
Конспект лекций для подготовки к коллоквиуму
.pdf
Конспект лекций для подготовки к коллоквиуму
Несобственные интегралы.
Интеграл Римана был введен для ограниченных на отрезке функций. Естественно распространить понятие интеграла на случай бесконечного промежутка, а также на случай, когда подынтегральная функция является неограниченной.
Опр. Пусть функция f (x) определена на луче a, |
и интегрируема на любом конечном |
|||
|
|
b |
|
|
отрезке a,b1 |
. Если существует предел lim |
1 |
|
|
|
f (x)dx , то он называется несобственным |
|||
|
||||
|
b |
|
|
|
|
1 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b1 |
интегралом первого рода и обозначается f (x)dx lim f (x)dx . |
||||
|
a |
|
b1 |
|
|
|
|
a |
|
Опр. Пусть |
f (x) задана на полуинтервале a, b , интегрируема на любом конечном отрезке |
|||
1 |
|
|
|
b . Если существует предел |
a,b1 , (b b) и неограниченна в окрестности точки |
|
|
b |
|
|
1 |
lim |
f (x |
|
b |
b |
|
1 |
|
a |
|
|
|
b |
|
|
f (x)dx |
||
a |
|
|
)dx , то он называется несобственным интегралом второго рода и обозначается |
||
|
b |
|
|
1 |
|
lim |
|
f (x)dx . |
|
||
b b |
|
|
1 |
a |
|
|
|
Если указанные пределы конечные, то интегралы называются сходящимися, если пределы бесконечные, то расходящимися, если пределы не существуют, то, говорят, что несобственные интегралы не существуют.
Замечание. Определение несобственного интеграла на полуинтервале a, b является |
|
содержательным лишь при неограниченности функции f (x) в окрестности точки b . |
|
Действительно, если функция f (x) определена и ограничена на a, b , то доопределив |
f (x) |
в точке b , получим интегрируемую на a,b функцию. При этом интеграл не зависит от
значения функции в одной точке b .
Теор. (Критерий Коши сходимости несобственных интегралов) Пусть задан интеграл
b f (x)dx
a
с единственной особенностью в точке
b
(
f (x)
не ограничена в точке
b
или
b ). Для его сходимости необходимо и достаточно выполнения условия Коши:
0 |
b (a, b) : |
b , b |
b , b (b |
, b) |
|
0 |
|
0 |
|
b |
|
|
f (x)dx |
b |
|
.
|
x |
|
Док. Рассмотрим функцию F (x) f (x)dx |
(a x b). Тогда сходимость интеграла |
|
|
a |
|
b |
|
|
|
означает существование конечного предела функции F (x) при x b , а этот |
|
f (x)dx |
||
a |
|
|
конечный предел, согласно Критерию Коши для функции F (x) , существует в том и только том случае, когда F (x) удовлетворяет условию:
|
b |
0 b0 (a,b) : b ,b |
b ,b (b0 ,b) F(b ) F( b) . Но F (b ) F (b ) f (x)dx . |
|
b |
Теорема доказана. |
|
1

Свойства несобственных интегралов.
|
b |
|
b |
|
|
|
1. |
f (x)dx |
и |
f (x)dx |
c (a, b) , особенность в точке |
b |
- сходятся и расходятся |
|
a |
|
c |
|
|
|
одновременно. (Критерий Коши формулируется одинаково).
b |
b |
|
b |
|
2. ( Af (x) Bg(x))dx = A f (x)dx + B g(x)dx . |
||||
a |
a |
|
a |
|
|
|
|
b |
|
(Является следствием равенства |
lim |
|
( Af (x) |
|
|
||||
|
|
b b |
a |
|
|
|
|
|
Bg(x))dx
=
b
Alim b b a
f
(x)dx
+ B
b
lim b b a
g(x)dx
).
b
3. Если f (x)
dx - сходится, то сходится
a
( Из условия Коши сходимости интеграла
b
f (x)dx , т.к. справедливо неравенство
a
b
a
b
a
b
b
|
|
|
b |
b |
||||
f (x)dx , причем |
f (x)dx |
|
|
f (x) |
|
dx . |
||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
a |
a |
||||
f (x) dx |
следует условие Коши для интеграла |
|||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
f (x)dx |
|
f (x) dx . Воспользуемся неравенством |
||||||
|
||||||||
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
f (x)dx |
f (x) dx, |
|
a |
a |
|
левой и правой частей.
b |
|
|
b |
|
|
f (x)dx |
|
|
f (x) dx .) |
|
|
|||
a |
|
|
a |
|
x a, b . В силу сходимости интегралов существуют пределы от Переходим к пределам и получим неравенство
Несобственные интегралы от неотрицательных функций.
Теор. Если |
x a,b |
||
|
|
|
|
чтобы |
|
функция |
|
C : |
x a,b |
F (x) |
f
x
a
(x) 0 , то для
x F(x) f (x)dx
a f (x)dx C .
