Конспект лекций для подготовки к коллоквиуму
.pdff ( X )
f ( X |
0 |
) |
|
(dx |
2 |
|
|||||
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
... dx |
2 |
) o(dx |
2 |
n |
|
||
|
1 |
||
... dx |
2 |
) |
|
n |
|||
|
|
.
Последний член в неравенстве более
высокого порядка малости при X X |
0 |
, чем предпоследний. Поэтому найдется окрестность |
||
|
||||
точки X |
0 |
, в которой предпоследний член превзойдет последний по модулю, и мы получим |
||
|
||||
f ( X ) f ( X 0 ) 0 , то есть в точке X 0 |
будет наблюдаться локальный минимум. Аналогично |
|||
доказывается для отрицательно определенной квадратичной формы. Для неопределенной квадратичной формы доказывается методом от противного. Теорема доказана.
|
|
Условный экстремум. |
|
|
||||
Пусть задана функция U f0 (x1 |
,..., xn ) |
и уравнения связи |
fi (x1,..., |
|||||
Опр. Функция |
f ( X ) |
имеет в |
точке |
X |
0 |
(x1,..., xn ) |
условный |
|
|
||||||||
x |
) 0, |
i 1,..., m, |
n |
n |
|
|
|
максимум (минимум),
m.
если
O( X |
0 |
) : |
X |
O( X |
0 |
) и удовлетворяющим уравнениям связи выполняется неравенство |
||||
|
|
|||||||||
f (X ) f (X |
0 |
) |
f (X ) f (X |
0 |
) . В случае строгих неравенств для всех точек окрестности, |
|||||
|
|
|||||||||
кроме центральной, условные экстремумы называются строгими.
Прямой метод отыскания условного экстремума.
Предположим, что из системы уравнений связи можно выразить какие-либо m переменных
через остальные |
n m переменных. |
Тогда, подставив их |
функцию n m |
переменных. Задача |
отыскания условного |
образом, к отысканию обычного экстремума.
в U f0 (x1,..., xn ) получим экстремума сводится, таким
Метод множителей Лагранжа отыскания условного экстремума.
В случае, когда решение уравнений связи вызывает затруднения, для нахождения условного экстремума используется метод множителей Лагранжа. Он заключается в следующем.
Вводится функция Лагранжа L( X , ) f0 ( X ) i fi ( X ), i 1,..., m . Если |
f0 ( X ) имеет в |
||||||
X |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
(x1 ,..., xn ) условный экстремум, тогда найдутся такие множители Лагранжа 1 ,..., |
||||||
что ( X |
0 |
, |
0 |
) будет стационарной точкой функции Лагранжа. Таким образом, отыскав |
|||
|
|
||||||
точке
0 , m
стационарные точки функции Лагранжа, мы будем знать все точки условного экстремума нашей функции и некоторые точки, не являющиеся точками условного экстремума.
Теперь исследуем второй дифференциал функции Лагранжа в стационарных точках. Второй
дифференциал вычисляется при фиксированных
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
X |
0 |
0 |
0 |
2 |
0 |
, |
0 |
) |
|
(x1 |
,..., xn ) |
и обозначается dxx L( X |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
0 1
n
j
|
|
0 |
по переменным |
|||||||
,..., m |
||||||||||
|
2 |
L( X |
0 |
, |
0 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
dx dx |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x x |
|
|
|
k |
j |
|
||
|
|
j |
|
|
|
|
|
|||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
,..., x |
1 |
n |
в точке
2 |
|
|
0 |
, |
0 |
) |
положительно определенная квадратичная форма, тогда в точке ( X |
0 |
, |
0 |
) |
|||
Если dxx L(X |
|
|
|
|
||||||||||
обычный локальный минимум функции Лагранжа и условный минимум нашей функции. |
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
0 |
, |
0 |
) |
отрицательно определенная квадратичная форма, тогда в точке ( X |
0 |
, |
|
0 |
) |
||
Если dxx L(X |
|
|
|
|
||||||||||
обычный локальный максимум функции Лагранжа и условный максимум нашей функции. |
|
|||||||||||||
Если d 2 |
|
L(X 0 |
, 0 ) |
неопределенная квадратичная форма, тогда в точке ( X 0 , 0 ) нет обычного |
||||||||||
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
экстремума функции Лагранжа, но условный экстремум нашей функции может |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
существовать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Чтобы это выяснить, в выражении d 2 L(X 0 , 0 ) необходимо учесть зависимость между |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
дифференциалами |
dx1,..., dxn , которая следует из уравнений связи. Если выражение |
|
|
|
|
|
|
|||||||
d 2 L(X 0 |
, 0 ) , полученное с учетом зависимости между дифференциалами dx ,..., dx , |
|
|
|
|
|
|
|||||||
xx |
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
положительно определенная или отрицательно определенная квадратичная форма, тогда в точке ( X 0 , 0 ) имеем условный минимум или максимум, соответственно. Если полученное выражение неопределенная квадратичная форма, тогда в точке ( X 0 , 0 ) нет экстремума.
