 0,883г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
0,693N A |
0,693×6,023×1023 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-(ln 2)×t |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
Из формулы, |
α = αoe−λt |
получаем |
|
α = αoe |
|
|
T |
|
|
= αoe-2ln 2 = αo |
|
|
|
= |
|
|
o |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
(e |
ln 2 |
) |
4 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
αo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
откуда |
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
α |
|
|
|
|
|
|
αo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Ответ. |
m = 0.882г, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
= 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Задача2. Сколько процентов от начального количества радиоактивного химического элемента распадается за время, равное средней продолжи- тельности жизни этого элемента?
|
Дано: |
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
||||||
|
t = τ |
|
|
|
|
По закону радиоактивного распада N = N0e-λt, |
|||||||||
|
N0 − N |
|
|
|
|
|
где N- число не распавшихся атомов к |
||||||||
|
|
|
×100% - ? |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
N 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
моменту t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ. - постоянная распада. Среднее время |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жизни |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ = |
1 |
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подставив выраже ние (2) в уравнение (1), получим |
|
||||||||||||||
|
|
N = N0e−λt = N0e−1 |
или |
|
|
|
|
||||||||
|
|
N |
= |
1 |
= |
1 |
» 0.37 |
отсюда |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2.7 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
N0 e |
|
|
N0 − N |
|
|
N0 − 0.37N0 |
|
|
|||||
|
|
N = 0.37N0 |
и |
|
×100% = |
×100% = 63% |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N0 |
|
N0 |
|
||
О т в е т: 63 %.
Задача3. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра изотопа лития 3Li7.
Дано: Решение
49
z = 3 |
Дефект массы M = z ·mp+N · mn-Мя, (1) |
А=7
?M-?
где z = 3 - порядковый номер элемента, равный числу протонов в ядре (за- рядовое число), N = 4 - число нейтронов в ядре, Мя -масса ядра, mр и mn- массы протона и нейтрона соответственно.
Mя = Maт – z · m e , |
(2) |
me — масса электрона , Мат -масса атома, для 3Li7 |
Мат = 7.0182 а.е.м. |
(см. таблицу)
С учетом выражения (2) уравнение (1) перепишем в следующем виде:
M = z ·mp+N · mn - (Мат – z · m e) = z(mp+ mn) + N · mn- Maт= zmH+ N · mn- MaT
(3)
В таблице найдем значения масс атома водорода mн = 1,00783 а.е.м и нейтрона mn = 1,00867 а.е.м. и, произведя расчеты по формуле (3), получим
?M =0,04186 а.е.м. |
j |
Энергию связи рассчитаем по формуле |
|
?W = 931 · ?M. |
|
Подставив значение |
?M, получим ?Wсв = 39МэВ |
Ответ: ?M = 0,04186 а.е.м.; ?Wсв = 39МэВ.
Задача4. Найти энергию реакции
5 B10 +0 n1 →5 B11 →3 Li7 +2 He4
Решение
Энергию реакции Q найдем по формуле которая в данном случае записы- вается так:
Заменив массы покоя ядер атомов массами покоя самих атомов, значения которых даны в таблицах, получаем
Q = 93 1[(10.01294 + 1.00867)-(7.01601 + 4.00260)] =2.8 МэВ Ответ: =2.8 МэВ
Задачи
6.1.На какую часть уменьшится активность изотопа 92U253 за время t - 1000 лет?
6.2.Сколько атомов полония распадается за 1 сутки из 1 млн атомов ?
6.3.Найти число распадов за 1с. в 1г. радия.
6.4.Найти массу радона, активность которого равна 1 Кюри.
6.5.Найти количество полония 84Ро210, активность которого равна 3.7·1010 расп/с
6.6.Найти постоянную распада радона, если известно, что число атомов радона уменьшается за сутки на 18,2 %.
6.7.Найти удельную активность урана 92U253.
6.8.Чему равна активность радона, образовавшегося из 1 г радия за 1 час?
6.9. Определить промежуток времени, в течение которого активность изотопа стронция Sr90 уменьшится в 10 раз.
50