сходимости
бала
b |
|
|
необходимо и достаточно, |
f (x)dx |
|
a |
|
ограничена сверху, т.е.
Док. |
Так |
как F (x) |
возрастающая функция, то |
из |
сходимости интеграла |
следует, что |
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim F(x) |
|
f (x)dx I |
sup F (x) C. |
Обратно, |
если |
F (x) |
возрастающая |
функция |
и |
|||
|
||||||||||||
x b |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ограничена сверху, то она имеет конечный предел. Теорема доказана. |
|
|
||||||||||
Теор. (Признак сравнения). Если x a,b выполняется условие 0 f (x) g(x) , тогда: |
|
|||||||||||
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
а). Из сходимости g(x)dx следует сходимость f (x)dx |
; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
|
|
б). Из расходимости |
|
f (x)dx следует расходимость g(x)dx . |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
x a,b |
. |
|
|
x |
|
|
Док. |
а). |
|
Имеем |
f (x)dx g(x)dx |
Так как |
lim g(x)dx I C , то |
по |
|||||
|
|
|
|
a |
a |
|
|
|
|
x b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
b
предыдущей теореме f (x)dx сходится.
a
2

|
|
b |
|
б). Из расходимости |
|
f ( |
|
|
|||
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
сходится, тогда |
||
g(x)dx |
|||
a |
|
|
|
x)dx
по
|
|
|
|
b |
|
следует расходимость |
|
g |
|||
|
|||||
|
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
пункту а) |
|
f (x)dx |
тоже |
||
|
|||||
|
a |
|
|
|
|
(
x)dx . Предположим обратное, что
сходится. Противоречие. Теорема
доказана.
Теор. (Предельный признак сравнения). Пусть
lim |
f (x) |
A 0 |
, тогда несобственные интегралы |
|
g(x) |
||||
x b |
|
|
функции
b f (x)dx
a
|
f (x) |
и |
|
|
b |
|
|
и |
|
g(x)dx |
|
|
|||
|
a |
|
|
g(x) положительны и сходятся и расходятся
одновременно.
Док. |
lim |
f (x) |
A |
0 |
|
|
|||||
|
x b |
g(x) |
|
|
|
последнее |
неравенство |
( A )g( |
|||
|
|
|
|
b |
|
получим, что интегралы |
|
f (x)dx |
|||
|
|||||
|
|
|
|
a |
|
b0 a,b
x) |
f (x) |
|
|
b |
|
и |
|
g(x)dx |
|
||
|
a |
|
: x x b0 ,b |
f (x) |
A . |
Раскрывая |
||
g(x) |
|||||
|
|
|
|
||
( A )g(x) |
и используя признак |
сравнения, |
сходятся и расходятся одновременно. Теорема
доказана.
Пример. Показать, что
|
1 |
ln x |
|
|||
|
dx |
|||||
3 |
x |
3 |
||||
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
сходится. Применить признак сравнения.
|
1 |
ln x |
|
|
x |
|
||
|
dx |
|
3 dx |
|||||
3 |
x |
3 |
3 |
x |
||||
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Показать, что
2
2
x |
|
dx |
|||
|
|||||
x |
3 dx |
x |
2 |
||
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
||
1 ln x |
dx |
|
|||
|
1 x |
|
|||
|
|
|
|
сходится
расходится. Применить признак сравнения.
|
1 |
ln x |
|
|
|
dx |
|||
1 x |
||||
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
> |
|
|
dx ln |
|
1 x |
|
||
|
|
|
||||||
1 |
x |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 3 расходится
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. Показать, что |
|
|
dx |
сходится. Применить предельный признак сравнения. |
|||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
sin x |
1 |
|
lim |
x sin x |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Функция |
1 |
эквивалентна |
подъинтегральной функции при |
x 0. |
Интеграл от |
||||||||||||||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эквивалентной функции сходится. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. |
|
|
|
Показать, |
что |
|
x |
arctg x |
dx |
расходится. Применить |
предельный |
признак |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 x4 |
|
|
|
|
|||||
сравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
x arctg x |
1 |
lim |
x2 |
|
arctg x |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
1 x |
4 |
|
|
|
x |
|
|
1 x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Функция |
|
1 |
|
одного порядка малости с подъинтегральной функцией при x . |
Интеграл |
||||||||||||||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
- расходится. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3

Интегрирование по частям несобственных интегралов.
Пример. Показать, что
|
sin x |
|
|
|
dx |
||
x |
|||
1 |
|
||
|
|
сходится. Применить метод интегрирования по частям.
b |
sin x |
|
|
|
cos x |
b |
b |
cos x |
|
|
|
|
sin x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
dx . |
Переходим к пределу |
|
dx cos1 |
|
||||||||||||
x |
|
|
x |
|
|
|
x |
2 |
|
x |
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
интеграл |
сходится |
|
абсолютно, т.к. сходится |
|
интеграл от |
||||||||||||||||
|
cos x |
|
|
|
cos x |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
dx |
|
dx |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|||||||||||
x |
2 |
|
x |
2 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x
Аналогично показывают, что dx тоже сходится.