11
|
|
|
Наибольшее и наименьшее значения функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Пусть непрерывная |
|
функция |
f (x, y) определена |
в |
|
некоторой |
ограниченной замкнутой |
|||||||||||||||||||||||||||||||
области, граница которой |
задается |
уравнением |
|
|
g(x, y) 0 . |
|
|
Наибольшие и |
наименьшие |
|||||||||||||||||||||||||||||
значения функция |
f (x, y) |
может принимать в точках экстремума (внутри области) |
и на |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
границе области |
в |
точках |
условного экстремума |
функции |
|
|
|
f (x, y) |
с |
уравнением |
связи |
|||||||||||||||||||||||||||
g(x, y) 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неявные функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рассмотрим |
|
уравнение |
|
f (x, y) 0 . |
Множество |
точек |
|
плоскости, |
координаты которых |
|||||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяют |
этому |
|
уравнению, |
можно |
назвать |
графиком |
|
|
уравнения. |
Например, |
||||||||||||||||||||||||||||
множеством |
|
точек, |
|
удовлетворяющих |
уравнению |
x |
2 |
y |
2 |
1, |
|
|
|
является |
окружность |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
единичного радиуса. |
Верхняя часть этой окружности соответствует функции |
y 1 x |
2 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нижняя часть окружности определяется функцией |
y |
1 x |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Теор. Пусть непрерывная функция |
f (x, y) |
имеет в окрестности точки x0 , y0 непрерывные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
производные |
|
|
|
|
|
|
|
|
и при этом |
f (x |
0 |
, y |
0 |
) |
0 , |
|
|
(x |
0 |
, y |
0 |
) |
0 |
, тогда существует |
||||||||||||||
fx |
(x, y), |
|
fy (x, y) |
|
|
f y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: x0 a x x0 a, |
y0 |
b y y0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
прямоугольник |
P |
|
|
x, y |
|
b |
|
, |
в |
котором функция |
||||||||||||||||||||||||||||
f (x, y) 0 |
определяет |
|
y |
как |
неявную |
функцию |
|
x . |
|
Функция |
|
|
|
y (x) - |
непрерывно |
|||||||||||||||||||||||
дифференцируема на интервале
x |
0 |
a, x |
0 |
a |
|
|
|
и
dy |
|
|
dx |
||
|
fx (x, y) f y (x, y)
.
Вопросы к коллоквиуму (2 семестр)
1.Несобственные интегралы. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов (док).
2.Несобственные интегралы. Их свойства.
3.Необходимое и достаточное условие сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций (док).
4.Признак сравнения (док).
5.Предельный признак сравнения (док).
6.Интегрирование несобственных интегралов по частям.
7.Открытые, замкнутые, ограниченные, связные множества.
8.Предел функции. Критерий Коши существования конечного предела.
9.Непрерывность функции в точке.
10.Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости (док).
11.Достаточное условие дифференцируемости.
12.Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
13.Дифференцирование сложной функции (док).
14.Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала (док).
15.Касательная плоскость к графику функции двух переменных. Вектор нормали.
16.Теорема о смешанной производной.
17.Формула Тейлора.
18.Экстремум функции. Необходимое условие экстремума (док).
19.Достаточное условие экстремума.
20.Условный экстремум. Прямой метод отыскания условного экстремума.
21. Наибольшее и наименьшее значения функции, заданной на ограниченном замкнутом множестве.
22. Теорема о неявной функции.
12
13