1 x
cos x |
dx . |
Последний |
||
x |
2 |
|||
|
|
|||
|
|
|
||
модуля |
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример. Показать, что |
dx |
сходится не абсолютно (условно). |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
dx |
|
sin |
|
x |
dx |
1 |
dx |
1 |
|
|
d (2x) |
|
|
1 |
|
|
cos 2x |
d (2x) . Первый из последних двух |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
x |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
2x |
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
2x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
интегралов расходится, второй – сходится, значит, их разность расходится. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример. |
Показать, что |
|
|
|
x cos x |
3 |
dx |
|
|
сходится. |
|
(Заметим, что |
предел подынтегральной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
функции на бесконечности не равен нулю.) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
3 |
|
|
|
|
sin x |
3 |
|
|
|
|
|
sin1 |
|
|
|
sin x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
dx |
. |
Последний |
интеграл |
сходится |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x cos x |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
абсолютно, что можно показать при помощи признака сравнения. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример. Показать, что |
|
|
dx |
сходится. Применить метод интегрирования по частям. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dx 2 |
|
x ln x |
1 |
|
|
|
dx 0 |
|
dx 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
sin |
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример. Показать, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
сходится абсолютно. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
sin |
1 |
|
|
|
1 |
|
sin 1 |
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
dx 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример. Показать, что |
|
|
dx |
сходится. Применить метод интегрирования по частям. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sin x |
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx cos1 |
|
dx. |
Последний интеграл сходится абсолютно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
что можно показать при помощи признака сравнения.
Опр. Точкой n вещественных чисел
Функции многих переменных. |
|
мерного пространства называется упорядоченная совокупность |
n |
(a1, a2 , a3 ,..., an ) a . Число ai (i 1,..., n) называется i той координатой
точки a . |
|
|
|
|
|
|
Опр. Пространством |
Rn называется совокупность точек |
n мерного |
пространства, |
|||
|
|
|
|
|
||
расстояние между которыми определяется равенством (a, b) |
(a b )2 |
... (a |
b )2 . |
|||
|
|
1 1 |
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
4 |

Расстояние обладает свойствами:
1. |
(a, b) 0 ; |
2. |
(a, b) (a, b) ; |
3. |
(a, b) (a, c) (b, c) . |
Опр. |
окрестностью |
точки |
a |
называется |
совокупность |
точек |
X (x1,..., xn ) , |
||||||||||
удовлетворяющих неравенству (a, X ) |
. Обозначается O(a, ) X R |
n |
, (a, X ) . |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
Опр. |
Прямоугольной окрестностью точки |
a называется совокупность точек |
X (x1,..., xn ) , |
||||||||||||||
удовлетворяющих |
|
|
|
неравенствам |
|
ai |
i |
xi ai i , |
i 1,..., n . |
||||||||
P(a, 1 |
,..., n ) X R |
n |
, ai i |
xi ai i , |
i 1,..., n . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Утверждение. |
Какова |
бы |
ни |
была |
|
O(a, ) , |
существует |
P(a, 1 |
,..., n ) , |
такая, что |
|||||||
P(a, 1 |
,..., n ) O(a, ) |
, и, |
наоборот, какова бы ни |
была P(a, 1 |
,..., n ) , |
существует O(a, ) , |
такая, что |
O(a, ) |
Опр. Говорят, что
P(a, 1,..., n ) . |
|
|
|
на множестве Rn задана последовательность |
|
||
am |
|
, если каждому |
натуральному m для разных m ).
Опр. Точка
поставлена в соответствие точка |
a |
m |
R |
n |
.(Не обязательно разные точки |
|||||
|
|
|||||||||
a R |
n |
называется пределом |
последовательности |
a |
m |
, если |
||||
|
|
0 m : |
m |
m m a |
m |
O(a, ) . |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Утверждение. |
Для того чтобы |
|
a |
m |
m |
m |
) R |
n |
||
|
|
(a1 |
,..., an |
|
||||||
достаточно, чтобы |
m |
i 1,..., n . |
|
|
||||||
lim ai ai , |
|
|
||||||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
сходилась к точке
a
, необходимо и
|
Открытое множество. |
|
Пусть |
A - некоторое множество точек в пространстве Rn . |
|
Опр. |
Точка a A называется внутренней точкой, если существует окрестность точки a , |
|
содержащаяся в множестве A . |
|
|
Опр. |
Множество называется открытым, если все его точки внутренние. |
|
Опр. |
Точка a называется граничной точкой множества, если в любой |
окрестности этой |
точки существуют точки, как принадлежащие множеству, так и не принадлежащие
множеству. |
|
|
Опр. |
Множество называется закрытым, если оно содержит все свои граничные точки. |
|
Опр. |
Множество A называется ограниченным, если существует |
n мерный шар с центром |
в начале координат, такой, что A O(0, ) . |
|
Опр. Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей этому множеству.
Опр. Областью называется открытое связное множество.
Предел и непрерывность функции.
Говорят, что на множестве |
E Rn задана функция |
f |
|
X E поставлено в соответствие действительное число |
|||
Опр. lim f (X ) |
lim |
f (x1 ,...,xn ) B , если f ( X ) |
|
X X o |
xi xi0 (i 1,...,n ) |
|
( X ) |
f (x1,..., xn ) , если каждой точке |
z . |
|
определена в некоторой окрестности
точки
0
Опр.
X m
X |
0 |
, |
|
за |
исключением, |
быть |
||||
|
|
|||||||||
0 : |
X |
X O( X |
0 |
, ) |
f ( X ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(По |
|
|
|
Гейне) |
|
|
|
||
lim |
|
X m |
|
X 0 lim |
f ( X m ) |
B . |
||||
m |
|
|
|
m |
|
|
|
может, |
самой |
этой точки, и |
если |
B . |
|
|
|
lim f ( X ) |
lim |
f (x1,..., xn ) B , |
если |
X X o |
xi xi0 (i 1,...,n ) |
|
5

Опр. Функция |
f ( X ) f (x1,..., xn ) |
непрерывна в точке X |
||
некоторой окрестности точки X |
0 |
и в самой этой точке, и если |
||
|
0 0 : |
X |
X O(X |
, ) |
f ( X ) f ( X |
) . |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
, если она |
|
|
|
|
||
|
lim |
f ( X ) |
f |
|
X X |
0 |
|
|
|
|
определена в
( X |
0 |
) , то есть |
|
f |
' |
|
|
|
|
|
x |
|
|
i |
|
Этот
Частные производные.
f |
lim |
f (x |
,..., x |
x ,..., x |
) f (x |
,..., x |
) |
|
||
|
1 |
i |
i |
n |
1 |
n |
|
. |
||
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|||
i |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
i |
x |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предел, если он существует, называется частной производной функции
Дифференцируемость функции многих переменных.
f
( X )
.
Опр. Функция если ее
f ( X ) f (x |
,..., x |
) |
1 |
n |
|
приращение
называется дифференцируемой в точке можно представить
X |
0 |
|
в
(x |
0 |
|
|
1 |
,
...
, x0 ) , n
виде
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
f ( X ) |
f ( X |
0 |
) |
|
A (x x |
0 |
) |
( |
|||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
i |
i |
i |
|
|
|
||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
где: Ai |
- не зависит от xi ; |
|
( X |
||||||||
Теор. |
(Необходимое условие |
||||||||||
дифференцируема |
в |
точке |
|
X |
0 |
||||||
|
|
||||||||||
производные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Док. |
Пусть |
|
|
|
f ( X ) |
|
|
X ) ( X , X |
0 |
) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
) 0 при |
X X |
0 |
; |
xi |
xi |
0 |
; |
( X |
|
|
xi |
дифференцируемости). Если функция
0 |
0 |
|
|
(x1 |
,..., xn ) , тогда она имеет в этой |
||
дифференцируема |
в |
точке |
) ( X ,
f ( X )
точке
X |
0 |
, |
|
X 0 ) o( ) . |
|
||
|
f (x |
,..., x |
) |
|
1 |
n |
|
все частные
то есть
f ( X )
f( X 0 ) Ai (xi
i 1n
x |
) ( X ) ( X , X |
|
) |
0 |
|
0 |
|
i |
|
|
|
.
Пусть
x |
0 |
, x |
0 |
,..., x |
|
x |
x |
||||
1 |
1 |
2 |
2 |
n |
|
x |
0 |
|
|
n |
.
Тогда
(X , X |
0 |
) x1 , |
|
f (x1 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
A1 |
(x1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
, x2 ,..., xn ) |
f (x1 |
, x2 ,..., xn ) |
|
x1 ) (X ) x1 . |
Следовательно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x |
, x |
0 |
,..., x |
0 |
) |
f (x |
0 |
, x |
0 |
,..., x |
0 |
) |
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
2 |
n |
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
существует предел |
lim |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
Аналогично доказывается |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
для |
|
i 2, 3,..., n . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теор. |
|
(Достаточное |
условие |
|
дифференцируемости). |
|
Если |
все |
частные производные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f |
|
(i 1,..., n) |
определены в окрестности точки X |
0 |
|
|
и непрерывны в ней, |
тогда функция |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( X ) дифференцируема в точке |
X |
|
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Док. |
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
|
|
|
|
|
|
приращение |
|
|
|
функции |
|
двух |
|
переменных. |
|||||||||||||||||||||||||||||
f (x |
0 |
x, y |
0 |
y) f (x |
0 |
, y |
0 |
) f (x |
0 |
x, y |
0 |
y) f (x |
0 |
, y |
0 |
y) |
|
f (x |
0 |
, y |
0 |
y) f (x |
0 |
, y |
0 |
) . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя два раза теорему Лагранжа о среднем и непрерывность частных производных, последнее выражение представим в виде
fx |
(x |
|
x, y |
|
y) x f y |
(x |
, y |
|
y) y ( fx |
(x |
, y |
) 1 |
(x, y)) x ( f y |
(x |
, y |
) 2 (x, y)) y . |
' |
|
0 |
|
0 |
' |
0 |
|
0 |
' |
0 |
0 |
|
' |
0 |
0 |
|
Здесь: |
0 1; |
0 1; |
1 (x, y) 0, |
2 (x, y) 0 при |
Раскрывая |
скобки |
и |
группируя |
fx' (x0 , y0 ) x f y' (x0 , y0 ) y 1 x 2 y fx' (x0 , y0 ) x f y' (x0 ,
0
y0 ) y
.
слагаемые, имеем
o( ) .
( |
|
1 |
x |
2 |
y |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
при 0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким |
|
образом, |
|
|
приращение |
|
|
функции |
представлено |
в |
виде |
|||||||||||||
f ( X ) f ( X 0 ) A x B y o( ( X , X 0 )) , где |
A f ' ( X 0 ), |
B f ' |
(X 0 ) |
- являются частными |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
производными и не зависят от |
|
x |
|
и y . Теорема доказана. |
|
|
|
|
Замечание. Непрерывность частных производных не является необходимым условием дифференцируемости. Рассмотрим функцию двух переменных:
6

|
(x |
2 |
y |
2 |
) sin |
|
1 |
, |
x |
2 |
y |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
f (x, y) |
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
x y 0 |
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Функция |
|
|
дифференцируема |
|
|
|
в |
точке |
(0, 0)
,
так как
f
(x, y) f (0,0) A x B y
0(x ( X ) (
0) 0( y 0) |
x |
2 |
y |
2 |
sin |
|
1 |
|
x |
2 |
y |
2 |
|
||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X , X |
0 |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частная |
производная |
f (x, y) |
2x sin |
|
1 |
|
|
|
x |
|
cos |
|
|
1 |
не имеет |
предела |
|||||||||||||
x |
|
|
|
y |
|
y |
x |
|
y |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
2 |
x |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
при |
(x, y) (0, 0) |
и, следовательно, не является непрерывной в точке |
(0, 0) . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Теор. |
(Необходимое |
и |
|
|
достаточное |
|
|
условие |
|
дифференцируемости). |
|
Функция |
|||||||||||||||||
f ( X ) |
f (x1,..., xn ) |
дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда в некоторой |
|||||||||||||||||||||||||||
окрестности |
точки |
|
X |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
ее |
|
можно |
представить |
|
в |
|
виде: |
|||||||||||
|
|
(x1 ,..., xn ) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f ( X ) |
f ( X |
0 |
) fi ( X ) (xi |
|
|
o |
) , где |
fi ( X ) |
- некоторые непрерывные в точке X |
0 |
функции. |
||||||||||||||||||
|
xi |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Док. |
Из дифференцируемости имеем |
f ( X ) |
f ( X |
0 |
) |
Ai (xi |
|
|
0 |
( X ) ( X , X |
0 |
) . Так |
|||||||||||||||||
|
xi ) |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
как |
( X ) ( X , X 0 ) |
Доопределив функцию
|
|
( X ) |
|
|
n |
|
|
|
|
n |
( X )(x x0 ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
(xi |
xi0 )2 |
|
i |
0 i |
(xi |
||||
|
( X , X |
0 |
) |
|
|
||||||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
( X , X ) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
( X )(x x |
0 |
) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
( X ) |
|
|
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
i |
|
i |
|
в точке X |
нулем, |
||||||
i |
|
|
( X , X |
0 |
) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi0 ) i ( X )(xi xi0 ) .
i 1n
получим непрерывную
функцию
|
( X |
i |
|
)
.
Таким |
образом, |
имеем |
f ( X )
f ( X |
|
) |
n |
|
x |
) |
n |
|
( X )(x x |
) |
n |
( A |
( X ))(x x |
) |
n |
|||
|
A (x |
|
|
|
||||||||||||||
|
0 |
|
i |
|
0 |
|
i |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
i |
i |
|
i |
i |
i |
i |
|
|||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
i 1 |
f |
( X )(x |
i |
i |
x |
0 |
) |
|
||
i |
|
.
Обратно, точке
из равенства в формулировке теоремы, используя непрерывность функций |
fi ( X ) в |
||||||||||
X |
0 |
, т.е. |
fi ( X ) fi ( X |
0 |
) i |
( X ) Ai |
i ( X ), |
lim i ( X ) 0 |
, получаем |
||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X X |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
f ( X ) f ( X 0 ) Ai (xi xi0 ) i ( X )(xi |
||||||||||||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
i 1 |
|
|
|
||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
( X )(x x |
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||
i |
i |
|
i |
|
n |
|
|
) |
n |
|||
i 1 |
|
|
|
|
|
( X )(x x |
||||||
|
|
|
|
|
|
i |
i |
|
i |
|
i |
|
|
( X , X |
o |
) |
|
|
( X , X |
o |
) |
|
|||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
i 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
xi0 ) Ai (xi xi0 ) o( ( X , X 0 )) . Действительно |
|
i 1 |
|
( X ) 0 |
при X X 0 . Теорема доказана. |
Дифференцирование сложной функции. |
|
|
|
|||
Теор. Пусть ( X ),..., |
m |
( X ) |
дифференцированы в точке |
X 0 (x0 |
,..., x0 ) Rn |
и функция |
1 |
|
|
1 |
n |
|
f (Y ) f ( ( X ),..., |
m |
( X )) |
дифференцируема в точке Y 0 ( (X 0 ),..., (X |
|||
1 |
|
|
|
1 |
m |
|
сложная функция |
|
F ( X ) f (1 ( X ),..., m ( X )) |
дифференцированы в точке |
|||
|
|
|
|
n |
|
|
причем |
F ( X ) F ( X 0 ) Ai (xi xi0 ) ( X ) ( X , X 0 ) , |
где: |
i 1
0 )) Rm . Тогда
X 0 (x10 ,..., xn0 ) ,
lim (X ) 0 ;
X X 0
|
|
F ( X 0 ) |
m |
f (Y |
0 ) j |
( X 0 ) |
|
||
Ai |
|
|
|
|
|
|
|
|
, i 1,..., n . |
xi |
y j |
|
|
xi |
|||||
|
|
j |
|
|
|
7

Док. |
Имеем |
F ( |
f j (Y ), |
i j (X ) |
некие |
функция, а значит,
дифференцируемости,
|
|
( X |
|
) |
|
( X |
0 |
) |
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
j |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
i j |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
m |
|
|
m |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X ) F ( X |
0 |
) f j (Y )( y j |
0 |
|
|
|
0 |
) . |
Так |
|
как |
||||
|
y j |
) f j (Y ) i j ( X )(xi x j |
|
||||||||||||
|
|
j 1 |
|
|
j 1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
непрерывные функции, |
тогда |
f j (Y ) i j ( X ) |
тоже |
непрерывная |
|||||||||||
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
согласно |
теореме о |
необходимом |
и достаточном |
условии |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (Y |
0 |
) |
|
|
F ( X ) дифференцируема. |
В |
силу |
равенств |
f j (Y |
0 |
) |
|
, |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
y |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частную |
производную |
|
можно |
записать |
|
|
в |
виде |
F ( X |
0 |
) |
m |
f (Y |
0 |
) |
( X |
0 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
j |
y |
j |
|
x |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
i
1,..., n
. Теорема доказана.
Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала.
Опр. Пусть |
|
f ( X ) дифференцируема в точке |
|
||||||||||||||
xi (i 1,..., n) |
часть |
|
приращения |
|
этой |
|
|||||||||||
n |
f ( X |
0 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
df |
|
dxi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем дифференциал сложной функции |
F ( X ) |
||||||||||||||||
|
|
n |
F ( X ) |
|
n |
m |
f (Y ) |
|
( X ) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
j |
|
|
i |
|
|
dF ( X ) |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
||
|
|
|
x |
|
|
y |
|
x |
|
||||||||
|
|
i 1 |
|
|
|
i |
j |
j |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
|
X |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
, тогда линейная относительно |
||||||
|
|
(x1 |
,..., xn ) |
|||||||||||
функции |
|
называется |
дифференциалом |
|||||||||||
|
f (1 ( X ),..., m ( X )) . |
|
f (Y ) |
|
||||||||||
m |
|
f (Y ) |
n |
|
|
( X ) |
|
m |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
j |
|
dxi |
|
|
|
dy j (X ) . |
||
y |
|
|
x |
y |
|
|||||||||
|
j |
|
j |
|
i |
|
j |
j |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
Таким образом, форма записи первого дифференциала не зависит от того, зависимыми или независимыми являются переменные.
Геометрический смысл дифференциала. Касательная плоскость к графику функции двух переменных. Вектор нормали к ней.
|
f (x |
0 |
, y |
0 |
) |
|
|
|
f (x |
0 |
, y |
0 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dz |
|
|
dx |
|
|
dy |
- дифференциал. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x |
0 |
, y |
0 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
f (x |
0 |
, y |
0 |
) |
|
|
|
|||
z f (x |
0 |
, y |
0 |
) |
|
|
|
(x |
x |
0 |
) |
|
|
|
( y y |
0 |
) - уравнение касательной плоскости. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
N |
f (x0 , y0 ) |
; |
f (x0 |
, y0 ) |
|
|
|
|
|
- вектор нормали. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
; 1 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Частные производные и дифференциалы высших порядков. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Продифференцировав частные производные первого порядка |
по |
x |
или по |
|
y , |
получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
2 f |
|
|
|
f |
|
2 |
f |
|
|
|
f |
|
|
2 |
f |
|
|||
производные |
|
второго |
порядка: |
|
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
x |
|
|
y |
|
y |
y |
|
x |
|
y |
|
y x |
||||||||
|
f |
|
|
2 |
f |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Теор. |
(О смешанных производных). Пусть функция |
f (x, y) |
|
определена вместе со своими |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
частными производными |
fx , |
f y , |
fxy , |
f yx |
|
|
в некоторой окрестности точки |
(x |
|
, y |
|
) , |
причем |
||||||||||||||||||||||||||||
|
f |
|
и |
|
f |
|
непрерывны в этой точке, тогда |
f (x0 |
, y0 ) f (x0 , y0 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
xy |
|
|
|
yx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
yx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Док. |
|
x |
f f (x0 x, y0 ) f (x0 , y0 ) |
– приращение функции по переменной x . |
|
Возьмем от |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приращения |
|
|
функции |
|
по |
|
|
|
|
x |
|
|
|
приращение |
|
по |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||||||||||||||||
|
x y |
f |
y |
( |
x |
f ) |
y |
( f (x0 |
x, y0 ) f (x0 , y0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |

f (x0 x, y0 y)
f(x0 x, y0 ) f (x0 , y0 y)
f
(x |
0 |
, |
|
y0 )
.
Последнее выражение
можно рассматривать
g(x) f (x, y0 |
y) f (x, y0 ) |
|||
|
|
|
|
|
теорему |
|
|
о |
|
g (x x) x f (x |
0 |
x, y |
0 |
|
x |
x |
|
|
|
как |
приращение |
|
вспомогательной |
функции |
||||||
по переменной |
x , поэтому, применяя к этому приращению |
|||||||||
среднем |
|
|
|
|
|
Лагранжа, |
|
получим |
||
|
0 |
x, y |
0 |
) |
|
x, |
0 1. |
К выражению в |
||
y) fx (x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
квадратных
f (x |
0 |
x, |
|
|
|
x |
|
|
y
скобках снова применим
) |
по переменной |
y |
и |
теорему |
Лагранжа |
|
получим |
|
0 |
fxy (x |
|
как к приращению
x, y |
0 |
y) x y, |
|
|
функции
0 1.
Аналогично
|
|
f f (x |
0 |
x, y |
0 |
y) y x, |
|
|
|
|
|
||
|
y x |
yx |
|
1 |
|
1 |
|
, |
1 |
1 |
0,1
. Приравниваем полученные
выражения и производных доказана.
переходим
|
и |
|
, |
f xy |
f yx |
к пределу при x 0, y 0 . Учитывая непрерывность
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
получим требуемое равенство |
fxy (x |
|
, y |
|
) f yx (x |
|
, y |
|
) . Теорема |
Пусть f (x, y) имеет непрерывные вторые частные производные в точке (x0 , y0 ) , а, значит, ее первые частные производные дифференцируемы в этой точке. Возьмем дифференциал от
первого |
дифференциала, |
считая |
dx |
и |
dy |
константами, |
d (df ) d ( |
f |
)dx |
|
x |
|||
|
|
дифференциал
|
f |
|
|
2 |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d ( |
|
)dy |
|
|
|
dx |
2 |
y |
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
2 |
f |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
d |
|
f |
|
|
x |
|
x |
dx |
||
|
|
|
|
i 1 |
j 1 |
|
j |
|||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
2 |
f |
|
|
|
|
|
x y |
||
|
|||
dx j . |
|
dxdy |
|
d |
3 |
|
|
f |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
dydx |
|
y x |
|
||
|
|
n |
n n |
f |
|||
|
|
i 1 |
j 1 k 1 |
|
2 |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
2 |
. |
y |
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
f |
|
|
|
|
|
x x |
x |
||
i |
|
j |
k |
dxi
Получаем второй
dxj dxk .
Пусть функция производные до
X |
0 |
(x ,..., x ) |
|
|
|||
|
|
1 |
n |
Формула Тейлора.
f ( X ) |
имеет в окрестности точки |
X |
0 |
(x1,..., xn ) |
непрерывные частные |
|
|||||
l той |
включительно. Тогда ее можно разложить |
в окрестности точки |
|||
|
по |
|
формуле |
Тейлора |
f ( X )
f ( X |
0 |
) |
1 |
df ( X |
0 |
) |
|
1! |
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
d |
(2) |
f ( X |
0 |
) ... |
2! |
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
d |
(l 1) |
|
||
(l 1)! |
|
|
|
|
f ( X |
0 |
) |
1 |
d |
(l ) |
|
l! |
|
|||
|
|
|
|
|
f
(C)
, где
C
- точка,
лежит на прямой между точками |
X |
и X 0 . |
членом в форме Лагранжа. Данная формула одной переменной, если ее записать через записать и с остаточным
Последнее слагаемое называется остаточным совпадает с формулой Тейлора для функции дифференциалы. Формулу Тейлора можно членом в форме Пеано
f ( X )
f ( X |
0 |
) |
1 |
df ( X |
0 |
) |
|
||||||
|
1! |
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
d |
(2) |
f ( X |
0 |
) ... |
1 |
d |
(l ) |
|
|
|||||||
2! |
|
|
l ! |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
f
( X |
0 |
l |
( X , |
|
) o( |
X
0 |
) |
|
.
Экстремумы.
Опр. |
Функция f ( X ) имеет в точке |
X |
0 |
(x1,..., xn ) локальный максимум (минимум), если |
|||||||
|
|||||||||||
O(X 0 ) : |
X O(X 0 ) |
f (X ) f (X 0 ) |
f (X ) f (X 0 ) . |
В случае строгих неравенств для |
|||||||
всех точек окрестности, кроме центральной точки, экстремумы называются строгими. |
|||||||||||
Теор. |
(Необходимое |
условие экстремума). |
Пусть |
f ( X ) имеет экстремум в |
точке |
||||||
X 0 (x ,..., x ) , тогда, если существуют частные производные первого порядка |
f |
, то они |
|||||||||
x |
|||||||||||
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
равны нулю в этой точке. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Док. |
Зафиксируем все |
переменные |
кроме |
i той. |
Получим функцию одной |
i той |
переменной, которая имеет экстремум, а, значит, ее производная, согласно теореме Ферма, равна нулю. Теорема доказана.
9

Замечание. Если функция |
f ( X ) |
имеет экстремум в |
точке |
X |
0 |
(x1,..., xn ) |
и |
|
дифференцируема в этой точке, а, значит, имеет все производные первого порядка, тогда
df ( X |
0 |
) 0 . |
|
Равенство нулю частных производных первого порядка не является достаточным для существования экстремума. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть простую функцию f (x, y) xy .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Опр. Квадратичная форма |
F ( ) ai j i j называется: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) положительно определенной квадратичной формой, если |
F ( ) 0 |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) отрицательно определенной квадратичной формой, если |
F ( ) 0 |
0; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) неопределенной квадратичной формой, если |
|
1 |
, |
|
2 |
|
: |
|
F ( |
1 |
) 0, |
F |
( |
2 |
) 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Критерий Сильвестра. |
Квадратичная форма положительно определена в том и только том |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
случае, |
|
|
|
когда |
|
|
|
все |
|
|
|
|
главные |
|
|
миноры |
|
|
|
ее |
|
|
матрицы |
положительны |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
|
|
a11...a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a |
|
|
0, |
|
|
|
0, |
|
|
........... |
|
|
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
11 |
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 an n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Квадратичная форма отрицательно определена, если |
|
|
|
F ( ) |
положительно определена. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Утверждение. |
|
Если |
квадратичная |
форма положительно определена, то |
найдется |
такое |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
положительное число |
|
, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
F ( ) (1 |
... n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Действительно. Рассмотрим квадратичную форму |
|
F () |
на сфере |
S |
2 |
|
|
|
2 |
1 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
: 1 |
... n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Функция F ( ) |
положительно определена и непрерывна на сфере (замкнутом ограниченном |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
множестве), значит, |
|
принимает |
|
в некоторой |
|
точке |
|
сферы |
минимальное |
положительное |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
значение |
|
|
. |
|
Если |
|
|
0 , |
|
|
то |
точка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
принадлежит |
сфере, |
поэтому |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ... 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F ( |
|
|
|
|
|
|
) . |
|
|
Используя |
|
однородность |
|
|
квадратичной |
|
|
формы, |
получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
... 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
F ( ) F ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
, то есть F ( ) (1 ... n |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
... |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
... |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теор. |
(Достаточное условие экстремума). Пусть функция |
f ( X ) |
имеет в окрестности точки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
X |
0 |
(x1,..., xn ) |
непрерывные частные производные второго порядка, |
и пусть df ( X |
0 |
) 0 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда, |
если d |
2 |
f ( X |
0 |
) - |
положительно |
определенная |
|
квадратичная |
форма, то |
X |
0 |
- |
точка |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
строгого минимума, если |
d |
2 |
f ( X |
0 |
) |
- отрицательно определенная квадратичная форма, то X |
0 |
- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точка строгого максимума, |
если d 2 f ( X 0 ) - неопределенная квадратичная форма, |
то в точке |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
X |
0 |
нет экстремума. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Док. |
Используя |
формулу |
|
Тейлора |
при |
|
l 2 |
|
|
и |
|
тот факт, |
что |
df ( X 0 ) 0 , |
запишем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
приращение функции |
|
f ( X ) |
f ( X |
0 |
) |
1 |
d |
(2) |
f ( X |
0 |
) o( |
2 |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
2 |
f ( X |
0 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
d |
2 |
f ( X |
0 |
) |
|
|
dxi dx j |
является положительно определенной квадратичной |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
j 1 |
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формой, тогда в силу последнего утверждения найдется такое положительное число , что
d 2 f (X 0 ) (dx2 |
... dx2 ) . Теперь приращение функции можно записать в виде |
1 |
n |
|
10 |